Најважније из лекције
Хајзенбергове релације:
- Положај и импулс: \( \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \) (важи за сваку осу независно: \(x, y, z\)). Немогуће је истовремено прецизно знати где се микрочестица налази и како се креће.
- Енергија и време: \( \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \). Краткотрајна квантна стања поседују инхерентну неодређеност енергије (природна ширина спектралних линија).
- Физички узрок: Таласно-честични дуализам и таласна природа материје на квантном нивоу.
Хајзенбергов принцип неодређености утврђује да је у микросвету немогуће истовремено са произвољном тачношћу измерити и положај и импулс честице дуж истог правца.
\[ \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \]
\[ \Delta y \cdot \Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2} \]
\[ \Delta z \cdot \Delta p_z \ge \frac{\hbar}{2} \]
где је \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1{,}055 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \) редукована Планкова константа, \( \Delta x \) неодређеност положаја, а \( \Delta p_x \) неодређеност компоненте импулса. Ред величине се често процењује као \( \Delta x \cdot \Delta p_x \sim h \).
Ове релације су фундаментална последица таласне природе материје (таласно-честичног дуализма), а не недостатка или несавршености мерних инструмената.
Што се прецизније одреди положај честице (\(\Delta x \to 0\)), то је неодређеност њеног импулса већа (\(\Delta p_x \to \infty\)), и обрнуто. За квантно посматрање мањих просторних димензија неопходно је зрачење мање таласне дужине (\(\Delta x \sim \lambda\)), али фотони мање таласне дужине поседују већи импулс (\(p_f = \frac{h}{\lambda}\)), чиме при интеракцији јаче мењају импулс посматране честице.
Пролазак снопа електрона кроз узан прорез ширине \(d\) представља директну експерименталну илустрацију релације неодређености.
Положај електрона у тренутку проласка кроз прорез одређен је ширином прореза:
\[ \Delta y \approx d \]
Први дифракциони минимум за талас таласне дужине \(\lambda\) јавља се под углом \(\theta\) за који важи \(d \sin\theta = \lambda\). Након проласка кроз прорез, електрон добија неодређеност импулса дуж \(y\)-осе:
\[ \Delta p_y = p \sin\theta = \frac{h}{\lambda} \sin\theta \]
Комбиновањем израза \(\sin\theta \approx \frac{\lambda}{\Delta y}\) и \(\Delta p_y = \frac{h}{\lambda}\sin\theta\) добија се:
\[ \Delta y \cdot \Delta p_y \approx h \]
Сужавањем прореза (\(\Delta y \downarrow\)), дифракциони максимум постаје шири, па се неодређеност импулса повећава (\(\Delta p_y \uparrow\)).
Поред положаја и импулса, принцип неодређености повезује и укупну енергију квантног система и време његовог посматрања, односно време живота система у одређеном енергетском стању.
\[ \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \]
где је \( \Delta E \) неодређеност енергије стања, а \( \Delta t \) време трајања (живота) посматраног стања. У реду величина: \( \Delta E \cdot \Delta t \sim h \).
Природна ширина спектралних линија: Када се атом побуди, он у побуђеном стању проводи коначно време \(\Delta t\) пре него што емитује фотон и врати се у основно стање. Због коначног времена живота \(\Delta t\), енергија побуђеног нивоа има неодређеност \(\Delta E \approx \frac{\hbar}{\Delta t}\), што узрокује да емитована спектрална линија није бесконачно оштра, већ има природну ширину.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Неодређеност положаја електрона износи \( \Delta x = 10^{-10} \text{ m} \) (реда величине димензија атома). Проценити минималну неодређеност његовог импулса користећи релацију \( \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \). (\(\hbar \approx 1{,}055 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\))
Из Хајзенбергове релације неодређености:
\[ \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
\[ \Delta p_x \ge \frac{1{,}055 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}}{2 \cdot 10^{-10} \text{ m}} = 5{,}28 \cdot 10^{-25} \text{ kg}\cdot\text{m/s} \]
Одговор: Минимална неодређеност импулса је \( \Delta p_x \approx 5{,}28 \cdot 10^{-25} \text{ kg}\cdot\text{m/s} \).
Задатак 2 (средњи): Просечно време живота атома у побуђеном стању је \( \Delta t = 10^{-8} \text{ s} \). Користећи релацију \( \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \), одредити неодређеност енергије овог стања у електронволтима (\(1 \text{ eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ J}\)).
Минимална неодређеност енергије износи:
\[ \Delta E = \frac{\hbar}{2 \Delta t} = \frac{1{,}055 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}}{2 \cdot 10^{-8} \text{ s}} \approx 5{,}28 \cdot 10^{-27} \text{ J} \]
Претварањем у електронволте (\(\text{eV}\)):
\[ \Delta E = \frac{5{,}28 \cdot 10^{-27} \text{ J}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV}} \approx 3{,}3 \cdot 10^{-8} \text{ eV} \]
Одговор: Неодређеност енергије побуђеног стања износи приближно \( 3{,}3 \cdot 10^{-8} \text{ eV} \).
Задатак 3 (тежак): Сноп електрона масе \( m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \) пролази кроз узан прорез ширине \( d = 1 \text{ \mu m} \). Проценити минималну неодређеност трансверзалне компоненте брзине електрона \( \Delta v_y \) након проласка кроз прорез ако се узме \( \Delta y = d \) и релација \( \Delta y \cdot \Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2} \).
Пошто је \( \Delta p_y = m_e \Delta v_y \), релација неодређености постаје:
\[ \Delta y \cdot (m_e \Delta v_y) \ge \frac{\hbar}{2} \]
Одавде је неодређеност брзине:
\[ \Delta v_y \ge \frac{\hbar}{2 m_e d} \]
Уврштавањем вредности:
\[ \Delta v_y \ge \frac{1{,}055 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}}{2 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 10^{-6} \text{ m}} \]
\[ \Delta v_y \ge \frac{1{,}055 \cdot 10^{-34}}{1{,}822 \cdot 10^{-36}} \approx 57{,}9 \text{ m/s} \]
Одговор: Неодређеност попречне брзине износи најмање \( \Delta v_y \approx 57{,}9 \text{ m/s} \).
