Најважније из лекције
Спин и квантни бројеви: Пројекција спина је \( S_z = m_s \hbar \), где је \( m_s = \pm \frac{1}{2} \). Електрон има спински магнетни диполни момент \( \mu_s = \mu_B \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Једноелектронска апроксимација: Кретање једног електрона посматра се у ефективном пољу језгра и осталих електрона; енергија електрона зависи од \( n \) и \( l \).
Паулијев принцип искључења: Два електрона (фермиони) унутар истог атома не могу имати исти скуп сва 4 квантна броја (\( n, l, m_l, m_s \)).
Капацитет стања: Подљуска садржи највише \( 2(2l+1) \) електрона (\( s: 2, p: 6, d: 10, f: 14 \)), а целокупна љуска \( 2n^2 \) електрона (\( \text{K}: 2, \text{L}: 8, \text{M}: 18, \text{N}: 32 \)).
Једноелектронска апроксимација: Кретање једног електрона посматра се у ефективном пољу језгра и осталих електрона; енергија електрона зависи од \( n \) и \( l \).
Паулијев принцип искључења: Два електрона (фермиони) унутар истог атома не могу имати исти скуп сва 4 квантна броја (\( n, l, m_l, m_s \)).
Капацитет стања: Подљуска садржи највише \( 2(2l+1) \) електрона (\( s: 2, p: 6, d: 10, f: 14 \)), а целокупна љуска \( 2n^2 \) електрона (\( \text{K}: 2, \text{L}: 8, \text{M}: 18, \text{N}: 32 \)).
Пројекција спина: Пројекција спинског момента импулса на правац спољашњег магнетног поља квантована је и одређена магнетним спинским квантним бројем \( m_s \).
\[ S_z = m_s \hbar \]
\( m_s = \pm \frac{1}{2} \) - магнетни спински квантни број
\[ \mu_s = \frac{e}{2 m_e} S = \mu_B \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\( \mu_s \) - магнетни момент спина, \( \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \) - Боров магнетон
Сваки електрон се због свог сопственог спина понаша као магнетни дипол. Интеракција тог дипола и магнетног поља насталог орбиталним кретањем електрона (спин-орбитална интеракција) доводи до цепања енергетских нивоа на поднивое, што чини фину структуру спектра.
Колико могућих оријентација има вектор спина електрона у спољашњем магнетном пољу?
Вектор спина има две могуће оријентације дуж осе поља јер магнетни спински квантни број може имати само две вредности: \( m_s = +\frac{1}{2} \) (спин „навише”) и \( m_s = -\frac{1}{2} \) (спин „наниже”).
Вишеелектронски атоми: Код атома са више електрона, Шредингерова једначина је сложена због међусобних електростатичких одбојних сила међу електронима.
Једноелектронска апроксимација: Претпоставља се да се посматрани електрон креће у усредњеном електростатичком пољу које чине атомско језгро и сви преостали електрони.
За разлику од атома водоника где енергија зависи искључиво од главног квантног броја \( n \), код вишеелектронских атома енергија електрона зависи и од главног (\( n \)) и од орбиталног (\( l \)) квантног броја.
Систем тежи стању са минималном енергијом (основни ниво), због чега електрони прво попуњавају нивое и поднивое са најнижом енергијом.
Паулијев принцип искључења: У истом атому не могу постојати два електрона која имају исте вредности сва четири квантна броја (\( n, l, m_l, m_s \)). Барем један квантни број мора бити различит.
Фермиони и бозони:
- Фермиони: честице са полуцелим спином (\( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \dots \)), као што је електрон. Подлежу Паулијевом принципу искључења.
- Бозони: честице са целобројним спином (\( 0, 1, 2, \dots \)). Не подлежу Паулијевом принципу искључења.
Ако два електрона у атому имају исте квантне бројеве \( n = 2 \), \( l = 1 \), \( m_l = -1 \), какве морају бити њихове вредности \( m_s \)?
Према Паулијевом принципу, њихов четврти квантни број мора бити различит. Један мора имати \( m_s = +\frac{1}{2} \), а други \( m_s = -\frac{1}{2} \). У једном таквом квантном стању (орбитали) могу бити највише два електрона супротних спинова.
Број могућих вредности магнетног квантног броја за дати орбитални квантни број \( l \) је \( 2l + 1 \). Како свако стање може примити два електрона супротног спина (\( m_s = \pm \frac{1}{2} \)), максималан број електрона у подљусци је:
\[ N_l = 2(2l + 1) \]
\( l = 0 \, (s) \rightarrow 2 \text{ е}^- \); \( l = 1 \, (p) \rightarrow 6 \text{ е}^- \); \( l = 2 \, (d) \rightarrow 10 \text{ е}^- \); \( l = 3 \, (f) \rightarrow 14 \text{ е}^- \); \( l = 4 \, (g) \rightarrow 18 \text{ е}^- \)
\[ Z = \sum_{l=0}^{n-1} 2(2l+1) = 2n^2 \]
\( Z \) - максималан број електрона у љусци са главним квантним бројем \( n \)
| Главни квантни број (\( n \)) | Ознака љуске | \( s \) (\( l=0 \)) | \( p \) (\( l=1 \)) | \( d \) (\( l=2 \)) | \( f \) (\( l=3 \)) | \( g \) (\( l=4 \)) | Укупно (\( 2n^2 \)) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | K | 2 | - | - | - | - | 2 |
| 2 | L | 2 | 6 | - | - | - | 8 |
| 3 | M | 2 | 6 | 10 | - | - | 18 |
| 4 | N | 2 | 6 | 10 | 14 | - | 32 |
| 5 | O | 2 | 6 | 10 | 14 | 18 | 50 |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај максималан број електрона који могу да се сместе у електронску љуску са главним квантним бројем \( n = 3 \) (љуска M).
Користимо формулу за максималан број електрона у љусци:
\[ Z = 2n^2 \]
За \( n = 3 \):
\[ Z = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 \]
Одговор: У љусци M може се налазити највише 18 електрона.
Задатак 2 (средњи): Одредити максималан број електрона који могу имати вредности квантних бројева \( n = 4 \) и \( l = 2 \). О којој подљусци је реч?
Орбитални квантни број \( l = 2 \) означава \( d \)-подљуску, па је овде у питању \( 4d \) подљуска.
Максималан број електрона у подљусци рачуна се као: \[ N_l = 2(2l + 1) \] За \( l = 2 \): \[ N_2 = 2(2 \cdot 2 + 1) = 2 \cdot 5 = 10 \] Одговор: У подљусци \( 4d \) може се наћи максимално 10 електрона.
Максималан број електрона у подљусци рачуна се као: \[ N_l = 2(2l + 1) \] За \( l = 2 \): \[ N_2 = 2(2 \cdot 2 + 1) = 2 \cdot 5 = 10 \] Одговор: У подљусци \( 4d \) може се наћи максимално 10 електрона.
Задатак 3 (тежи): Да ли у атому могу постојати три електрона са следећим сетом квантних бројева: \( n = 3, l = 0, m_l = 0 \)? Образложити одговор на основу вредности магнетног спинског квантног броја.
Не могу. За дато просторно стање \( (n=3, l=0, m_l=0) \), магнетни спински квантни број \( m_s \) може имати само две вредности: \( +\frac{1}{2} \) и \( -\frac{1}{2} \).
Трећи електрон би морао да понови неку од ове две вредности \( m_s \), чиме би имао сва 4 идентична квантна броја са једним од претходна два, што је строго забрањено Паулијевим принципом искључења.
Трећи електрон би морао да понови неку од ове две вредности \( m_s \), чиме би имао сва 4 идентична квантна броја са једним од претходна два, што је строго забрањено Паулијевим принципом искључења.
