Најважније из лекције
Унутрашња енергија (\( U \)): збир свих микроскопских кинетичких и потенцијалних енергија честица система. За једноатомски гас \( U = \frac{3}{2} n R T \); за двоатомски \( U = \frac{5}{2} n R T \). Функција је искључиво стања (\( T, n \)).
Топлотно провођење: \( Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t \). У вакууму нема кондукције (\( \lambda = 0 \)).
Рад гаса: \( A = p \Delta V \) (за изобарски процес); уопштено једнак је површини испод криве у \( pV \) дијаграму.
Први принцип термодинамике: \( Q = \Delta U + A \). За \( V=\text{const.} \implies Q = \Delta U \); за \( p=\text{const.} \implies Q = \Delta U + p\Delta V \); за \( T=\text{const.} \implies Q = A \); за адијабатски процес (\( Q=0 \)) \( A = -\Delta U \).
Пуасонова једначина адијабате: \( p V^\gamma = \text{const.} \) (\( \gamma = C_{\mu p}/C_{\mu V} > 1 \)).
Други принцип термодинамике: Топлота спонтано прелази само са топлијег на хладније тело. Ентропија (\( S \)) изолованог система увек расте (\( \Delta S \ge 0 \)) и достиже максимум у равнотежи.
Трећи принцип: \( \Delta S \to 0 \) када \( T \to 0\text{ K} \) (апсолутна нула је недостижна).
Топлотне машине: \( \eta = \frac{|A|}{|Q_G|} = 1 - \frac{|Q_X|}{|Q_G|} \). Максимални могући коефицијент даје Карноов циклус: \( \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} \).
Топлотно провођење: \( Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t \). У вакууму нема кондукције (\( \lambda = 0 \)).
Рад гаса: \( A = p \Delta V \) (за изобарски процес); уопштено једнак је површини испод криве у \( pV \) дијаграму.
Први принцип термодинамике: \( Q = \Delta U + A \). За \( V=\text{const.} \implies Q = \Delta U \); за \( p=\text{const.} \implies Q = \Delta U + p\Delta V \); за \( T=\text{const.} \implies Q = A \); за адијабатски процес (\( Q=0 \)) \( A = -\Delta U \).
Пуасонова једначина адијабате: \( p V^\gamma = \text{const.} \) (\( \gamma = C_{\mu p}/C_{\mu V} > 1 \)).
Други принцип термодинамике: Топлота спонтано прелази само са топлијег на хладније тело. Ентропија (\( S \)) изолованог система увек расте (\( \Delta S \ge 0 \)) и достиже максимум у равнотежи.
Трећи принцип: \( \Delta S \to 0 \) када \( T \to 0\text{ K} \) (апсолутна нула је недостижна).
Топлотне машине: \( \eta = \frac{|A|}{|Q_G|} = 1 - \frac{|Q_X|}{|Q_G|} \). Максимални могући коефицијент даје Карноов циклус: \( \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} \).
Унутрашња енергија (\( U \)) система једнака је збиру кинетичких енергија свих његових честица (услед хаотичног топлотног кретања) и њихових међусобних потенцијалних енергија интеракције.
Јединица мере за унутрашњу енергију је џул (\( \text{J} \)).
Термодинамички системи се према интеракцији са околином деле на:
- Отворен систем: размењује и енергију и супстанцу (честице) с околином;
- Затворен систем: размењује само енергију с околином;
- Изолован систем: не размењује ни енергију ни супстанцу с околином.
\[ U = \frac{i}{2} N k T = \frac{i}{2} n R T \]
\( i \) – број степени слободе честице (\( i = 3 \) за једноатомски гас, \( i = 5 \) за двоатомски гас), \( n \) – количина супстанце (број молова), \( R \approx 8{,}314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)} \) – универзална гасна константа, \( T \) – апсолутна температура.
Функција стања: Унутрашња енергија идеалног гаса зависи искључиво од његове температуре и количине супстанце. Промена унутрашње енергије \( \Delta U = U_k - U_p \) зависи само од почетног и крајњег стања система, а не од пута (врсте термодинамичког процеса) којим се та промена одиграла:
\[ \Delta U = \frac{i}{2} n R \Delta T \]
Топлотна размена је спонтани процес преношења унутрашње енергије са тела више температуре на тело ниже температуре без вршења механичког рада.
Количина топлоте (\( Q \)) је део унутрашње енергије који систем размени са околином током топлотне размене. Јединица је џул (\( \text{J} \)). По конвенцији: \( Q > 0 \) када систем прима топлоту, а \( Q < 0 \) када предаје топлоту.
Постоје три основна механизма преноса топлоте:
- Провођење (кондукција): пренос енергије директним сударима и интеракцијом честица унутар супстанце (карактеристично за чврста тела);
- Струјање (конвекција): пренос топлоте макроскопским кретањем флуида (течности и гасова);
- Зрачење (радијација): пренос топлоте путем електромагнетних таласа (могућ и кроз вакуум).
\[ Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t \]
\( \lambda \) – коефицијент топлотне проводљивости (\( [\lambda] = \frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}} \)), \( S \) – површина попречног пресека, \( \Delta T \) – температурна разлика, \( L \) – дебљина (дужина) проводника, \( t \) – време провођења.
Супстанце са великим \( \lambda \) су топлотни проводници (нпр. бакар, алуминијум), а са малим \( \lambda \) су топлотни изолатори (ваздух, стиропор). За вакуум је \( \lambda = 0 \).
Рад гаса (\( A \)) представља начин преноса енергије при коме долази до макроскопског померања граница система (покретног клипа) под дејством силе притиска.
\[ A = p \Delta V \quad (\text{при } p = \text{const.}) \]
\( p \) – притисак гаса, \( \Delta V = V_k - V_p \) – промена запремине гаса.
Геометријски смисао рада: Укупан рад гаса у произвољном процесу бројно је једнак површини испод криве процеса у \( pV \) дијаграму.
- Ширење гаса (експанзија, \( \Delta V > 0 \)): гас врши позитиван рад над околином (\( A > 0 \)).
- Сабијање гаса (компресија, \( \Delta V < 0 \)): околина врши рад над гасом, па је рад гаса негативан (\( A < 0 \)).
- Нема промене запремине (\( \Delta V = 0 \)): рад гаса је једнак нули (\( A = 0 \)).
Први принцип термодинамике (Закон одржања енергије): Количина топлоте доведена затвореном термодинамичком систему троши се на повећање његове унутрашње енергије и на рад који систем изврши над околином.
\[ Q = \Delta U + A \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta U = Q - A \]
| Процес | Услов | Рад (\( A \)) | Први принцип термодинамике |
|---|---|---|---|
| Изохорски | \( V = \text{const.} \) (\( \Delta V = 0 \)) | \( A = 0 \) | \( Q = \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T \) |
| Изобарски | \( p = \text{const.} \) | \( A = p \Delta V = n R \Delta T \) | \( Q = \Delta U + p \Delta V = n C_{\mu p} \Delta T \) |
| Изотермски | \( T = \text{const.} \) (\( \Delta U = 0 \)) | \( A = Q \) | \( Q = A \) (сва доведена топлота прелази у рад) |
| Кружни (циклус) | Почетно стање \( = \) крајње стање | \( A = \text{површина циклуса} \) | \( \Delta U = 0 \implies Q = A \) |
| Изолован систем | \( Q = 0 \), \( A = 0 \) | \( A = 0 \) | \( \Delta U = 0 \implies U = \text{const.} \) |
Рад \( A \) и количина топлоте \( Q \) зависе од пута (процеса) кроз који систем пролази, док промена унутрашње енергије \( \Delta U \) зависи само од почетног и крајњег стања.
Топлотни капацитет (\( C \)): количина топлоте потребна да се температура тела повећа за \( 1\text{ K} \): \( C = \frac{Q}{\Delta T} \) \([\text{J/K}]\).
Специфични топлотни капацитет (\( c \)): топлота потребна да се \( 1\text{ kg} \) супстанце загреје за \( 1\text{ K} \): \( c = \frac{Q}{m \Delta T} \) \([\text{J/(kg}\cdot\text{K)}]\).
Моларни топлотни капацитет (\( C_\mu \)): топлота потребна да се \( 1\text{ mol} \) гаса загреје за \( 1\text{ K} \): \( C_\mu = \frac{Q}{n \Delta T} \) \([\text{J/(mol}\cdot\text{K)}]\).
Веза између капацитета:
\[ C = m c = n C_\mu, \qquad C_\mu = M c \]
Мајерова релација:
\[ C_{\mu p} - C_{\mu V} = R \quad \Longleftrightarrow \quad C_{\mu p} = C_{\mu V} + R \]
| Врста гаса | Степени слободе (\( i \)) | \( C_{\mu V} = \frac{i}{2}R \) | \( C_{\mu p} = \frac{i+2}{2}R \) | \( \gamma = \frac{C_{\mu p}}{C_{\mu V}} \) |
|---|---|---|---|---|
| Једноатомски (He, Ne, Ar) | \( 3 \) (транслација) | \( \frac{3}{2}R \) | \( \frac{5}{2}R \) | \( \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \) |
| Двоатомски (\(\text{H}_2\), \(\text{O}_2\), \(\text{N}_2\)) | \( 5 \) (3 транс. + 2 рот.) | \( \frac{5}{2}R \) | \( \frac{7}{2}R \) | \( \frac{7}{5} = 1{,}40 \) |
За сваки термодинамички процес идеалног гаса промена унутрашње енергије може се универзално изразити као: \( \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T \).
Адијабатски процес је процес у коме систем не размењује топлоту с околином (\( Q = 0 \)). Одвија се у топлотно изолованим судовима или при веома брзим експанзијама/компресијама.
Први принцип за адијабатски процес:
\[ Q = 0 \implies A = -\Delta U \]
Пуасонова једначина (једначина адијабате):
\[ p V^\gamma = \text{const.} \]
\( \gamma = \frac{C_{\mu p}}{C_{\mu V}} > 1 \) – Пуасонов коефицијент (коефицијент адијабате).
- Адијабатска компресија (\( A < 0 \)): околина врши рад над гасом, унутрашња енергија и температура гаса расту (\( \Delta U > 0, T \uparrow \)).
- Адијабатска експанзија (\( A > 0 \)): гас врши рад на рачун сопствене унутрашње енергије, па се хлади (\( \Delta U < 0, T \downarrow \)).
- На \( pV \) дијаграму адијабата је стрмија од изотерме јер је \( \gamma > 1 \).
Реални гасови: за разлику од идеалних, честице реалног гаса имају сопствену запремину и између њих делују међумолекулске силе. На нормалним температурама и ниским притисцима реални гасови се понашају приближно као идеални.
Повратни (реверзибилни) процеси: процеси у којима систем пролази кроз низ равнотежних међустања и може се вратити у почетно стање истим путем без икаквих промена у околини.
Неповратни (иреверзибилни) процеси: процеси који се спонтано одвијају само у једном смеру. Сви спонтани реални процеси у природи су неповратни.
Неповратни (иреверзибилни) процеси: процеси који се спонтано одвијају само у једном смеру. Сви спонтани реални процеси у природи су неповратни.
Други принцип термодинамике:
- Топлота не може спонтано (сама од себе) прелазити са тела ниже температуре на тело више температуре.
- Сваки изоловани систем спонтано тежи преласку из мање вероватног (уређенијег) у највероватније (неуређеније, равнотежно) стање.
Ентропија (\( S \)): термодинамичка величина која представља квантитативну меру неуређености система. Јединица мере је \( [\Delta S] = \frac{\text{J}}{\text{K}} \).
Формулација Другог принципа преко ентропије:
Ентропија изолованог система увек се повећава при неповратним процесима, а остаје константна при повратним процесима:
\[ \Delta S \ge 0 \]
Када изоловани систем достигне термодинамичку равнотежу, његова ентропија је максимална (\( \Delta S = 0 \)).
Трећи принцип термодинамике (Нернстова теорема): Када температура система тежи апсолутној нули (\( T \to 0\text{ K} \)), промена ентропије у било ком процесу тежи нули (\( \Delta S \to 0 \)). Апсолутну нулу температуре није могуће достићи у коначном броју термодинамичких корака.
Топлотна машина је уређај који периодично понавља кружни процес (циклус) и претвара део топлотне енергије у механички рад. Састоји се од грејача (\( T_G \)), радног тела (гас/пара) и хладњака (\( T_X \)).
Користан рад у циклусу:
\[ A = |Q_G| - |Q_X| \]
Коефицијент корисног дејства (\( \eta \)):
\[ \eta = \frac{|A|}{|Q_G|} = \frac{|Q_G| - |Q_X|}{|Q_G|} = 1 - \frac{|Q_X|}{|Q_G|} \qquad (0 < \eta < 1) \]
Карноов циклус и Карноова теорема:
Карноов циклус је идеалан повратан циклус састављен од две изотерме и две адијабате. Коефицијент корисног дејства Карноове машине зависи искључиво од апсолутних температура грејача (\( T_G \)) и хладњака (\( T_X \)):
\[ \eta_C = \frac{T_G - T_X}{T_G} = 1 - \frac{T_X}{T_G} \]
Ниједна реална топлотна машина која ради између истих температура \( T_G \) и \( T_X \) не може имати већи коефицијент корисног дејства од Карноове машине: \( \eta \le \eta_C \).
Машине за хлађење и топлотне пумпе: раде по обрнутом циклусу; уз уложени спољашњи рад (\( |A| \)) одузимају топлоту (\( |Q_X| \)) од хладнијег тела и предају топлоту (\( |Q_G| \)) топлијем телу:
\[ |Q_G| = |Q_X| + |A| \]
Perpetuum mobile:
- Прве врсте (\( \eta > 1 \)): замишљена машина која би вршила рад без дотока енергије (немогућа по I принципу термодинамике).
- Друге врсте (\( \eta = 1 \)): замишљена машина која би сву доведену топлоту у циклусу претворила у рад без предаје топлоте хладњаку (\( Q_X = 0 \)) (немогућа по II принципу термодинамике).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лако): Идеални гас се налази под сталним притиском од \( p = 2 \cdot 10^5\text{ Pa} \). При загревању његова запремина се повећа са \( V_1 = 0{,}02\text{ m}^3 \) на \( V_2 = 0{,}05\text{ m}^3 \). Израчунати рад који је гас извршио при овом ширењу.
Процес се одвија при константном притиску (изобарски процес), па се рад рачуна по формули:
\[ A = p \Delta V = p (V_2 - V_1) \]
Заменом бројних вредности:
\[ A = 2 \cdot 10^5\text{ Pa} \cdot (0{,}05\text{ m}^3 - 0{,}02\text{ m}^3) = 2 \cdot 10^5\text{ Pa} \cdot 0{,}03\text{ m}^3 = 6000\text{ J} = 6\text{ kJ} \]
Одговор: Гас је извршио рад од \( 6\text{ kJ} \).
Задатак 2 (Средње): Количина од \( n = 2\text{ mol} \) идеалног једноатомског гаса изохорски се загреје тако да му се температура повећа за \( \Delta T = 50\text{ K} \). Одредити:
а) извршени рад гаса \( A \);
б) промену унутрашње енергије \( \Delta U \);
в) количину топлоте \( Q \) коју је гас примио. (Узети \( R = 8{,}314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)} \)).
а) извршени рад гаса \( A \);
б) промену унутрашње енергије \( \Delta U \);
в) количину топлоте \( Q \) коју је гас примио. (Узети \( R = 8{,}314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)} \)).
а) Пошто је процес изохорски (\( V = \text{const.} \)), промена запремине је \( \Delta V = 0 \), па је рад:
\[ A = 0\text{ J} \]
б) За једноатомски гас моларни топлотни капацитет при константној запремини је \( C_{\mu V} = \frac{3}{2}R \). Промена унутрашње енергије износи:
\[ \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T = n \cdot \frac{3}{2}R \cdot \Delta T = 2\text{ mol} \cdot \frac{3}{2} \cdot 8{,}314\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 50\text{ K} = 1247{,}1\text{ J} \]
в) Према Првом принципу термодинамике за изохорски процес:
\[ Q = \Delta U + A = 1247{,}1\text{ J} + 0 = 1247{,}1\text{ J} \]
Одговор: \( A = 0\text{ J} \), \( \Delta U = 1247{,}1\text{ J} \), \( Q = 1247{,}1\text{ J} \).
Задатак 3 (Средње): Идеална Карноова топлотна машина ради између температура грејача \( T_G = 600\text{ K} \) и хладњака \( T_X = 300\text{ K} \). Ако радно тело од грејача у сваком циклусу прими количину топлоте од \( |Q_G| = 4\text{ kJ} \), израчунати:
а) коефицијент корисног дејства машине \( \eta_C \);
б) механички рад \( A \) који машина изврши у једном циклусу;
в) количину топлоте \( |Q_X| \) која се преда хладњаку.
а) коефицијент корисног дејства машине \( \eta_C \);
б) механички рад \( A \) који машина изврши у једном циклусу;
в) количину топлоте \( |Q_X| \) која се преда хладњаку.
а) Коефицијент корисног дејства Карноовог циклуса је:
\[ \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} = 1 - \frac{300\text{ K}}{600\text{ K}} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5 \quad (50\%) \]
б) Из дефиниције коефицијента корисног дејства \( \eta = \frac{|A|}{|Q_G|} \), извршени рад је:
\[ |A| = \eta_C \cdot |Q_G| = 0{,}5 \cdot 4000\text{ J} = 2000\text{ J} = 2\text{ kJ} \]
в) Из енергетског биланса циклуса \( |A| = |Q_G| - |Q_X| \):
\[ |Q_X| = |Q_G| - |A| = 4000\text{ J} - 2000\text{ J} = 2000\text{ J} = 2\text{ kJ} \]
Одговор: \( \eta_C = 50\% \), \( A = 2\text{ kJ} \), \( |Q_X| = 2\text{ kJ} \).
Задатак 4 (Тешко): Кроз равну стаклену плочу прозора површине \( S = 1{,}5\text{ m}^2 \) и дебљине \( L = 6\text{ mm} = 0{,}006\text{ m} \) одводи се топлота из загрејане собе у спољашњу средину. Температура на унутрашњој страни стакла је \( T_1 = 18^\circ\text{C} \), а на спољашњој \( T_2 = -2^\circ\text{C} \). Коефицијент топлотне проводљивости стакла је \( \lambda = 0{,}8\frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}} \). Колика количина топлоте прође кроз прозор у току \( t = 1\text{ h} \)?
Разлика температура у келвинима једнака је разлици у целзијусима:
\[ \Delta T = T_1 - T_2 = 18^\circ\text{C} - (-2^\circ\text{C}) = 20\text{ K} \]
Време провођења изражено у секундама је \( t = 1\text{ h} = 3600\text{ s} \).
Количина топлоте пренета топлотним провођењем рачуна се по Фуријеовом закону: \[ Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t \] Заменом вредности: \[ Q = 0{,}8\frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}} \cdot 1{,}5\text{ m}^2 \cdot \frac{20\text{ K}}{0{,}006\text{ m}} \cdot 3600\text{ s} \] \[ Q = 1{,}2 \cdot 3333{,}33 \cdot 3600 \approx 14{,}4 \cdot 10^6\text{ J} = 14{,}4\text{ MJ} \] Одговор: Кроз прозорско стакло за један сат прође \( 14{,}4\text{ MJ} \) топлоте.
Количина топлоте пренета топлотним провођењем рачуна се по Фуријеовом закону: \[ Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t \] Заменом вредности: \[ Q = 0{,}8\frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}} \cdot 1{,}5\text{ m}^2 \cdot \frac{20\text{ K}}{0{,}006\text{ m}} \cdot 3600\text{ s} \] \[ Q = 1{,}2 \cdot 3333{,}33 \cdot 3600 \approx 14{,}4 \cdot 10^6\text{ J} = 14{,}4\text{ MJ} \] Одговор: Кроз прозорско стакло за један сат прође \( 14{,}4\text{ MJ} \) топлоте.
