Најважније из лекције
Франк–Херцов оглед: Први директан експериментални доказ квантованости енергијских нивоа у атому. До нееластичних судара електрона и атома живе долази само када кинетичка енергија електрона достигне вредност ексцитације од \(4{,}86\text{ eV}\), што ствара периодичне минимуме струје на сваких \(\approx 4{,}89\text{ V}\).
Квантни бројеви атома водоника:
Квантни бројеви атома водоника:
- Главни (\(n = 1, 2, 3, \dots\)) – ниво енергије.
- Орбитални (\(l = 0, 1, \dots, n-1\)) – подниво и момент импулса.
- Магнетни (\(m = -l, \dots, +l\)) – просторна оријентација.
Експерименти су показали да је момент импулса електрона у основном стању једнак нули (\(L = 0\)), док Боров модел предвиђа вредност \(L = \hbar\).
Положај електрона у атому није одређен тачним путањама (орбитама), већ се у модерној квантној теорији описује вероватноћом налажења у одређеном делу простора.
Борова теорија није могла успешно да објасни спектре зрачења атома са великим масеним бројем, као ни енергетске нивое вишеелектронских атома (чак ни код хелијума).
Ови недостаци су превазиђени развојем квантне механике и преласком на Шредингеров модел атома.
Која је фундаментална разлика у опису положаја електрона између Боровог и Шредингеровог модела?
У Боровом моделу електрон се креће по тачно одређеним кружним путањама (орбитама), док у Шредингеровом квантно-механичком моделу говоримо само о вероватноћи проналажења електрона у одређеној запремини простора.
Франк–Херцов оглед (1914): Експеримент којим су Џејмс Франк и Густав Херц доказали да атоми могу да приме енергију само у дискретним (квантованим) износима, чиме су потврђена стационарна енергијска стања.
Судари електрона са атомима живе:
- Еластични судари: Електрони имају мању кинетичку енергију од енергије побуђивања атома живе (\(E_k < 4{,}86\text{ eV}\)). Енергија и интензитет брзине електрона се не мењају, већ само правац кретања. Струја према аноди расте са напоном.
- Нееластични судари: Када кинетичка енергија електрона достигне праг побуђивања од \(4{,}86\text{ eV}\) (при напону од око \(4{,}89\text{ V}\)), електрон предаје енергију атому живе и побуђује га. Електрон губи кинетичку енергију и не може да савлада зауставни потенцијал између решетке и аноде, што доводи до наглог пада анодне струје.
Периодични падови анодне струје јављају се на напонима који су целобројни умношци вредности од \(4{,}89\text{ V}\) (\(4{,}89\text{ V}\), \(9{,}78\text{ V}\), \(14{,}67\text{ V}\)...), јер електрони убрзавањем могу доживети два, три или више узастопних нееластичних судара.
Шта се дешава са електроном у Франк–Херцовом огледу када напон достигне \(4{,}89\text{ V}\)?
Електрон стиче довољно кинетичке енергије (\(\approx 4{,}86\text{ eV}\)) да у нееластичном судару побуди атом живе. При томе губи готово сву своју кинетичку енергију, не може да савлада закочни напон до аноде, па јачина мерене струје нагло опада.
Водоник је најзаступљенији елемент у свемиру (чини око \(90\%\) свих честица и око \(75\%\) укупне масе атома). Због сферносиметричног Кулоновог потенцијала (\(V \propto 1/r\)), Шредингерова једначина за водоник се може егзактно решити.
Стања електрона у атому водоника квантно-механички су описана помоћу три квантна броја:
| Квантни број | Ознака | Могуће вредности | Физичко значење |
|---|---|---|---|
| Главни | \(n\) | \(1, 2, 3, \dots\) | Одређује главни енергетски ниво (љуску) |
| Орбитални (споредни) | \(l\) | \(0, 1, 2, \dots, n-1\) | Одређује енергетски подниво и момент импулса |
| Магнетни | \(m\) | \(-l, \dots, 0, \dots, +l\) | Одређује просторну усмереност подорбитала |
Ако се електрон налази на главном енергетском нивоу \(n = 2\), које вредности могу имати орбитални квантни број \(l\) и магнетни квантни број \(m\)?
За \(n = 2\):
- \(l = 0 \implies m = 0\)
- \(l = 1 \implies m \in \{-1, 0, 1\}\)
\[ L = \hbar \sqrt{l(l+1)} \]
где је \(L\) момент импулса електрона, \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\) редукована Планкова константа, а \(l\) орбитални квантни број.
Борова формула за момент импулса (\(L = n\hbar\)) и Шредингерова формула приближно се поклапају само за велике вредности квантног броја \(l\).
У основном стању атома водоника (\(n = 1, l = 0\)), момент импулса према Шредингеровој једначини износи:
\[ L = \hbar \sqrt{0(0+1)} = 0 \]
Ово је у савршеном складу са експериментима.
Колики је интензитет момента импулса електрона који се налази у поднивоу са орбиталним квантним бројем \(l = 1\)?
Применом формуле:
\[ L = \hbar \sqrt{1(1+1)} = \hbar \sqrt{2} = \sqrt{2}\,\hbar \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колико различитих вредности може имати магнетни квантни број \(m\) за орбитални квантни број \(l = 2\)? Навести те вредности.
Магнетни квантни број узима целобројне вредности од \(-l\) до \(+l\).
За \(l = 2\), могуће вредности су: \[ m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} \] Укупно има \(2l + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5\) могућих вредности.
За \(l = 2\), могуће вредности су: \[ m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} \] Укупно има \(2l + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5\) могућих вредности.
Задатак 2 (средњи): У Франк–Херцовом експерименту са живином паром разлика између узастопних падова струје износи \(4{,}89\text{ V}\). При ком убрзавајућем напону ће се регистровати трећи минимум јачине струје (под претпоставком да је први на \(4{,}89\text{ V}\))?
Падови јачине струје се јављају при целобројним умношцима напона побуђивања \(U_1 = 4{,}89\text{ V}\):
\[ U_k = k \cdot U_1 \]
За трећи минимум (\(k = 3\)):
\[ U_3 = 3 \cdot 4{,}89\text{ V} = 14{,}67\text{ V} \]
При овом напону електрони могу три пута узастопно доживети нееластичан судар са атомима живе.
Задатак 3 (тежак): Електрон у атому водоника налази се у стању са главним квантним бројем \(n = 3\).
а) Које све вредности може имати орбитални квантни број \(l\)?
б) Израчунати могуће вредности момента импулса \(L\) за свако од тих стања.
а) Које све вредности може имати орбитални квантни број \(l\)?
б) Израчунати могуће вредности момента импулса \(L\) за свако од тих стања.
а) За \(n = 3\), орбитални квантни број узима вредности \(l \in \{0, 1, \dots, n-1\}\):
\[ l \in \{0, 1, 2\} \]
б) Момент импулса се рачуна по формули \(L = \hbar \sqrt{l(l+1)}\):
- За \(l = 0\): \[ L_0 = \hbar \sqrt{0(0+1)} = 0 \]
- За \(l = 1\): \[ L_1 = \hbar \sqrt{1(1+1)} = \sqrt{2}\,\hbar \]
- За \(l = 2\): \[ L_2 = \hbar \sqrt{2(2+1)} = \sqrt{6}\,\hbar \]
