Најважније из лекције
Квантни хармонијски осцилатор:
- Потенцијална енергија: \( V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \).
- Дискретни енергијски нивои: \( E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right)\hbar\omega \), за \( n = 0, 1, 2, \dots \)
- Нулта енергија: \( E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega > 0 \) (не може бити 0 због Хајзенберговог принципа неодређености).
- Еквидистантност нивоа: Разлика суседних нивоа је увек иста: \( \Delta E = \hbar\omega = h\nu \).
- Продор ван класичних граница: Таласна функција има ненулту вредност и у класично забрањеној области.
Стационарна стања су стања честице описана таласним функцијама код којих се густина вероватноће налажења честице не мења током времена (честица образује стојећи талас).
\[ E_n = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}n^2, \quad n = 1, 2, 3\dots \]
\( m \) – маса честице, \( L \) – ширина јаме, \( n \) – квантни број (енергијски ниво).
При преласку честице из вишег стационарног стања \( n_2 \) у ниже стационарно стање \( n_1 \), емитује се фотон чија је енергија једнака разлици енергија тих стања:
\[ E_f = \Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = h\nu \]
Протон заробљен у атомском језгру (\( L \approx 10^{-14} \text{ m} \)) при преласку из првог побуђеног стања (\( n=2 \)) у основно стање (\( n=1 \)) емитује фотон велике енергије који припада спектру гама зрачења.
Линеарни хармонијски осцилатор је систем чија се потенцијална енергија мења по параболичном закону:
\[ V(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \]
\[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right)\hbar\omega, \quad n = 0, 1, 2, \dots \]
\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \) – сопствена кружна фреквенција осцилатора, \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \).
Најмања могућа енергија квантног осцилатора (за \( n = 0 \)) није једнака нули, већ износи:
\[ E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega \]
Ово је директна последица Хајзенбергове релације неодређености (\( \Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \)). Када би енергија била нула, честица би истовремено имала тачно одређен положај (\( x=0 \)) и тачно одређен импулс (\( p=0 \)), што квантна механика забрањује.
За разлику од класичног осцилатора, квантна честица има ненулту вероватноћу налажења и изван класичних граница осциловања (ван тачака преокрета).
Енергијски нивои квантног хармонијског осцилатора су еквидистантни (растојања између било која два суседна нивоа су једнака):
\[ \Delta E = E_{n+1} - E_n = \left( n + 1 + \frac{1}{2} \right)\hbar\omega - \left( n + \frac{1}{2} \right)\hbar\omega = \hbar\omega = h\nu \]
Квантни осцилатор прелази искључиво између суседних стања, при чему емитује или апсорбује један квант енергије \( \Delta E = h\nu \), што је у потпуности у складу са Планковом хипотезом.
Модел квантног линеарног осцилатора користи се у физици чврстог тела за описивање топлотних осцилација атома у кристалној решетки.
Потенцијална баријера представља просторну област у којој потенцијална енергија нагло расте до одређене вредности \( V_0 \) на ширини \( L \).
Класично гледиште: Честица укупне енергије \( E \) која наилази на баријеру висине \( V_0 \) може савладати баријеру искључиво ако је \( E \ge V_0 \). У супротном (\( E < V_0 \)), честица се сигурно одбија.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Колика је најнижа могућа енергија (енергија основног стања) квантног линеарног хармонијског осцилатора сопствене кружне фреквенције \( \omega = 4 \cdot 10^{14} \text{ rad/s} \)? Редукована Планкова константа износи \( \hbar \approx 1,055 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \).
Основно стање одговара квантном броју \( n = 0 \):
\[ E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega \]
\[ E_0 = \frac{1}{2} \cdot 1,055 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \cdot 4 \cdot 10^{14} \text{ rad/s} = 2,11 \cdot 10^{-20} \text{ J} \]
Одговор: Енергија основног стања износи \( 2,11 \cdot 10^{-20} \text{ J} \).
Средњи задатак: Квантни хармонијски осцилатор прелази из другог побуђеног стања (\( n = 2 \)) у прво побуђено стање (\( n = 1 \)). Израчунати фреквенцију емитованог фотона ако је кружна фреквенција осцилатора \( \omega = 6,28 \cdot 10^{13} \text{ rad/s} \).
Разлика енергија између два суседна стања осцилатора је:
\[ \Delta E = \hbar\omega = h\nu \]
Пошто је \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \), следи:
\[ \frac{h}{2\pi}\omega = h\nu \implies \nu = \frac{\omega}{2\pi} \]
\[ \nu = \frac{6,28 \cdot 10^{13} \text{ rad/s}}{2 \cdot 3,14} = 10^{13} \text{ Hz} \]
Одговор: Фреквенција емитованог фотона износи \( 10^{13} \text{ Hz} \).
Тежи задатак: Честица масе \( m \) налази се у бесконачно дубокој потенцијалној јами ширине \( L \). Колика је енергија фотона који се емитује при прелазу честице са нивоа \( n=3 \) на ниво \( n=2 \), изражена преко енергије основног стања \( E_1 \)? Како се та разлика разликује од енергијског прелаза између суседних нивоа код квантног хармонијског осцилатора?
1. Енергија нивоа у бесконачно дубокој јами је \( E_n = n^2 E_1 \).
\[ E_3 = 3^2 E_1 = 9 E_1 \]
\[ E_2 = 2^2 E_1 = 4 E_1 \]
Разлика енергија емитованог фотона је:
\[ \Delta E = E_3 - E_2 = 9E_1 - 4E_1 = 5E_1 \]
2. Разлика: Код потенцијалне јаме енергијски размаци између суседних нивоа расту са порастом квантног броја (\( \Delta E_{n\to n-1} \sim (2n-1) \)), док су код квантног хармонијског осцилатора сви размаци суседних нивоа строго константни и износе увек \( \hbar\omega \).
