Најважније из лекције
Квантни хармонијски осцилатор: Енергија је квантована \( E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar\omega \). Нивои су еквидистантни са размаком \( \Delta E = \hbar\omega = h\nu \). Због релација неодређености, нулта енергија је \( E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega > 0 \).
Тунел ефекат: Честица са енергијом \( E < V_0 \) може са одређеном вероватноћом проћи кроз потенцијалну баријеру коначне висине \( V_0 \). Унутар баријере таласна функција експоненцијално опада, а коефицијент пропустљивости зависи од масе честице, ширине баријере и разлике \( (V_0 - E) \).
Примена и манифестације: \(\alpha\)-распад, нуклеарна фисија, скенирајући тунелски микроскоп (STM).
Тунел ефекат: Честица са енергијом \( E < V_0 \) може са одређеном вероватноћом проћи кроз потенцијалну баријеру коначне висине \( V_0 \). Унутар баријере таласна функција експоненцијално опада, а коефицијент пропустљивости зависи од масе честице, ширине баријере и разлике \( (V_0 - E) \).
Примена и манифестације: \(\alpha\)-распад, нуклеарна фисија, скенирајући тунелски микроскоп (STM).
Квантни хармонијски осцилатор описује честицу у потенцијалу \( V(x) = \frac{1}{2}kx^2 \). За разлику од класичне физике, енергија квантног осцилатора не може бити једнака нули због Хајзенбергове релације неодређености (\( \Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \)).
\[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega, \quad n = 0, 1, 2, \dots \quad \left(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\right) \]
Енергија основног стања (\(n=0\)) назива се нулта енергија и износи \( E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega \).
Разлика између суседних енергијских нивоа је константна (еквидистантни нивои):
\[ \Delta E = E_{n+1} - E_n = \hbar \omega = h\nu \]
Прелази су дозвољени само између суседних стања, при чему осцилатор апсорбује или емитује квант енергије \( h\nu \).
Квантни осцилатор има вероватноћу налажења честице и изван класичних граница потенцијалне јаме, јер таласна функција продире ван класично дозвољене области.
Колика је енергија фотона који квантни осцилатор емитује при прелазу из другог побуђеног стања (\(n=2\)) у прво побуђено стање (\(n=1\))?
Енергија фотона одговара разлици енергија нивоа:
\[ \Delta E = E_2 - E_1 = \left(2 + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega - \left(1 + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega = \hbar\omega = h\nu \]
Одговор: Емитовани фотон има енергију \( \Delta E = \hbar\omega = h\nu \).
Потенцијална баријера: Део простора где потенцијална енергија нагло расте до вредности \( V_0 \) на ширини \( L \).
Тунел ефекат: Појава у квантној механици где честица са енергијом \( E < V_0 \) има одређену вероватноћу да савлада (прође кроз) потенцијалну баријеру коначне висине и ширине, што је по класичној физици немогуће.
- Област I (\( x < 0 \)): Суперпозиција упадног и одбијеног таласа, константна амплитуда осциловања (честица је слободна).
- Област II (\( 0 \le x \le L \)): Таласна функција експоненцијално опада унутар баријере.
- Област III (\( x > L \)): Пропуштени талас, поново осцилује истом таласном дужином и енергијом, али са знатно мањом амплитудом (мања вероватноћа налажења).
Коефицијент пропустљивости (вероватноћа проласка кроз баријеру):
\[ T = \frac{|\psi_{III}(x)|^2}{|\psi_I(x)|^2} \]
Вероватноћа проласка честице кроз баријеру је већа ако је:
- Маса честице \( m \) мања;
- Ширина баријере \( L \) мања;
- Разлика између висине баријере и енергије честице (\( V_0 - E \)) мања.
Примери тунел ефекта у природи и техници: \(\alpha\)-распад атомских језгара, спајање атома у молекуле, нуклеарна фисија, као и рад скенирајућег тунелског микроскопа (STM) којим се могу посматрати појединачни атоми.
Де Бројева релација за таласну дужину честице:
\[ \lambda = \frac{h}{p} \]
Хајзенбергове релације неодређености:
\[ \Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}, \quad \Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \]
Густина вероватноће: Дата је квадратом модула таласне функције \( |\psi(\vec{r}, t)|^2 \). Вероватноћа налажења честице у запремини \( dV \) је \( dP = |\psi(\vec{r}, t)|^2 dV \).
Особине таласне функције \(\psi\):
- Мора бити непрекидна и глатка на свим границама.
- Не сме да дивергира (мора бити нормирана на 1, тј. честица се сигурно налази негде у простору).
Честица у бесконачно дубокој потенцијалној јами ширине \( L \):
\[ \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\frac{n\pi x}{L}, \quad E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Зашто електронски микроскоп омогућава знатно веће увећање и бољу резолуцију од обичног оптичког микроскопа?
Према Де Бројевој релацији (\(\lambda = \frac{h}{p}\)), електрони који се крећу великим брзинама имају таласне дужине које су више хиљада пута мање од таласних дужина видљиве светлости. Мања таласна дужина омогућава смањење дифракционих ефеката и знатно већу моћ раздвајања (резолуцију).
Задатак 2 (Средњи): Како ће се променити вероватноћа проласка честице кроз потенцијалну баријеру (коефицијент \(T\)) ако се протон замени електроном исте енергије \(E\)?
Вероватноћа тунеловања изразито зависи од масе честице - честице мање масе знатно лакше пролазе кроз баријеру. Пошто је маса електрона око 1836 пута мања од масе протона (\(m_e \ll m_p\)), вероватноћа тунеловања (коефицијент пропустљивости \(T\)) ће се драстично повећати.
Задатак 3 (Средњи): Честица се налази у бесконачно дубокој потенцијалној јами у основном стању са енергијом \( E_1 = 2 \text{ eV} \).
а) Колика је енергија честице у првом побуђеном стању (\(n=2\))?
б) Да ли честица може тунел ефектом да изађе из ове јаме?
а) Колика је енергија честице у првом побуђеном стању (\(n=2\))?
б) Да ли честица може тунел ефектом да изађе из ове јаме?
а) Енергија стања у бесконачној јами сразмерна је квадрату квантног броја \(n\):
\[ E_n = n^2 E_1 \implies E_2 = 2^2 \cdot E_1 = 4 \cdot 2 \text{ eV} = 8 \text{ eV} \]
б) Не. Зидови бесконачно дубоке јаме имају потенцијалну енергију \( V \to \infty \), па је вероватноћа проласка кроз њих једнака нули. Тунел ефекат је могућ искључиво код баријера коначне висине.
Задатак 4 (Тежак): Честица наилази на правоугаону потенцијалну баријеру висине \( V_0 \) при чему је њена укупна енергија \( E < V_0 \). Упореди таласну дужину честице пре наиласка на баријеру (\(\lambda_I\)) и након проласка кроз баријеру (\(\lambda_{III}\)), као и одговарајуће густине вероватноће налажења честице.
1. Таласна дужина: У областима I и III потенцијална енергија је једнака нули (\(V=0\)), па је кинетичка енергија честице у обе области једнака њеној укупној енергији (\(E\)). Како је импулс \( p = \sqrt{2mE} \) исти у обе области, на основу Де Бројеве релације следи да су таласне дужине једнаке:
\[ \lambda_I = \lambda_{III} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \]
2. Густина вероватноће: Амплитуда таласне функције у области III (\(|\psi_{III}|\)) је мања од амплитуде у области I (\(|\psi_I|\)) услед експоненцијалног слабљења унутар баријере. Због тога је густина вероватноће налажења честице након баријере мања:
\[ |\psi_{III}|^2 < |\psi_I|^2 \]
