Најважније из лекције
Релативистичке трансформације брзина: Уздужна компонента: \(u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}}\); попречне компоненте: \(u_y = \frac{u'_y \sqrt{1 - v^2/c^2}}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}}\). Брзина \(c\) је максимална гранична брзина у природи.
Релативистички импулс: \(\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\), за \(v \ll c\) прелази у \(\vec{p} = m\vec{v}\).
Енергија: Енергија мировања је \(E_0 = mc^2\), укупна енергија \(E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\), а кинетичка енергија \(T = E - E_0\).
Веза енергије и импулса: \(E^2 = E_0^2 + p^2c^2\). Величина \(E^2 - p^2c^2 = m^2c^4\) представља релативистичку инваријанту.
Релативистички импулс: \(\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\), за \(v \ll c\) прелази у \(\vec{p} = m\vec{v}\).
Енергија: Енергија мировања је \(E_0 = mc^2\), укупна енергија \(E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\), а кинетичка енергија \(T = E - E_0\).
Веза енергије и импулса: \(E^2 = E_0^2 + p^2c^2\). Величина \(E^2 - p^2c^2 = m^2c^4\) представља релативистичку инваријанту.
Када се тело креће брзином \(\vec{u'}\) у инерцијалном систему \(S'\), који се у односу на систем \(S\) креће брзином \(v\) дуж \(x\)-осе, његове компоненте брзине у систему \(S\) трансформишу се помоћу Лоренцових трансформација.
\[ u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}} \]
\[ u_y = \frac{u'_y \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}}, \quad u_z = \frac{u'_z \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}} \]
\(u_x, u_y, u_z\) – компоненте брзине у систему \(S\); \(u'_x, u'_y, u'_z\) – компоненте брзине у систему \(S'\); \(v\) – релативна брзина кретања система; \(c\) – брзина светлости
Гранични карактер брзине светлости: При релативистичком сабирању брзина не може се добити брзина већа од \(c\). Ако је \(u'_x = c\), онда је и \(u_x = \frac{c + v}{1 + \frac{cv}{c^2}} = c\).
Да би други Њутнов закон и закон одржања импулса важили у свим инерцијалним системима референце, импулс тела масе \(m\) које се креће брзином \(\vec{v}\) дефинише се релативистички.
\[ \vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
\(m\) – маса тела (маса мировања); \(\vec{v}\) – брзина тела; \(c\) – брзина светлости
За брзине много мање од брзине светлости (\(v \ll c\)), члан \(\frac{v^2}{c^2} \approx 0\), па израз прелази у класични импулс: \(\vec{p} = m\vec{v}\).
Енергија мировања (\(E_0\)) јесте унутрашња енергија коју тело има самим тим што поседује масу \(m\), чак и када мирује (\(v = 0\)).
\[ E_0 = mc^2 \]
\(E_0\) – енергија мировања; \(m\) – маса тела; \(c\) – брзина светлости (\(c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}\))
Укупна релативистичка енергија (\(E\)) представља збир енергије мировања и кинетичке енергије тела које се креће брзином \(v\).
\[ E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
\(E\) – укупна енергија честице или тела
Маса \(m\) је инваријантно својство тела (мера његове инерције) и иста је у свим инерцијалним системима референце.
Кинетичка енергија тела \(T\) у релативистичкој механици дефинише се као разлика између укупне енергије и енергије мировања.
\[ T = E - E_0 = mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) \]
\(T\) – кинетичка енергија; \(E\) – укупна енергија; \(E_0\) – енергија мировања
Када се брзина тела приближава брзини светлости (\(v \to c\)), кинетичка и укупна енергија теже бесконачности, због чега тело са масом не може достићи брзину светлости. За мале брзине (\(v \ll c\)), овај израз прелази у класични израз \(T \approx \frac{mv^2}{2}\).
Укупна енергија, енергија мировања и релативистички импулс повезани су основном релацијом:
\[ E^2 = E_0^2 + p^2c^2 = m^2c^4 + p^2c^2 \]
Из ове релације се импулс може изразити преко енергија:
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \]
Релативистичка инваријанта: Величина \(E^2 - p^2c^2\) има исту вредност у свим инерцијалним системима референце:
\[ E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 = \text{const} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати енергију мировања тела масе \(m = 2 \text{ kg}\). Брзина светлости је \(c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}\).
Енергија мировања се рачуна по формули:
\[ E_0 = mc^2 \]
\[ E_0 = 2 \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2 = 2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ J} = 1{,}8 \cdot 10^{17} \text{ J} \]
Одговор: Енергија мировања износи \(1{,}8 \cdot 10^{17} \text{ J}\).
Задатак 2 (средњи): Честица се креће брзином \(v = 0{,}6\,c\). Одредити однос њене укупне енергије и енергије мировања (\(E / E_0\)), као и њену кинетичку енергију изражену преко \(E_0\).
Прво одређујемо вредност корена у имениоцу (Лоренцовог фактора):
\[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - (0{,}6)^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8 \]
1. Однос укупне енергије и енергије мировања:
\[ E = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{E_0}{0{,}8} = 1{,}25\,E_0 \implies \frac{E}{E_0} = 1{,}25 \]
2. Кинетичка енергија је:
\[ T = E - E_0 = 1{,}25\,E_0 - E_0 = 0{,}25\,E_0 \]
Одговор: Укупна енергија је \(1{,}25\) пута већа од енергије мировања (\(E = 1{,}25\,E_0\)), а кинетичка енергија износи \(0{,}25\,E_0\).
Задатак 3 (тежак): Колики је релативистички импулс честице масе мировања \(m\) ако је њена кинетичка енергија једнака њеној енергији мировања (\(T = E_0\))?
Ако је \(T = E_0\), онда је укупна енергија:
\[ E = E_0 + T = E_0 + E_0 = 2E_0 \]
Користимо релацију између импулса и енергије:
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} \]
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{(2E_0)^2 - E_0^2} = \frac{1}{c}\sqrt{4E_0^2 - E_0^2} = \frac{1}{c}\sqrt{3E_0^2} = \frac{\sqrt{3}E_0}{c} \]
Пошто је \(E_0 = mc^2\):
\[ p = \frac{\sqrt{3} \cdot mc^2}{c} = \sqrt{3}\,mc \]
Одговор: Импулс честице је \(p = \sqrt{3}\,mc\).
