Најважније из лекције
- Орбитални магнетни момент: Квантована величина \( \mu_l = \mu_B \sqrt{l(l+1)} \), где је Боров магнетон \( \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 9{,}27 \cdot 10^{-24} \text{ J/T} \). Његова пројекција износи \( \mu_{lz} = m \mu_B \).
- Таласна функција и вероватноћа: Квадрат таласне функције \( |\Psi|^2 \) дефинише густину вероватноће налажења електрона. Таласна функција за \( s \) стања зависи само од радијуса \( r \). Места где је \( \Psi = 0 \) и мења знак зову се нодови.
- Штерн–Герлахов експеримент: Проласком атома сребра кроз нехомогено магнетно поље долази до цепања снопа на 2 дела, што доказује postojanje сопственог момента импулса - спина електрона (\( S = \hbar\sqrt{s(s+1)} \) где је \( s = 1/2 \)).
Кретање електрона око атомског језгра ствара орбитални магнетни момент \( \mu_l \), који је непосредно повезан са орбиталним моментом импулса \( L \).
\[ \mu_l = \frac{e}{2m_e} L = \frac{e\hbar}{2m_e} \sqrt{l(l+1)} = \mu_B \sqrt{l(l+1)} \]
где је \( e \) наелектрисање електрона, \( m_e \) маса електрона, \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \), а \( l \) орбитални (споредни) квантни број.
Боров магнетон (\( \mu_B \)) представља природну јединицу магнетног момента електрона:
\[ \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 9{,}27 \cdot 10^{-24} \text{ J/T} \]
Правци вектора магнетног момента \( \vec{\mu}_l \) и момента импулса \( \vec{L} \) су исти, али су им смерови супротни због негативног наелектрисања електрона.
Пројекција магнетног момента на правац спољашњег магнетног поља (\( z \)-оса) је такође квантована:
\[ \mu_{lz} = m \mu_B \]
где је \( m \) магнетни квантни број.
Колики је орбитални магнетни момент електрона у \( s \) стању (\( l = 0 \))?
За \( s \) стање је \( l = 0 \):
\[ \mu_l = \mu_B \sqrt{0(0+1)} = 0 \]
Одговор: Орбитални магнетни момент електрона у \( s \) стању једнак је нули.
Због таласне природе електрона, његов тачан положај и путању у атому је немогуће одредити. Стање електрона се описује таласаном функцијом \( \Psi \).
Густина вероватноће налажења електрона у одређеном делу простора сразмерна је квадрату таласне функције, односно \( |\Psi|^2 \).
За \( s \) стања густина вероватноће је сферно симетрична, па таласна функција зависи само од радијалног растојања од језгра \( r \), тј. \( \Psi(r) \). Густина вероватноће налажења на растојању \( r \) често се изражава као \( \Psi^2 r^2 \).
Нодови (чворне површи): Области простора у којима је таласна функција једнака нули и мења знак (вероватноћа налажења електрона у тој тачки је једнака нули).
Електронски облак: Простор око језгра у коме постоји значајна вероватноћа налажења електрона. Облик и просторна симетрија облака зависе од квантних бројева (\( n, l, m \)).
Колико чворних површи (нодова) имају радијалне функције за \( 1s \), \( 2s \) и \( 3s \) стања?
- \( 1s \) орбитала нема нодове (0 нодова).
- \( 2s \) орбитала има 1 нод.
- \( 3s \) орбитала има 2 нода.
Експеримент који су извели Ото Штерн и Валтер Герлах доказао је postojanje сопственог (унутрашњег) момента импулса електрона - спина.
Сноп атома сребра пропуштен је кроз јако нехомогено магнетно поље. Пошто су валентни електрони сребра у \( s \) стању (\( l = 0, L = 0 \)), према класичној физици и моделу без спина сноп не би требало да скреће.
На плочи су се уместо једне појавиле две оштре симетричне линије (максимума). То је показало да електрони поседују унутрашњи магнетни момент који има само две могуће оријентације у пољу.
Спин електрона (\( S \)): Сопствени момент импулса електрона (увели су га Гаудсмит и Уленбек 1925. године).
\[ S = \hbar \sqrt{s(s+1)} \]
где је \( s \) спински квантни број и његова вредност за електрон увек износи \( s = \frac{1}{2} \).
Зашто се у Штерн–Герлаховом експерименту користи нехомогено, а не хомогено магнетно поље?
Одговор: У хомогеном магнетном пољу на магнетни дипол делује само обртни момент (спрег сила), док у нехомогеном пољу делује резултујућа сила која транслаторно помера (скреће) атом у правцу градијента поља у зависности од оријентације његовог магнетног момента.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати интензитет сопственог момента импулса (спина) електрона \( S \). Изразити резултат преко редуковане Планкове константе \( \hbar \).
Спински квантни број електрона је \( s = \frac{1}{2} \).
Користећи формулу за интензитет спина: \[ S = \hbar \sqrt{s(s+1)} = \hbar \sqrt{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + 1\right)} = \hbar \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \hbar \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \] Одговор: Интензитет спина електрона износи \( S = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \).
Користећи формулу за интензитет спина: \[ S = \hbar \sqrt{s(s+1)} = \hbar \sqrt{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + 1\right)} = \hbar \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \hbar \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \] Одговор: Интензитет спина електрона износи \( S = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \).
Задатак 2 (средњи): Електрон се налази у \( p \) стању (\( l = 1 \)).
а) Израчунати вредност његовог орбиталног магнетног момента \( \mu_l \) преко Боровог магнетона \( \mu_B \).
б) Одредити све могуће вредности пројекције магнетног момента \( \mu_{lz} \) на правац спољашњег поља.
а) Израчунати вредност његовог орбиталног магнетног момента \( \mu_l \) преко Боровог магнетона \( \mu_B \).
б) Одредити све могуће вредности пројекције магнетног момента \( \mu_{lz} \) на правац спољашњег поља.
а) За \( l = 1 \):
\[ \mu_l = \mu_B \sqrt{l(l+1)} = \mu_B \sqrt{1(1+1)} = \mu_B \sqrt{2} \approx 1{,}41 \mu_B \]
б) Магнетни квантни број \( m \) за \( l = 1 \) може имати вредности \( m \in \{-1, 0, 1\} \).
Пројекције износе: \[ \mu_{lz} = m \mu_B \implies \mu_{lz} \in \{ -\mu_B, 0, +\mu_B \} \]
Пројекције износе: \[ \mu_{lz} = m \mu_B \implies \mu_{lz} \in \{ -\mu_B, 0, +\mu_B \} \]
Задатак 3 (тежак): На основу резултата Штерн–Герлаховог експеримента, објаснити зашто би класична физика дала непрекидну мрљу на заклону, док квантна физика даје тачно две раздвојене линије за сноп атома сребра.
Објашњење:
- Класична физика: Магнетни моменти атома би могли бити оријентисани под било којим углом у простору (произвољна непрекидна оријентација од \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \)). Због тога би сила нехомогеног поља скретала атоме за све могуће вредности, што би на заклону дало континуалну, непрекидну расподелу (мрљу).
- Квантна физика: Валентни електрон атома сребра има \( l = 0 \) (нема орбитални момент), али поседује спин \( s = 1/2 \). Пројекција спина (просторно квантовање) може имати само две дискретне оријентације: „спин горе“ (\( m_s = +1/2 \)) и „спин доле“ (\( m_s = -1/2 \)). Зато се сноп цепа на тачно два дискретна снопа.
