Најважније из лекције
Инваријантност интервала: Квадрат релативистичког интервала \(\Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2\) представља основну инваријанту специјалне теорије релативности (\(\Delta s^2 = \Delta s'^2\)).
Простор-време: Догађаји се одређују са четири координате \((ct, x, y, z)\).
Класификација:
Простор-време: Догађаји се одређују са четири координате \((ct, x, y, z)\).
Класификација:
- \(\Delta s^2 > 0\) (временски тип): догађаји се могу одиграти на истом месту у погодном систему референце.
- \(\Delta s^2 < 0\) (просторни тип): догађаји се могу одиграти истовремено у погодном систему референце.
- \(\Delta s^2 = 0\) (светлосни тип): догађаји су повезани кретањем светлосног зрака.
Релативистички интервал (\(\Delta s\)) представља мерљиву везу између два догађаја у четвородимензионом простор-времену, која обједињује њихово просторно растојање и временски размак.
\[ \Delta s^2 = c^2 \Delta t^2 - d^2 = c^2 (t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 \]
\(c\) – брзина светлости у вакууму, \(\Delta t\) – временски интервал између догађаја, \(d\) – просторно растојање између тачака у којима су се догађаји одиграли.
Инваријантност интервала: Квадрат релативистичког интервала \(\Delta s^2\) је инваријантан у односу на Лоренцове трансформације. Његова вредност је иста у свим инерцијалним системима референце:
\[ \Delta s^2 = \Delta s'^2 \]
У класичној механици просторно растојање (\(d = d'\)) и временски интервал (\(\Delta t = \Delta t'\)) су независно инваријантни. У специјалној теорији релативности појединачне величине зависе од система референце због дилатације времена и контракције дужине, али је њихова комбинација \(\Delta s^2\) апсолутна (инваријантна).
У специјалној теорији релативности физички догађаји се смештају у четвородимензиони простор-време са координатама \((ct, x, y, z)\).
У зависности од знака квадрата релативистичког интервала \(\Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2\), разликују се три типа интервала:
| Тип интервала | Услов | Особине и физичко значење |
|---|---|---|
| Временски тип | \(\Delta s^2 > 0\) (\(c^2\Delta t^2 > d^2\)) |
Временска компонента доминира. Догађаји могу бити узрочно-последично повезани. Постоји инерцијални систем референце у коме се оба догађаја одигравају на истом месту (\(d' = 0\)). |
| Просторни тип | \(\Delta s^2 < 0\) (\(c^2\Delta t^2 < d^2\)) |
Просторна компонента доминира. Светлосни сигнал не може стићи од једног догађаја до другог. Постоји инерцијални систем референце у коме се догађаји дешавају у истом тренутку (\(\Delta t' = 0\)). |
| Светлосни (нулти) тип | \(\Delta s^2 = 0\) (\(c^2\Delta t^2 = d^2\)) |
Догађаји су повезани простирањем светлосног сигнала у вакууму брзином \(c\). |
Применом Лоренцових трансформација на координате догађаја директно се изводе релативистички ефекти:
Дилатација времена:
\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]
\(\Delta t_0\) – сопствено време (мерено у систему где се догађаји дешавају у истој тачки, \(x'_1 = x'_2\)).
Контракција дужине:
\[ d = d_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]
\(d_0\) – сопствена дужина тела у систему где тело мирује, \(d\) – дужина мерена у систему у коме се крајеви штапа региструју истовремено (\(t_1 = t_2\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Светлосни импулс је емитован из једне тачке и након одређеног времена апсорбован у другој. Колика је вредност квадрата релативистичког интервала \(\Delta s^2\) између та два догађаја?
Светлосни импулс се креће брзином \(c\), па је пређено просторно растојање \(d = c\Delta t\).
Квадрат релативистичког интервала је: \[ \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2 = c^2\Delta t^2 - (c\Delta t)^2 = 0 \] Интервал је светлосног (нултог) типа и његова вредност је 0.
Квадрат релативистичког интервала је: \[ \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2 = c^2\Delta t^2 - (c\Delta t)^2 = 0 \] Интервал је светлосног (нултог) типа и његова вредност је 0.
Задатак 2 (средњи): Два догађаја у систему \(S\) одиграла су се на међусобном растојању \(d = 6 \cdot 10^8\text{ m}\) у временском интервалу \(\Delta t = 3\text{ s}\). Израчунати квадрат релативистичког интервала \(\Delta s^2\) и одредити његов тип. (Узети \(c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\)).
Примењујемо формулу за квадрат интервала:
\[ \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2 \]
\[ c^2\Delta t^2 = (3 \cdot 10^8\text{ m/s})^2 \cdot (3\text{ s})^2 = 9 \cdot 10^{16} \cdot 9 = 81 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \]
\[ d^2 = (6 \cdot 10^8\text{ m})^2 = 36 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \]
\[ \Delta s^2 = 81 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 - 36 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 = 45 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \]
Пошто је \(\Delta s^2 > 0\), интервал је временског типа.
Задатак 3 (тежак): Два астрономска догађаја одиграла су се на растојању \(d = 5 \cdot 10^8\text{ m}\) са временским размаком од \(\Delta t = 1\text{ s}\). Да ли је могуће пронаћи инерцијални систем референце у којем су се ова два догађаја одиграла истовремено?
Догађаји могу бити истовремени у неком систему (\(\Delta t' = 0\)) само ако је интервал између њих просторног типа (\(\Delta s^2 < 0\)).
Рачунамо квадрат интервала: \[ c^2\Delta t^2 = (3 \cdot 10^8\text{ m/s})^2 \cdot (1\text{ s})^2 = 9 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \] \[ d^2 = (5 \cdot 10^8\text{ m})^2 = 25 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \] \[ \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2 = 9 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 - 25 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 = -16 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \] Пошто је \(\Delta s^2 < 0\), интервал је просторног типа, па јесте могуће пронаћи референтни систем у коме су догађаји истовремени.
Рачунамо квадрат интервала: \[ c^2\Delta t^2 = (3 \cdot 10^8\text{ m/s})^2 \cdot (1\text{ s})^2 = 9 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \] \[ d^2 = (5 \cdot 10^8\text{ m})^2 = 25 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \] \[ \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2 = 9 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 - 25 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 = -16 \cdot 10^{16}\text{ m}^2 \] Пошто је \(\Delta s^2 < 0\), интервал је просторног типа, па јесте могуће пронаћи референтни систем у коме су догађаји истовремени.
