Најважније из лекције
Зонска теорија кристала: Интеракцијом атома у кристалу долази до цепања атомских нивоа у енергијске зоне са веома густо распоређеним квантним стањима.
Кључне зоне: Валентна зона (везани електрони), проводна зона (слободни електрони) и забрањена зона / енергетски процеп \(E_g\) (подручје без дозвољених стања).
Класификација:
Кључне зоне: Валентна зона (везани електрони), проводна зона (слободни електрони) и забрањена зона / енергетски процеп \(E_g\) (подручје без дозвољених стања).
Класификација:
- Проводници: \(E_g = 0\) (зоне се преклапају), струја тече лако.
- Полупроводници: \(E_g \approx 1\text{ eV}\) (\(\text{Ge}: 0{,}67\text{ eV}\), \(\text{Si}: 1{,}14\text{ eV}\)), проводе уз довод топлоте или фотона (\(h\nu \ge E_g\)).
- Изолатори: \(E_g > 5\text{ eV}\), проводна зона је празна у реалним условима.
Зонска теорија кристала објашњава електричну проводност чврстих тела посматрајући кристал као јединствени квантно-механички систем електрона и језгара.
Код изолованих атома енергијски нивои електрона су дискретни и строго дефинисани. Сви изоловани атоми исте врсте имају идентичне нивое.
При формирању кристала, због међусобне интеракције атома на малим растојањима, долази до „цепања” енергијских нивоа: од \( N \) идентичних атомских нивоа настаје \( N \) нових, врло блиских поднивоа.
Због Паулијевог принципа забране, на сваком новонасталом енергијском нивоу могу се наћи највише два електрона са супротним спиновима (\(+\frac{1}{2}\hbar\) и \(-\frac{1}{2}\hbar\)).
Ширина зона:
- Унутрашњи електрони (нпр. \(1s\)) слабије интерагују са суседним атомима \(\rightarrow\) цепање нивоа је мање \(\rightarrow\) енергијске зоне су уже.
- Валентни електрони (спољашњи, нпр. \(3s\) код натријума) јаче интерагују са суседима \(\rightarrow\) цепање је највеће \(\rightarrow\) њихове зоне су шире.
Зашто се при спајању атома у кристал формирају континуалне енергијске зоне уместо дискретних линија?
У кристалу постоји огроман број атома (\(N \sim 10^{23}\)). Интеракцијом међу њима сваки атомски ниво цепа се на \(N\) изузетно блиских дискретних поднивоа. Због занемарљиво мале разлике у енергији између суседних поднивоа, енергија се практично понаша као континуална величина унутар одређеног опсега - енергијске зоне.
Валентна зона: Енергијска зона коју формирају нивои најудаљенијих (валентних) електрона. Електрони у овој зони су још увек везани за језгра својих атома.
Проводна зона: Виша дозвољена енергијска зона. Електрони у овој зони су ослобођени утицаја појединачних језгара (слободни електрони) и учествују у провођењу електричне струје.
Забрањена зона (енергетски процеп, \(E_g\)): Енергетски размак између валентне и проводне зоне у коме се не могу налазити квантна стања електрона.
\[ E_{\text{min}} = h\nu_{\text{min}} = E_g \]
Минимална енергија фотона потребна да пребаци валентни електрон преко забрањене зоне у проводну зону.
\[ \nu_{\text{min}} = \frac{E_g}{h} \]
\(h \approx 4{,}14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}\) - Планкова константа
Да би електрон у германијуму (\(E_g = 0{,}67\text{ eV}\)) прешао из валентне у проводну зону апсорпцијом фотона, минимална фреквенција фотона мора бити:
\[ \nu_{\text{min}} = \frac{0{,}67\text{ eV}}{4{,}14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}} \approx 1{,}62 \cdot 10^{14}\text{ Hz} \]
Ова фреквенција одговара инфрацрвеном делу спектра.
| Тип материјала | Ширина забрањене зоне (\(E_g\)) | Карактеристике проводности | Примери |
|---|---|---|---|
| Проводници (метали) | \(E_g \approx 0\text{ eV}\) (зоне се преклапају) | Велики број слободних електрона већ на собној температури; одлична проводност. | \(\text{Na}\), \(\text{Cu}\), \(\text{Al}\) |
| Полупроводници | \(E_g \approx 1\text{ eV}\) (уска зона) | На \(T = 0\text{ K}\) изолатори; на собној температури или при осветљавању проводност значајно расте. | \(\text{Ge}\ (0{,}67\text{ eV})\), \(\text{Si}\ (1{,}14\text{ eV})\) |
| Изолатори (диелектрици) | \(E_g > 5\text{ eV}\) (широка зона) | Валентни електрони не могу лако прећи у проводну зону; проводна зона је празна; не проводе струју. | Стакло, дијамант, порцелан |
Зашто се силицијум на врло ниским температурама понаша као диелектрик, а на собној температури почиње да проводи струју?
На ниским температурама валентна зона је потпуно пуна, проводна потпуно празна, а електрони немају довољно топлотне енергије да савладају енергетски процеп од \(1{,}14\text{ eV}\). На собној температури топлотна енергија омогућава једном броју електрона да прескочи у проводну зону и омогући провођење струје.
Задаци за вежбу
Задатак 1 (лак): Која је основна разлика у енергијској структури између металних проводника и диелектрика?
Код проводника забрањена зона практично не постоји јер се проводна и валентна зона преклапају (или је проводна зона делимично попуњена), што омогућава слободно кретање великог броја електрона. Код диелектрика (изолатора) постоји широка забрањена зона (\(E_g > 5\text{ eV}\)) коју валентни електрони у нормалним условима не могу прећи, па је проводна зона празна.
Задатак 2 (средњи): Енергетски процеп за силицијум износи \(E_g = 1{,}14\text{ eV}\). Израчунајте максималну таласну дужину електромагнетног зрачења (\(\lambda_{\text{max}}\)) која може изазвати прелазак електрона из валентне у проводну зону силицијума. (Узети: \(h = 4{,}14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\))
Услов за побуђивање је:
\[ E = \frac{h \cdot c}{\lambda} \ge E_g \implies \lambda \le \frac{h \cdot c}{E_g} \]
Максимална таласна дужина је:
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{4{,}14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s} \cdot 3 \cdot 10^8\text{ m/s}}{1{,}14\text{ eV}} \]
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{1{,}242 \cdot 10^{-6}}{1{,}14}\text{ m} \approx 1{,}089 \cdot 10^{-6}\text{ m} = 1089\text{ nm} \]
Одговор: Максимална таласна дужина износи приближно \(1089\text{ nm}\), што припада инфрацрвеном делу спектра.
Задатак 3 (тежак): Кристал дијаманта има енергетски процеп од \(E_g \approx 5{,}5\text{ eV}\), а кристал германијума \(E_g \approx 0{,}67\text{ eV}\). Ако се оба материјала обасјају видљивом светлошћу (енергије фотона у опсегу од \(1{,}6\text{ eV}\) до \(3{,}1\text{ eV}\)):
- Да ли ће доћи до повећања електричне проводности код дијаманта?
- Да ли ће доћи до повећања електричне проводности код германијума? Обраложити одговоре.
а) Код дијаманта: Енергија фотона видљиве светлости (\(E_{\text{foton}} \le 3{,}1\text{ eV}\)) је мања од енергетског процепа дијаманта (\(E_g = 5{,}5\text{ eV}\)). Фотони немају довољно енергије да пребаце електроне преко забрањене зоне, па проводност дијаманта неће порасти (дијамант остаје изолатор и пропушта видљиву светлост).
б) Код германијума: Енергија свих фотона видљиве светлости већа је од енергетског процепа германијума (\(E_{\text{foton}} \ge 1{,}6\text{ eV} > 0{,}67\text{ eV}\)). Валентни електрони апсорбују фотоне и масовно прелазе у проводну зону, због чега се проводност германијума значајно повећава.
б) Код германијума: Енергија свих фотона видљиве светлости већа је од енергетског процепа германијума (\(E_{\text{foton}} \ge 1{,}6\text{ eV} > 0{,}67\text{ eV}\)). Валентни електрони апсорбују фотоне и масовно прелазе у проводну зону, због чега се проводност германијума значајно повећава.
