Најважније из лекције
Апсолутно црно тело: Идеализовани апсорбер за којег важи \( A_{act} = 1 \). Практичан модел је мали отвор на шупљем телу.
Кирхофов закон: Однос емисионе и апсорпционе моћи је константан за сва тела на истој температури: \( \frac{e_\lambda}{a_\lambda} = e_\lambda^{act} \). Тела која боље упијају зрачење, боље га и емитују.
Штефан–Болцманов закон: Укупна емисиона моћ зависи од четвртог степена температуре: \( E = \sigma T^4 \), где је \( \sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4} \).
Кирхофов закон: Однос емисионе и апсорпционе моћи је константан за сва тела на истој температури: \( \frac{e_\lambda}{a_\lambda} = e_\lambda^{act} \). Тела која боље упијају зрачење, боље га и емитују.
Штефан–Болцманов закон: Укупна емисиона моћ зависи од четвртог степена температуре: \( E = \sigma T^4 \), где је \( \sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4} \).
Апсолутно црно тело (АЦТ) је идеализовано физичко тело које потпуно апсорбује целокупно електромагнетно зрачење свих таласних дужина које падне на њега, без рефлексије или пропуштања.
\[ A_{act} = \frac{W_A}{W_U} = 1 \]
\( A_{act} \) – коефицијент апсорпције апсолутно црног тела, \( W_A \) – апсорбована енергија зрачења, \( W_U \) – укупна упадна енергија зрачења.
Иако апсолутно црно тело потпуно апсорбује упадно зрачење, оно и даље емитује сопствено топлотно зрачење које зависи искључиво од његове температуре.
Добар експериментални модел апсолутно црног тела представља шупља сфера са веома малим отвором. Зрачење које уђе кроз отвор доживљава вишеструке рефлексије о унутрашње зидове и при сваком одбијању делимично се апсорбује. Вероватноћа да зрак изађе напоље је практично једнака нули, па се отвор понаша као идеални апсорбер.
Да ли апсолутно црно тело мора нужно бити црне боје у свим условима?
Не. На ниским температурама тело изгледа црно јер не рефлектује светлост, али на довољно високим температурама оно интензивно емитује сопствено зрачење у видљивом делу спектра (нпр. ужарено гвожђе, Сунце или усијана звезда).
Однос спектралне емисионе моћи \( e_\lambda \) и спектралне апсорпционе моћи \( a_\lambda \) било ког тела у стању топлотне равнотеже не зависи од природе тела, већ само од таласне дужине \( \lambda \) и апсолутне температуре \( T \), и једнак је спектралној емисионој моћи апсолутно црног тела \( e_\lambda^{act} \).
\[ \frac{e_\lambda}{a_\lambda} = f(\lambda, T) = e_\lambda^{act} \]
\( e_\lambda \) – спектрална емисиона моћ тела, \( a_\lambda \) – спектрална апсорпциона моћ тела, \( e_\lambda^{act} \) – спектрална емисиона моћ апсолутно црног тела.
Важан закључак Кирхофовог закона: Тела која добро апсорбују топлотно зрачење одређене таласне дужине, истовремено на тој таласној дужини и добро емитују зрачење. Добри апсорбери су увек и добри емитери.
Ако се црна и бела епрувета једнако изложе инфрацрвеном зрачењу, црна се брже загрева јер боље апсорбује зрачење. Након искључивања грејача, црна епрувета се такође брже хлади јер знатно интензивније емитује топлоту у околину.
Ако неко тело на температури \( T \) готово потпуно рефлектује зрачење одређене таласне дужине (лош је апсорбер), шта на основу Кирхофовог закона можемо закључити о његовој емисији на тој таласној дужини?
Пошто је тело лош апсорбер (\( a_\lambda \approx 0 \)), из Кирхофовог закона следи да је оно истовремено и веома лош емитер зрачења (\( e_\lambda \approx 0 \)) на тој таласној дужини и температури.
Укупна емисиона моћ апсолутно црног тела директно је сразмерна четвртом степену његове апсолутне температуре.
\[ E = \sigma T^4 \]
\( E \) – укупна интегрална емисиона моћ \( \left[\frac{\text{W}}{\text{m}^2}\right] \), \( T \) – апсолутна температура у Келвинима \( [\text{K}] \), \( \sigma \) – Штефан–Болцманова константа.
Вредност Штефан–Болцманове константе износи:
\[ \sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4} \]
Због зависности \( E \sim T^4 \), чак и мало повећање температуре доводи до значајног раста емитоване енергије. Ако се апсолутна температура тела удвостручи (\( 2T \)), његова емисиона моћ се повећава чак \( 2^4 = 16 \) пута.
Колико пута се повећа укупна емисиона моћ црног тела ако му се апсолутна температура повећа 3 пута?
Према Штефан–Болцмановом закону:
\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{\sigma T_2^4}{\sigma T_1^4} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = 3^4 = 81 \]
Емисиона моћ се повећава 81 пут.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колика је укупна емисиона моћ апсолутно црног тела чија је апсолутна температура \( T = 1000\text{ K} \)?
Применом Штефан–Болцмановог закона:
\[ E = \sigma T^4 \]
\[ E = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4} \cdot (1000\text{ K})^4 \]
\[ E = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{12} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2} = 5{,}67 \cdot 10^4 \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2} = 56\,700 \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2} \]
Одговор: Емисиона моћ износи \( 5{,}67 \cdot 10^4 \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2} \).
Задатак 2 (средњи): Апсолутна температура црног тела је повећана са \( T_1 = 300\text{ K} \) на \( T_2 = 600\text{ K} \). За колико пута се притом повећала густина снаге зрачења тог тела?
Густина снаге зрачења одговара укупној емисионој моћи \( E \):
\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{\sigma T_2^4}{\sigma T_1^4} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4 \]
Уврштавањем вредности:
\[ \frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{600}{300} \right)^4 = 2^4 = 16 \]
Одговор: Густина снаге зрачења се повећала 16 пута.
Задатак 3 (тежак): Емисиона моћ апсолутно црног тела износи \( E = 907{,}2 \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2} \). Одредити апсолутну температуру тог тела. (Узети \( \sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4} \)).
Из формуле Штефан–Болцмановог закона \( E = \sigma T^4 \) изражавамо температуру:
\[ T^4 = \frac{E}{\sigma} = \frac{907{,}2}{5{,}67 \cdot 10^{-8}} = 160 \cdot 10^8 = 16 \cdot 10^9 \text{ не одговара степену, боље: } 16 \cdot 10^8 \cdot 10 = 1{,}6 \cdot 10^{10} \]
Рачунамо прецизно:
\[ \frac{907{,}2}{5{,}67} = 160 \]
\[ T^4 = 160 \cdot 10^8 \, \text{K}^4 = 16 \cdot 10^9 \, \text{K}^4 \approx 1{,}6 \cdot 10^{10} \, \text{K}^4 \]
\[ T = \sqrt[4]{160 \cdot 10^8} = \sqrt[4]{160} \cdot 10^2 \approx 3{,}556 \cdot 100 \approx 356\text{ K} \]
Одговор: Апсолутна температура тела износи приближно \( 356\text{ K} \) (односно око \( 83\,^\circ\text{C} \)).
