Најважније из лекције
Дилатација времена: Временски интервали се продужавају у систему у односу на који се тело креће: \(\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\). Покретни часовници раде спорије у односу на непокретне.
Контракција дужине: Дужина тела се скраћује искључиво у правцу кретања: \(l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\). Попречне димензије се не мењају.
Сопствене величине (\(\Delta t_0\), \(l_0\)): Време и дужина измерени у систему референце у коме посматрано тело мирује.
Експериментални докази: Кашњење атомских часовника у авионима и продужен домет краткоживећих миона из космичког зрачења у атмосфери.
Контракција дужине: Дужина тела се скраћује искључиво у правцу кретања: \(l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\). Попречне димензије се не мењају.
Сопствене величине (\(\Delta t_0\), \(l_0\)): Време и дужина измерени у систему референце у коме посматрано тело мирује.
Експериментални докази: Кашњење атомских часовника у авионима и продужен домет краткоживећих миона из космичког зрачења у атмосфери.
Истовременост догађаја у специјалној теорији релативности није апсолутна категорија. Два догађаја која су истовремена за посматрача у једном инерцијалном систему референце не морају бити истовремена за посматрача у другом систему који се у односу на први креће.
Сопствено време (\(\Delta t_0\)) је временски интервал измерен часовником који мирује у односу на систем у коме се посматрани догађај одвија.
Сваки инерцијални систем референце има своје време – време више није универзално нити апсолутно за цео свемир.
Дилатација времена је појава при којој се трајање неког процеса, мерено из система у односу на који се тело/часовник креће, продужава у поређењу са сопственим временом тог процеса.
\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
\(\Delta t\) – време измерено у систему у односу на који се тело креће брзином \(v\)
\(\Delta t_0\) – сопствено време (у систему мировања тела)
\(v\) – релативна брзина кретања система (\(v < c\))
\(c\) – брзина светлости у вакууму (\(c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}\))
Будући да је брзина кретања тела увек мања од брзине светлости (\(v < c\)), израз \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\) је увек мањи од 1, из чега следи да је \(\Delta t > \Delta t_0\). Посматрачу који мирује чини се да часовник који се креће ради спорије („откуцава спорије”).
Контракција дужине је релативистички ефекат смањења дужине тела за посматрача у односу на кога се тело креће.
Сопствена дужина (\(l_0\)) је дужина тела измерена у систему референце у односу на који то тело мирује.
\[ l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
\(l\) – дужина тела у правцу кретања измерена од стране непокретног посматрача
\(l_0\) – сопствена дужина тела (у стању мировања)
Скраћење димензија тела дешава се искључиво у правцу кретања. Попречне (нормалне) димензије тела остају непромењене!
Ако свемирски брод сопствене дужине \(l_0\) лети поред Земље брзином од \(260\,000\text{ km/s}\), његова измерена дужина са Земље биће приближно преполовљена: \(l \approx \frac{l_0}{2}\).
Иако су релативистички ефекти занемарљиви при малим (свакодневним) брзинама, они су експериментално доказани веома прецизним мерењима:
Експеримент са атомским часовницима у авионима (1971): Четири атомска часовника су авионима путовала око Земље. Након упоређивања са часовницима који су остали у лабораторији, уочено је управо оно мало временско одступање (реда величине 100 ns) које предвиђа специјална теорија релативности.
Детекција миона из космичког зрачења:
Миони су нестабилне честице које настају у високим слојевима атмосфере и чији је сопствени животни век свега \(t_0 = 2{,}2\ \mu\text{s}\). По класичној физици, чак и при брзини од \(0{,}99c\), они би до распада прешли само око \(650\text{ m}\) и не би стигли до Земље.
Због релативистичке дилатације времена, за посматрача са Земље њихов животни век износи \(\approx 15{,}6\ \mu\text{s}\), што им омогућава да пређу око \(4{,}6\text{ km}\) и буду детектовани на површини планете. (Гледано из система миона, дебљина Земљине атмосфере претрпела је контракцију дужине).
Због релативистичке дилатације времена, за посматрача са Земље њихов животни век износи \(\approx 15{,}6\ \mu\text{s}\), што им омогућава да пређу око \(4{,}6\text{ km}\) и буду детектовани на површини планете. (Гледано из система миона, дебљина Земљине атмосфере претрпела је контракцију дужине).
Галилејеве трансформације из класичне механике нису применљиве при брзинама блиским брзини светлости. Нове релативистичке трансформације (Лоренцове трансформације) морају да задовоље следеће кључне услове:
- Једнозначност: Једном догађају у једном систему мора одговарати тачно један догађај у другом систему референце (догађаји се не могу удвостручавати).
- Очување узрочности: Узрочно-последични редослед мора бити сачуван – последица се ни у једном систему не сме догодити пре свог узрока.
- Инваријантност брзине светлости: Брзина светлости у вакууму (\(c\)) мора бити иста у свим инерцијалним референтним системима.
- Принцип кореспонденције: За мале брзине (\(v \ll c\)), нове трансформације морају прећи у класичне Галилејеве трансформације.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Релативистичка ракета креће се брзином \(v = 0{,}6c\). Колико износи релативистички фактор \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)?
Уврстимо вредност брзине у корен:
\[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{(0{,}6c)^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8 \]
Одговор: Релативистички фактор износи \(0{,}8\).
Задатак 2 (Средњи ниво): Свемирски брод има сопствену дужину \(l_0 = 150\text{ m}\). Колика је његова дужина за посматрача са Земље када поред ње пролеће брзином \(v = 0{,}8c\)?
Користимо формулу за контракцију дужине:
\[ l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
Прво одредимо корен:
\[ \sqrt{1 - \frac{(0{,}8c)^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6 \]
Затим израчунавамо дужину:
\[ l = 150\text{ m} \cdot 0{,}6 = 90\text{ m} \]
Одговор: Посматрач са Земље мери да је дужина брода \(90\text{ m}\).
Задатак 3 (Тежи ниво): Нестабилна честица има сопствено време живота \(\Delta t_0 = 2\ \mu\text{s}\) (\(2 \cdot 10^{-6}\text{ s}\)). У лабораторији се креће брзином \(v = 0{,}8c\).
а) Колико траје живот ове честице за посматрача у лабораторији?
б) Колико растојање честица пређе кроз лабораторију пре распада? (Узети \(c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\)).
а) Колико траје живот ове честице за посматрача у лабораторији?
б) Колико растојање честица пређе кроз лабораторију пре распада? (Узети \(c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\)).
а) Дилатација времена:
\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{2\ \mu\text{s}}{\sqrt{1 - (0{,}8)^2}} = \frac{2\ \mu\text{s}}{0{,}6} \approx 3{,}33\ \mu\text{s} = 3{,}33 \cdot 10^{-6}\text{ s} \]
б) Пређени пут у лабораторији:
\[ s = v \cdot \Delta t = (0{,}8 \cdot 3 \cdot 10^8\text{ m/s}) \cdot (3{,}33 \cdot 10^{-6}\text{ s}) = 2{,}4 \cdot 10^8\text{ m/s} \cdot 3{,}33 \cdot 10^{-6}\text{ s} \approx 800\text{ m} \]
(По класичној физици пређени пут би био само \(s_0 = v \cdot \Delta t_0 = 480\text{ m}\)).
Одговор: Животни век износи \(3{,}33\ \mu\text{s}\), а пређени пут је \(800\text{ m}\).
Одговор: Животни век износи \(3{,}33\ \mu\text{s}\), а пређени пут је \(800\text{ m}\).
