Најважније из лекције
Фермиони и бозони: Честице полуцелог спина (електрони) су фермиони и подлежу Паулијевом принципу; честице целобројног спина (фотони) су бозони.
Енергијски нивои у металу: Дискретни нивои унутар потенцијалне јаме; на сваком нивоу могу бити највише 2 електрона супротног спина.
Фермијев ниво (\(E_F\)): Највиши попуњени ниво на \(T = 0\text{ K}\) (типично \(\sim 10\text{ eV}\)).
Ферми–Диракова функција: \(f(E) = \frac{1}{e^{\frac{E-E_F}{kT}} + 1}\). На \(T = 0\text{ K}\) има облик степеника (\(f=1\) за \(E < E_F\), \(f=0\) за \(E > E_F\)), док је за сваку температуру \(f(E_F) = 0{,}5\).
Енергијски нивои у металу: Дискретни нивои унутар потенцијалне јаме; на сваком нивоу могу бити највише 2 електрона супротног спина.
Фермијев ниво (\(E_F\)): Највиши попуњени ниво на \(T = 0\text{ K}\) (типично \(\sim 10\text{ eV}\)).
Ферми–Диракова функција: \(f(E) = \frac{1}{e^{\frac{E-E_F}{kT}} + 1}\). На \(T = 0\text{ K}\) има облик степеника (\(f=1\) за \(E < E_F\), \(f=0\) за \(E > E_F\)), док је за сваку температуру \(f(E_F) = 0{,}5\).
Фермиони су честице са полуцелим спином (нпр. електрон са спином \(s = \frac{1}{2}\hbar\)). За фермионе важи Паулијев принцип забране - два фермиона се не могу наћи у истом квантном стању (морају имати различите квантне бројеве).
Бозони су честице са целобројним спином (нпр. фотон са спином \(s = \hbar\)). За бозоне не важи Паулијев принцип забране - више бозона може истовремено заузимати исто квантно стање.
Будући да су електрони у металу фермиони, њихова расподела по енергијским нивоима мора строго поштовати Паулијев принцип.
Да ли два електрона у истом атому или металу могу имати потпуно исте све квантне бројеве?
Не могу, јер су електрони фермиони за које важи Паулијев принцип забране.
Фермијев гас је квантномеханички модел којим се описују слободни електрони унутар кристалне решетке метала. Сматра се да се електрони налазе унутар потенцијалне јаме дубине једнаке излазном раду \(A_i\).
Због огромног броја електрона, у малом енергијском опсегу постоји велики број дискретних енергијских нивоа, па су енергијске разлике између суседних нивоа изузетно мале.
На сваком дискретном енергијском нивоу могу се налазити највише два електрона са супротним смеру пројекције спина (\(+\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\)).
Фермијев ниво (\(E_F\)) је највиши попуњени енергијски ниво на температури апсолутне нуле (\(T = 0\text{ K}\)). Код већине метала износи око \(10\text{ eV}\).
На \(T = 0\text{ K}\) сви енергијски нивои испод \(E_F\) су потпуно попуњени, док су сви нивои изнад \(E_F\) потпуно празни.
Расподела слободних електрона по енергијским нивоима описује се Ферми–Дираковом расподелом која одређује вероватноћу \(f(E)\) да је квантно стање са енергијом \(E\) попуњено.
\[ f(E) = \frac{1}{e^{\frac{E - E_F}{kT}} + 1} \]
\( f(E) \) – вероватноћа попуњености нивоа енергије \( E \)
\( E_F \) – енергија Фермијевог нивоа
\( k \) – Болцманова константа (\(k \approx 1{,}38 \cdot 10^{-23}\text{ J/K}\))
\( T \) – апсолутна температура у келвинима (\(\text{K}\))
\( E_F \) – енергија Фермијевог нивоа
\( k \) – Болцманова константа (\(k \approx 1{,}38 \cdot 10^{-23}\text{ J/K}\))
\( T \) – апсолутна температура у келвинима (\(\text{K}\))
Карактеристични случајеви Ферми–Диракове расподеле:
- На \(T \to 0\text{ K}\) за \(E < E_F\): \(\frac{E-E_F}{kT} \to -\infty \implies e^{-\infty} = 0 \implies f(E) = 1\) (стања су сигурно попуњена).
- На \(T \to 0\text{ K}\) за \(E > E_F\): \(\frac{E-E_F}{kT} \to +\infty \implies e^{+\infty} = \infty \implies f(E) = 0\) (стања су сигурно празна).
- За било коју температуру \(T\) када је \(E = E_F\): \(\frac{E-E_F}{kT} = 0 \implies e^0 = 1 \implies f(E_F) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}\).
Повећањем температуре (\(T > 0\text{ K}\)), топлотно кретање омогућава само електронима близу Фермијевог нивоа да пређу на нивое са енергијом \(E > E_F\), па се график функције благо "размазује" око \(E_F\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Која је основна разлика између фермиона и бозона у погледу попуњавања квантних стања?
Фермиони имају полуцели спин и за њих важи Паулијев принцип забране, што значи да се у једном квантном стању може наћи највише један фермион. Бозони имају целобројни спин, за њих Паулијев принцип не важи и неограничен број бозона може заузимати исто квантно стање.
Задатак 2 (средњи): Колика је вероватноћа да се на температури \(T = 300\text{ K}\) електрон нађе на стању чија је енергија тачно једнака Фермијевој енергији (\(E = E_F\))?
Уврштавањем \(E = E_F\) у Ферми–Диракову функцију:
\[ f(E_F) = \frac{1}{e^{\frac{E_F - E_F}{kT}} + 1} = \frac{1}{e^0 + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
Одговор: Вероватноћа износи \(0{,}5\) (или \(50\%\)) за било коју температуру \(T > 0\text{ K}\).
Задатак 3 (средњи): Колико електрона може максимално да се налази на једном просторном енергијском нивоу у кристалу метала и на основу чега?
На једном енергијском нивоу могу се налазити највише два електрона. По Паулијевом принципу, два електрона на истом енергијском нивоу морају се разликовати по неком квантном броју, а то је пројекција спина (\(m_s = +\frac{1}{2}\) и \(m_s = -\frac{1}{2}\)).
Задатак 4 (тежак): На температури апсолутне нуле (\(T = 0\text{ K}\)), одредити вероватноћу попуњености за енергијска стања:
а) \(E = 0{,}7 E_F\)
б) \(E = 1{,}3 E_F\)
Обраложити физички смисао добијених резултата.
а) \(E = 0{,}7 E_F\)
б) \(E = 1{,}3 E_F\)
Обраложити физички смисао добијених резултата.
На \(T \to 0\text{ K}\):
а) За \(E = 0{,}7 E_F < E_F\), разлика \(E - E_F < 0\), па израз \(\frac{E-E_F}{kT} \to -\infty\). Тада је \(e^{-\infty} = 0\), одакле следи: \[ f(E) = \frac{1}{0 + 1} = 1 \] Физички смисао: сви нивои испод Фермијевог нивоа су \(100\%\) попуњени.
б) За \(E = 1{,}3 E_F > E_F\), разлика \(E - E_F > 0\), па израз \(\frac{E-E_F}{kT} \to +\infty\). Тада је \(e^{+\infty} = \infty\), одакле следи: \[ f(E) = \frac{1}{\infty + 1} = 0 \] Физички смисао: вероватноћа налажења електрона на енергијским нивоима изнад Фермијевог нивоа на \(T = 0\text{ K}\) једнака је нули (нивои су потпуно празни).
а) За \(E = 0{,}7 E_F < E_F\), разлика \(E - E_F < 0\), па израз \(\frac{E-E_F}{kT} \to -\infty\). Тада је \(e^{-\infty} = 0\), одакле следи: \[ f(E) = \frac{1}{0 + 1} = 1 \] Физички смисао: сви нивои испод Фермијевог нивоа су \(100\%\) попуњени.
б) За \(E = 1{,}3 E_F > E_F\), разлика \(E - E_F > 0\), па израз \(\frac{E-E_F}{kT} \to +\infty\). Тада је \(e^{+\infty} = \infty\), одакле следи: \[ f(E) = \frac{1}{\infty + 1} = 0 \] Физички смисао: вероватноћа налажења електрона на енергијским нивоима изнад Фермијевог нивоа на \(T = 0\text{ K}\) једнака је нули (нивои су потпуно празни).
