Најважније из лекције
Антиматерија: Античестице имају идентичну масу али супротно наелектрисање и квантне бројеве од честица материје (нпр. електрон \(e^-\) и позитрон \(e^+\)).
Анихилација: При сусрету честице и античестице маса прелази у енергију најмање два \(\gamma\)-фотона (\(e^- + e^+ \rightarrow 2\gamma\)), уз поштовање одржања енергије и импулса.
Креација парова: Фотон енергије \(E \ge 2m_e c^2 = 1{,}022\text{ MeV}\) може креирати пар електрон–позитрон.
Закони одржања: Барионски број (\(B\)) и лептонски број (\(L\)) морају бити очувани у свим интеракцијама.
Примена (ПЕТ): Користи детекцију фотона насталих анихилацијом позитрона из радиофармацеутика за стварање 3D слике метаболизма ткива.
Боја кваркова: Својство јаке интеракције (црвена, зелена, плава); сви хадрони морају бити „безбојни” (бариони: 3 различите боје; мезони: боја–антибоја).
Анихилација: При сусрету честице и античестице маса прелази у енергију најмање два \(\gamma\)-фотона (\(e^- + e^+ \rightarrow 2\gamma\)), уз поштовање одржања енергије и импулса.
Креација парова: Фотон енергије \(E \ge 2m_e c^2 = 1{,}022\text{ MeV}\) може креирати пар електрон–позитрон.
Закони одржања: Барионски број (\(B\)) и лептонски број (\(L\)) морају бити очувани у свим интеракцијама.
Примена (ПЕТ): Користи детекцију фотона насталих анихилацијом позитрона из радиофармацеутика за стварање 3D слике метаболизма ткива.
Боја кваркова: Својство јаке интеракције (црвена, зелена, плава); сви хадрони морају бити „безбојни” (бариони: 3 различите боје; мезони: боја–антибоја).
Антиматерија је облик материје сачињен од античестица. Свака честица има своју одговарајућу античестицу која има идентичну масу и спин, али супротан знак наелектрисања и супротне вредности осталих квантних бројева.
Релативистичка једначина за укупну енергију честице:
\[ E^2 = E_0^2 + p^2c^2 \implies E = \pm\sqrt{E_0^2 + p^2c^2} \]
Дираково тумачење: решење са позитивном енергијом описује честицу, док решење са негативном енергијом одговара античестици.
Античестице се означавају цртом изнад симбола честице (нпр. антипротон \(\bar{p}\), антинеутрино \(\bar{\nu}\)), док антиелектрон (позитрон) има посебну ознаку \(e^+\).
Ако електрон има наелектрисање \(-e\) и масу мировања \(m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\text{ kg}\), које су особине позитрона?
Позитрон има исту масу као електрон (\(m_{e^+} = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\text{ kg}\)), али супротно наелектрисање (\(+e = +1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C}\)).
Анихилација је процес у коме при судару честице и њене античестице долази до њиховог ишчезавања и претварања целокупне њихове масе у енергију електромагнетног зрачења (\(\gamma\)-фотоне).
Креација парова је обрнут процес где фотон високе енергије у пољу језгра ствара пар честица–античестица.
Минимална енергија за креирање пара електрон–позитрон:
\[ E_{\text{min}} = 2m_e c^2 = 2 \cdot 0{,}511\text{ MeV} = 1{,}022\text{ MeV} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-13}\text{ J} \]
Максимална таласна дужина фотона потребна за креацију пара:
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{E_{\text{min}}} \]
Енергија појединачног фотона насталог анихилацијом спорог пара:
\[ 2E_0 = 2h\nu \implies \nu = \frac{E_0}{h} \]
При анихилацији честице и античестице морају настати најмање два фотона који се крећу у супротним смеровима, како би истовремено били задовољени и закон одржања енергије и закон одржања импулса.
Израчунати фреквенцију фотона емитованих при анихилацији електрона и позитрона чије су кинетичке енергије занемарљиве (\(E_0 = 0{,}511\text{ MeV}\), \(h = 4{,}136 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}\)).
При анихилацији настају два једнака фотона:
\[ 2E_0 = 2h\nu \implies \nu = \frac{E_0}{h} = \frac{0{,}511 \cdot 10^6\text{ eV}}{4{,}136 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}} \approx 1{,}24 \cdot 10^{20}\text{ Hz} \]
У свим нуклеарним реакцијама и интеракцијама честица, поред енергије, импулса и наелектрисања, строго су очувани барионски квантни број (\(B\)) и лептонски квантни број (\(L\)).
| Врста честице | Примери | Барионски број (\(B\)) | Лептонски број (\(L\)) |
|---|---|---|---|
| Бариони | \(p, n\) | \(+1\) | \(0\) |
| Антибариони | \(\bar{p}, \bar{n}\) | \(-1\) | \(0\) |
| Лептони | \(e^-, \nu_e, \mu^-\) | \(0\) | \(+1\) |
| Антилептони | \(e^+, \bar{\nu}_e, \mu^+\) | \(0\) | \(-1\) |
При \(\beta^-\) распаду неутрона:
\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]
- Наелектрисање (\(Q\)): \(0 = (+1) + (-1) + 0 = 0\) (очувано)
- Барионски број (\(B\)): \(1 = 1 + 0 + 0 = 1\) (очувано)
- Лептонски број (\(L\)): \(0 = 0 + (+1) + (-1) = 0\) (очувано)
Одредити вредности квантних бројева \(B\) и \(L\) за антипротон \(\bar{p}\) и позитрон \(e^+\).
За антипротон (\(\bar{p}\)): \(B = -1\), \(L = 0\) (антибарион).
За позитрон (\(e^+\)): \(B = 0\), \(L = -1\) (антилептон).
За позитрон (\(e^+\)): \(B = 0\), \(L = -1\) (антилептон).
ПЕТ (Позитронска емисиона томографија) је савремена метода медицинске дијагностике која омогућава праћење биохемијских и метаболичких процеса у ткивима коришћењем процеса анихилације.
1. Уношење радиофармацеутика: Пацијенту се уноси супстанца обележена радиоизотопом који се распада \(\beta^+\) распадом емитујући позитроне.
2. Анихилација у ткиву: Позитрон се сусреће са електроном из околног ткива и анихилира.
3. Емисија гама фотона: Настају два \(\gamma\)-фотона високе енергије који се крећу дуж истог правца у супротним смеровима (под углом од \(180^\circ\)).
4. Детекција и реконструкција: Кружни детектор истовремено региструје пар фотона, а рачунар одређује правац њиховог кретања и реконструише 3D слику ткива.
Зашто се у ПЕТ дијагностици детектују управо парови фотона који истовремено погађају дијаметрално супротне тачке детектора?
Зато што закон одржања импулса налаже да два фотона настала анихилацијом из мировања одлазе у тачно супротним смеровима. Линија која спаја тачке истовремене детекције одређује правац на коме се десила анихилација.
Боја кварка је квантно својство које представља извор јаке нуклеарне интеракције (слично као што је наелектрисање извор електромагнетне силе). Јавља се у три стања: црвена, зелена и плава.
Све слободне сложене честице у природи (хадрони) морају бити „безбојне” (беле):
- Бариони (сачињени од 3 кварка): садрже по један црвени, зелени и плави кварк (\(\text{црвена} + \text{зелена} + \text{плава} = \text{бело}\)).
- Мезони (сачињени од кварка и антикварка): садрже одређену боју и њену антибоју (нпр. \(\text{црвена} + \text{антицрвена} = \text{бело}\)).
Колико кваркова гради један протон и каква мора бити њихова комбинација „боја”?
Протон је барион и састоји се од 3 кварка. Да би био „безбојан”, сваки од та три кварка мора имати различиту боју: један црвену, један зелену и један плаву.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Који је лептонски број следећих честица: електрон (\(e^-\)), електронски неутрино (\(\nu_e\)), позитрон (\(e^+\)) и протон (\(p\))?
- Електрон (\(e^-\)): лептон, \(L = +1\)
- Електронски неутрино (\(\nu_e\)): лептон, \(L = +1\)
- Позитрон (\(e^+\)): антилептон, \(L = -1\)
- Протон (\(p\)): барион (није лептон), \(L = 0\)
Задатак 2 (средњи): Одредити максималну таласну дужину \(\lambda_{\text{max}}\) \(\gamma\)-фотона који може произвести пар електрон–позитрон при креацији парова. Узети: \(E_{\text{min}} = 1{,}022\text{ MeV} = 1{,}637 \cdot 10^{-13}\text{ J}\), \(h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\), \(c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\).
Енергија фотона мора бити најмање једнака збиру енергија мировања електрона и позитрона:
\[ E_{\text{min}} = \frac{hc}{\lambda_{\text{max}}} \implies \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{E_{\text{min}}} \]
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \cdot 3 \cdot 10^8\text{ m/s}}{1{,}637 \cdot 10^{-13}\text{ J}} \approx 1{,}21 \cdot 10^{-12}\text{ m} = 1{,}21\text{ pm} \]
Задатак 3 (средњи): Испитати да ли је према законима одржања наелектрисања (\(Q\)) и барионског броја (\(B\)) дозвољена следећа реакција судара два протона:
\[ p + p \rightarrow p + n + \pi^+ \]
(Напомена: пион \(\pi^+\) је мезон са наелектрисањем \(+e\)).
1. Закон одржања наелектрисања (\(Q\)):
Пре реакције: \(Q = (+1) + (+1) = +2\)
После реакције: \(Q = (+1) + 0 + (+1) = +2\) \(\rightarrow\) Очувано.
2. Закон одржања барионског броја (\(B\)):
Пре реакције: \(B = 1 + 1 = 2\)
После реакције: \(B = 1 + 1 + 0 = 2\) (пион је мезон, \(B=0\)) \(\rightarrow\) Очувано.
Закључак: Реакција је дозвољена са аспекта ових закона одржања.
Пре реакције: \(Q = (+1) + (+1) = +2\)
После реакције: \(Q = (+1) + 0 + (+1) = +2\) \(\rightarrow\) Очувано.
2. Закон одржања барионског броја (\(B\)):
Пре реакције: \(B = 1 + 1 = 2\)
После реакције: \(B = 1 + 1 + 0 = 2\) (пион је мезон, \(B=0\)) \(\rightarrow\) Очувано.
Закључак: Реакција је дозвољена са аспекта ових закона одржања.
Задатак 4 (тежак): Фотон високе енергије од \(E_\gamma = 2{,}50\text{ MeV}\) у пољу тешког језгра ствара пар електрон–позитрон. Колика је укупна кинетичка енергија коју заједно деле настали електрон и позитрон након креације?
Укупна енергија фотона троши се на стварање маса мировања честица и на њихову кинетичку енергију:
\[ E_\gamma = 2m_e c^2 + E_k \]
\[ E_k = E_\gamma - 2m_e c^2 \]
Како је \(2m_e c^2 = 1{,}022\text{ MeV}\):
\[ E_k = 2{,}50\text{ MeV} - 1{,}022\text{ MeV} = 1{,}478\text{ MeV} \]
Одговор: Укупна кинетичка енергија насталог пара износи \(1{,}478\text{ MeV}\).
