Најважније из лекције
Рендгенско зрачење: Високоенергетско електромагнетно зрачење (\(\lambda \sim 10^{-2} - 10\text{ nm}\)) које настаје када брзи електрони ударају о металну аноду у рендгенској цеви.
Закочно зрачење (континуални спектар): Настаје успоравањем електрона у пољу атомских језгара; крајња граница спектра зависи само од напона: \(\lambda_{min} = \frac{hc}{eU}\).
Карактеристично зрачење (дискретни спектар): Настаје преласком спољашњих електрона на упражњена места у унутрашњим љускама и описује се Мозлијевим законом: \(\frac{1}{\lambda} = R(Z - \sigma)^2 \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)\).
Примена: Медицинска радиографија и CT дијагностика, индустријска дефектоскопија; због јонизујућих и потенцијално штетних својстава захтева заштитне мере.
Закочно зрачење (континуални спектар): Настаје успоравањем електрона у пољу атомских језгара; крајња граница спектра зависи само од напона: \(\lambda_{min} = \frac{hc}{eU}\).
Карактеристично зрачење (дискретни спектар): Настаје преласком спољашњих електрона на упражњена места у унутрашњим љускама и описује се Мозлијевим законом: \(\frac{1}{\lambda} = R(Z - \sigma)^2 \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)\).
Примена: Медицинска радиографија и CT дијагностика, индустријска дефектоскопија; због јонизујућих и потенцијално штетних својстава захтева заштитне мере.
Рендгенски (Х) зраци су електромагнетни таласи веома малих таласних дужина, у распону од \( 10^{-2}\text{ nm} \) до \( 10\text{ nm} \), што им даје велику енергију фотона и високу продорност кроз материјале.
Рендгенска цев је вакуумска цев у којој се са загрејане катоде (најчешће од волфрама) емитују електрони, који се потом убрзавају високим електричним напоном реда \( 10^3\text{ V} \) до \( 10^6\text{ V} \) ка металној аноди (антикатоди).
Емисија рендгенског зрачења представља процес супротан од фотоелектричног ефекта: уместо да фотон предаје енергију електрону, кинетичка енергија убрзаног електрона се трансформише у енергију фотона.
Убрзани електрони ударају о антикатоду где нагло губе кинетичку енергију у сударима са кристалном решетком метала, при чему се емитују рендгенски зраци два типа: закочно и карактеристично зрачење.
Закочно зрачење настаје услед наглог успоравања убрзаних електрона при њиховом удару у антикатоду. Како електрони губе различите делове своје кинетичке енергије, формира се континуални спектар рендгенског зрачења.
\[ \frac{hc}{\lambda_{min}} = eU \implies \lambda_{min} = \frac{hc}{eU} \]
\(\lambda_{min}\) – минимална таласна дужина (краткоталасна граница), \(h\) – Планкова константа, \(c\) – брзина светлости, \(e\) – елементарно наелектрисање, \(U\) – убрзавајући напон
Минимална таласна дужина \(\lambda_{min}\) континуалног спектра одговара случају када електрон у једном судару преда целокупну своју кинетичку енергију (\(E_k = eU\)) за формирање једног фотона. Она зависи искључиво од напона \(U\), а не од врсте материјала антикатоде.
Колики напон \(U\) мора деловати у рендгенској цеви да би се добили зраци са минималном таласном дужином \(\lambda_{min} = 0{,}05\text{ nm}\)?
Полазимо од формуле за краткоталасну границу:
\[ U = \frac{hc}{e \lambda_{min}} \]
Уврштавањем вредности константи:
\[ U = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \cdot 3 \cdot 10^8\text{ m/s}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C} \cdot 0{,}05 \cdot 10^{-9}\text{ m}} = \frac{1{,}989 \cdot 10^{-25}}{8 \cdot 10^{-30}}\text{ V} \approx 24\,860\text{ V} \approx 24{,}86\text{ kV} \]
Карактеристично зрачење чине дискретне (линијске) спектралне линије суперпониране на континуални спектар. Ове линије настају када упадни електрон избаци електрон из унутрашње љуске атома антикатоде (нпр. \(K\) или \(L\) љуске), а упражњено место попуњава електрон са неког вишег нивоа уз емисију фотона тачно дефинисане таласне дужине.
\[ \frac{1}{\lambda} = R(Z - \sigma)^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \]
\(R\) – Ридбергова константа, \(Z\) – редни (атомски) број елемента аноде, \(\sigma\) – константа екранирања, \(n, m\) – главни квантни бројеви орбита (\(m > n\))
Ефективно наелектрисање језгра износи \((Z - \sigma)e\). Константа екранирања \(\sigma\) узима у обзир да преостали електрони на унутрашњим љускама делимично штите (екранирају) спољашњи електрон од пуног наелектрисања језгра.
За прелазе електрона на најдубљу \(K\) љуску (\(n = 1\)), константа екранирања износи \(\sigma \approx 1\). Најинтензивнија линија са највећом таласном дужином у \(K\)-серији (прелаз са \(m = 2\) на \(n = 1\)) назива се \(K_\alpha\) линија.
Примена у медицини:
- Радиографија: дијагностиковање прелома костију и снимање плућа, јер гушћа ткива (кости) јаче апсорбују X-зраке од меких ткива.
- Компјутеризована томографија (CT): добијање прецизних тродимензионалних и слојевитих приказа унутрашњих органа мерењем разлике у интензитету пропуштеног зрачења.
Примена у индустрији: Дефектоскопија – недеструктивна контрола квалитета материјала и снимање унутрашње структуре варова без оштећења узорка.
Рендгенски зраци спадају у јонизујуће зрачење. Дуготрајно или претерано излагање ствара слободне радикале и може оштетити ДНК молекуле у ћелијама, због чега се примена зрачења мора строго контролисати и дозирати.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лако): Напон између катоде и аноде у рендгенској цеви је \(U = 40\text{ kV}\). Колика је максимална кинетичка енергија електрона који падају на аноду изражена у килоелектронволтима (\(\text{keV}\)) и џулима (\(\text{J}\))?
Електрично поље врши рад над електроном:
\[ E_k = eU = 1\text{ e} \cdot 40\text{ kV} = 40\text{ keV} \]
Претварањем у џуле:
\[ E_k = 40 \cdot 10^3 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J} = 6{,}4 \cdot 10^{-15}\text{ J} \]
Одговор: Кинетичка енергија износи \(40\text{ keV}\), односно \(6{,}4 \cdot 10^{-15}\text{ J}\).
Задатак 2 (Лако): Како ће се променити минимална таласна дужина закочног зрачења ако се убрзавајући напон у цеви повећа четири пута?
Минимална таласна дужина је одређена релацијом:
\[ \lambda_{min} = \frac{hc}{eU} \]
Како је \(\lambda_{min}\) обрнуто сразмерна напону \(U\), повећањем напона за четири пута (\(U' = 4U\)), нова минимална таласна дужина биће:
\[ \lambda'_{min} = \frac{\lambda_{min}}{4} \]
Одговор: Минимална таласна дужина ће се смањити четири пута.
Задатак 3 (Средње): Израчунајте минималну таласну дужину континуалног рендгенског спектра ако је напон на цеви \(U = 60\text{ kV}\). Узети: \(h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\), \(e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C}\).
Применом формуле за минималну таласну дужину закочног зрачења:
\[ \lambda_{min} = \frac{hc}{eU} \]
\[ \lambda_{min} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 60 \cdot 10^3} = \frac{1{,}989 \cdot 10^{-25}}{9{,}6 \cdot 10^{-15}}\text{ m} \approx 2{,}07 \cdot 10^{-11}\text{ m} = 0{,}0207\text{ nm} \]
Одговор: Минимална таласна дужина износи приближно \(0{,}0207\text{ nm}\) (односно \(20{,}7\text{ pm}\)).
Задатак 4 (Тешко): При прелазу електрона са другог нивоа на први (\(K_\alpha\) линија) у атому метала антикатоде, емитован је рендгенски зрак таласне дужине \(\lambda \approx 0{,}154\text{ nm}\). Користећи Мозлијев закон са константом екранирања \(\sigma = 1\) и Ридберговом константом \(R \approx 1{,}1 \cdot 10^7\text{ m}^{-1}\), одредите редни број \(Z\) овог хемијског елемента.
За \(K_\alpha\) прелаз важи \(n = 1\) и \(m = 2\):
\[ \frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R(Z - 1)^2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R(Z - 1)^2 \]
Изражавамо \((Z - 1)^2\):
\[ (Z - 1)^2 = \frac{4}{3 R \lambda} \]
Уврштавамо бројне вредности (\(\lambda = 1{,}54 \cdot 10^{-10}\text{ m}\)):
\[ (Z - 1)^2 = \frac{4}{3 \cdot (1{,}1 \cdot 10^7\text{ m}^{-1}) \cdot (1{,}54 \cdot 10^{-10}\text{ m})} = \frac{4}{5{,}082 \cdot 10^{-3}} \approx 787{,}1 \]
\[ Z - 1 = \sqrt{787{,}1} \approx 28{,}05 \implies Z \approx 29 \]
Одговор: Редни број метала је \(Z = 29\) (бакар, \(\text{Cu}\)).
