Најважније из лекције
Специјална теорија релативности почива на принципу релативности и инваријантности брзине светлости \( c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s} \).
Кинематички ефекти: При брзинама блиским \( c \), време се продужава (\( \Delta t = \gamma \Delta t_0 \)), а дужине у правцу кретања се скраћују (\( d = d_0 / \gamma \)), где је \( \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} \). Догађаји истовремени у једном систему нису истовремени у другом.
Слагање брзина: Релативистички збир брзина \( u = (u' + v)/(1 + u'v/c^2) \) никада не може премашити брзину светлости \( c \).
Инваријанта: Квадрат просторно-временског интервала \( \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2 \) има исту вредност у свим инерцијалним системима.
Динамика: Свако тело масе \( m \) поседује енергију мировања \( E_0 = mc^2 \). Укупна енергија је \( E = \gamma mc^2 = E_0 + T \), а релација енергије и импулса гласи \( E^2 = E_0^2 + p^2c^2 \). Важе општи закони одржања укупне енергије и релативистичког импулса.
Кинематички ефекти: При брзинама блиским \( c \), време се продужава (\( \Delta t = \gamma \Delta t_0 \)), а дужине у правцу кретања се скраћују (\( d = d_0 / \gamma \)), где је \( \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} \). Догађаји истовремени у једном систему нису истовремени у другом.
Слагање брзина: Релативистички збир брзина \( u = (u' + v)/(1 + u'v/c^2) \) никада не може премашити брзину светлости \( c \).
Инваријанта: Квадрат просторно-временског интервала \( \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - d^2 \) има исту вредност у свим инерцијалним системима.
Динамика: Свако тело масе \( m \) поседује енергију мировања \( E_0 = mc^2 \). Укупна енергија је \( E = \gamma mc^2 = E_0 + T \), а релација енергије и импулса гласи \( E^2 = E_0^2 + p^2c^2 \). Важе општи закони одржања укупне енергије и релативистичког импулса.
Крајем 19. века Мајкелсон–Морлијевим експериментом побијена је хипотеза о постојању етра и доказано је да је брзина светлости у вакууму константна у свим правцима и независна од кретања Земље.
Основни постулати Специјалне теорије релативности (Ајнштајн, 1905):
- Први постулат (Принцип релативности): Сви физички закони имају исти математички облик у свим инерцијалним системима референце. Апсолутно кретање или мировање не постоји.
- Други постулат (Принцип константности брзине светлости): Брзина светлости у вакууму \( c \) једнака је у свим инерцијалним системима референце и не зависи од кретања извора светлости или посматрача.
\[ c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} \quad (299\,792\,458 \text{ m/s}) \]
Брзина светлости у вакууму представља максималну брзину преноса интеракције и кретања материје у природи.
Релативност истовремености: Сигнали се не преносе тренутно, већ максималном брзином \( c \). Два просторно раздвојена догађаја која су истовремена за посматрача у једном инерцијалном систему нису истовремена за посматрача који се у односу на њега креће. Истовременост је релативна категорија.
Лоренцове трансформације повезују просторно-временске координате истог догађаја у два инерцијална система референце \( S \) и \( S' \), при чему се систем \( S' \) креће константном брзином \( v \) дуж осе \( x \) система \( S \).
Лоренцов фактор:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Када \( v \rightarrow c \), тада \( \gamma \rightarrow \infty \). За мале брзине (\( v \ll c \)), \( \gamma \approx 1 \).
| Лоренцове трансформације (\( S' \rightarrow S \)) | Инверзне Лоренцове трансформације (\( S \rightarrow S' \)) |
|---|---|
| \[ x = \gamma (x' + vt') = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] | \[ x' = \gamma (x - vt) = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] |
| \[ y = y', \quad z = z' \] | \[ y' = y, \quad z' = z \] |
| \[ t = \gamma \left(t' + \frac{v}{c^2}x'\right) = \frac{t' + \frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] | \[ t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^2}x\right) = \frac{t - \frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] |
При нерелативистичким брзинама (\( v \ll c \)), односно \( c \rightarrow \infty \), Лоренцове трансформације директно прелазе у класичне Галилејеве трансформације (\( x = x' + vt \), \( t = t' \)).
Сопствено време (\( \Delta t_0 \)): Временски интервал измерен часовником који мирује у посматраном инерцијалном систему.
Сопствена дужина (\( d_0 \)): Дужина тела измерена у систему референце у коме то тело мирује.
Дилатација (продужење) времена:
\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma \Delta t_0 \quad (\Delta t > \Delta t_0) \]
Контракција (скраћење) дужине:
\[ d = d_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{d_0}{\gamma} \quad (d < d_0) \]
Контракција дужине јавља се искључиво у правцу релативног кретања тела; димензије нормалне на правац кретања остају непромењене.
Експерименталне потврде:
- Детекција миона: Миони који настају у високим слојевима атмосфере имају време живота \( t_0 = 2{,}2\,\mu\text{s} \). При брзини \( v = 0{,}99c \), услед дилатације времена њихов животни век за посматрача на Земљи продужава се на око \( 15{,}6\,\mu\text{s} \), омогућавајући им да пређу пут од око \( 4{,}6\text{ km} \) и стигну до површине Земље.
- Хафеле–Китингов експеримент (1971): Атомски часовници ношени авионима око Земље каснили су/журили у односу на земаљске часовнике у тачном складу са предвиђањима релативности.
У Специјалној теорији релативности простор и време чине јединствени четвородимензиони простор-време у коме су догађаји одређени са четири координате: \( (ct, x, y, z) \).
Квадрат релативистичког интервала:
\[ \Delta s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 = c^2 \Delta t^2 - d^2 \]
Вредност \( \Delta s^2 \) је инваријантна у односу на Лоренцове трансформације: \( \Delta s^2 = \Delta s'^2 \).
| Тип интервала | Услов | Физичко значење |
|---|---|---|
| Временски тип | \( \Delta s^2 > 0 \) (\( c^2 \Delta t^2 > d^2 \)) | Догађаји могу бити узрочно-последично повезани; постоји систем у коме се догађаји дешавају на истом месту (\( d' = 0 \)). |
| Просторни тип | \( \Delta s^2 < 0 \) (\( c^2 \Delta t^2 < d^2 \)) | Догађаји не могу узрочно утицати један на другог; постоји систем у коме су догађаји истовремени (\( \Delta t' = 0 \)). |
| Светлосни тип | \( \Delta s^2 = 0 \) (\( c^2 \Delta t^2 = d^2 \)) | Догађаји су повезани светлосним сигналом који путује брзином \( c \). |
Када се тело у систему \( S' \) креће брзином \( \vec{u}' \), а сам систем \( S' \) брзином \( v \) дуж \( x \)-осе система \( S \), укупна брзина \( \vec{u} \) у систему \( S \) одређује се релативистичким формулама за слагање брзина.
Компонента дуж правца кретања:
\[ u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}}, \qquad u'_x = \frac{u_x - v}{1 - \frac{u_x v}{c^2}} \]
Трансверзалне компоненте:
\[ u_y = \frac{u'_y \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}}, \qquad u_z = \frac{u'_z \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}} \]
Ако се свемирски брод креће брзином \( v = c \) и емитује ласерски сноп (\( u'_x = c \)), за непокретног посматрача брзина снопа је:
\[ u_x = \frac{c + c}{1 + \frac{c \cdot c}{c^2}} = \frac{2c}{2} = c \]
Брзина светлости у вакууму је непроменљива и недостижна за тела са масом мировања.
Маса (\( m \)): Инваријантна особина тела (маса мировања) која има идентичну вредност у свим инерцијалним системима референце.
Релативистички импулс:
\[ \vec{p} = \gamma m \vec{v} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Енергија мировања:
\[ E_0 = mc^2 \]
Укупна релативистичка енергија:
\[ E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = E_0 + T \]
Релативистичка кинетичка енергија:
\[ T = E - E_0 = mc^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) = mc^2(\gamma - 1) \]
Основне релације између енергије и импулса:
\[ E^2 = E_0^2 + p^2 c^2 \implies p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \]
\[ p = \frac{vE}{c^2} \]
Величина \( E^2 - p^2c^2 = E_0^2 = m^2c^4 \) јесте релативистичка инваријанта.
Јединице у физици честица: Енергија се изражава у електрон-волтима: \( 1\text{ eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J} \).
Енергије мировања:
Енергије мировања:
- Електрон: \( E_{0,e} \approx 511\text{ keV} = 0{,}511\text{ MeV} \)
- Протон: \( E_{0,p} \approx 938{,}27\text{ MeV} \)
- Неутрон: \( E_{0,n} \approx 939{,}57\text{ MeV} \)
Закон одржања релативистичког импулса: Укупан импулс изолованог физичког система је константан:
\[ \sum_{i=1}^n \vec{p}_i = \sum_{i=1}^n \frac{m_i \vec{v}_i}{\sqrt{1 - \frac{v_i^2}{c^2}}} = \text{const.} \]
Закон одржања укупне енергије: Збир свих енергија мировања и кинетичких енергија у изолованом систему је очуван:
\[ \sum_{i=1}^n E_i = \sum_{i=1}^n (E_{0i} + T_i) = \text{const.} \]
Неодржање масе: У релативистичким процесима (распади честица, нуклеарне реакције, судари у акцелераторима попут LHC-а у CERN-у) маса сама по себи није очувана, већ прелази у кинетичку енергију насталих честица и обрнуто (\( E_0 = mc^2 \)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Свемирски брод се креће брзином \( v = 0{,}8c \) поред станице. Часовник унутар брода региструје временски интервал од \( \Delta t_0 = 3\text{ h} \). Колико траје тај интервал према часовницима на станици и колики је Лоренцов фактор?
Лоренцов фактор је:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}8^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \]
Време мерено на станици (дилатација времена):
\[ \Delta t = \gamma \Delta t_0 = \frac{5}{3} \cdot 3\text{ h} = 5\text{ h} \]
Одговор: Лоренцов фактор је \( \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \), а временски интервал на станици износи \( 5\text{ h} \).
Задатак 2 (Средњи): Ракета се креће брзином \( v = 0{,}6c \) у односу на контролни центар на Земљи. У правцу и смеру свог кретања ракета испаљује истраживачку сонду брзином \( u' = 0{,}5c \) у односу на ракету. Израчунати брзину сонде коју ће регистровати контролни центар на Земљи.
Користимо релативистички закон слагања брзина:
\[ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}} \]
Уврштавањем вредности \( v = 0{,}6c \) и \( u' = 0{,}5c \):
\[ u = \frac{0{,}5c + 0{,}6c}{1 + \frac{0{,}5c \cdot 0{,}6c}{c^2}} = \frac{1{,}1c}{1 + 0{,}30} = \frac{1{,}1c}{1{,}3} = \frac{11}{13}c \approx 0{,}846c \]
(По класичном закону било би \( 0{,}5c + 0{,}6c = 1{,}1c \), што према СТР није физички могуће).
Одговор: Контролни центар мери брзину сонде од приближно \( 0{,}846c \).
Одговор: Контролни центар мери брзину сонде од приближно \( 0{,}846c \).
Задатак 3 (Средњи/Тежак): Коликом брзином \( v \) мора да се креће честица да би њена кинетичка енергија била једнака њеној енергији мировања (\( T = E_0 \))?
Укупна енергија је \( E = E_0 + T \).
Пошто је \( T = E_0 \), следи: \[ E = 2E_0 \implies \gamma mc^2 = 2mc^2 \implies \gamma = 2 \] Из дефиниције Лоренцовог фактора: \[ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2 \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \implies \frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4} \] \[ v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866c \] Одговор: Брзина честице мора бити \( v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866 \cdot 10^8 \cdot 3 \text{ m/s} \approx 2{,}6 \cdot 10^8\text{ m/s} \).
Пошто је \( T = E_0 \), следи: \[ E = 2E_0 \implies \gamma mc^2 = 2mc^2 \implies \gamma = 2 \] Из дефиниције Лоренцовог фактора: \[ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2 \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \implies \frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4} \] \[ v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866c \] Одговор: Брзина честице мора бити \( v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866 \cdot 10^8 \cdot 3 \text{ m/s} \approx 2{,}6 \cdot 10^8\text{ m/s} \).
Задатак 4 (Тежак): Протон (\( E_0 \approx 938\text{ MeV} \)) убрзан је у акцелератору до укупне енергије \( E = 5\text{ GeV} = 5000\text{ MeV} \). Одредити његов релативистички импулс (изражен у \( \text{MeV}/c \)) и брзину \( v \) изражену преко \( c \).
1. За израчунавање импулса користимо релацију:
\[ E^2 = E_0^2 + p^2c^2 \implies p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} \]
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{(5000\text{ MeV})^2 - (938\text{ MeV})^2} = \frac{1}{c}\sqrt{25\,000\,000 - 879\,844}\text{ MeV} \]
\[ p = \frac{\sqrt{24\,120\,156}}{c}\text{ MeV} \approx 4911{,}2\text{ MeV}/c \]
2. Веза између импулса, укупне енергије и брзине је \( p = \frac{vE}{c^2} \):
\[ v = \frac{p c^2}{E} = \frac{(4911{,}2\text{ MeV}/c) \cdot c^2}{5000\text{ MeV}} = \frac{4911{,}2}{5000}c \approx 0{,}982c \]
Одговор: Импулс протона је \( p \approx 4911{,}2\text{ MeV}/c \), а брзина \( v \approx 0{,}982c \).
