Најважније из лекције
Површински напон: Течност тежи минималној површини због неуравнотежених међумолекулских сила на површини (\( F_{pn} = \gamma L \), \( A = \gamma \Delta S \)). Јединица за \( \gamma \) је \( \text{N/m} \).
Капиларне појаве: Зависе од односа адхезије и кохезије (квашење \( \theta < 90^\circ \), неквашење \( \theta > 90^\circ \)). Висина подизања/спуштања у капилари је \( h = \frac{2\gamma \cos \theta}{\rho g r} \).
Вискозност (Њутнов закон): Унутрашње трење између слојева течности \( F_v = \eta \frac{S}{L} v \). Јединица за \( \eta \) је \( \text{Pa}\cdot\text{s} \); вискозност опада са растом температуре.
Стоксов закон: Отпор средине при ламинарном кретању куглице износи \( F_s = 6\pi \eta r v \).
Капиларне појаве: Зависе од односа адхезије и кохезије (квашење \( \theta < 90^\circ \), неквашење \( \theta > 90^\circ \)). Висина подизања/спуштања у капилари је \( h = \frac{2\gamma \cos \theta}{\rho g r} \).
Вискозност (Њутнов закон): Унутрашње трење између слојева течности \( F_v = \eta \frac{S}{L} v \). Јединица за \( \eta \) је \( \text{Pa}\cdot\text{s} \); вискозност опада са растом температуре.
Стоксов закон: Отпор средине при ламинарном кретању куглице износи \( F_s = 6\pi \eta r v \).
Површински напон је појава да течност тежи да заузме стање са минималном слободном површином. Због тога слободне капи течности у одсуству других сила теже облику сфере.
Молекули у унутрашњости течности налазе се у симетричном пољу сила околних молекула, па је њихова резултанта нула. Молекули на самој површини имају мање суседних молекула изнад себе, па на њих делује некомпензована резултујућа сила усмерена ка унутрашњости течности, због чега се површина понаша као затегнута еластична опна.
Кохезија: Међумолекулске силе између молекула исте супстанце (унутар течности).
Адхезија: Међумолекулске силе између молекула различитих супстанци (нпр. течности и зида суда).
\[ F_{pn} = \gamma L \]
\[ A = \gamma \Delta S \]
\( F_{pn} \) – сила површинског напона, \( \gamma \) – коефицијент површинског напона, \( L \) – дужина граничне линије, \( A \) – извршени рад при промени површине, \( \Delta S \) – промена слободне површине.
\( [\gamma] = \frac{\text{N}}{\text{m}} = \frac{\text{J}}{\text{m}^2} \)
Код танких опни (нпр. сапунице на жичаном оквиру), постоје две слободне површине, па је укупна дужина граничне линије \( L = 2l \), а укупна промена површине \( \Delta S = 2 \cdot \Delta S_1 \).
Жичани оквир са покретном страницом дужине \( l = 5\text{ cm} \) умочен је у сапуницу (\( \gamma = 0{,}037\text{ N/m} \)). Коликом силом треба деловати на покретну страницу да би се одржала у равнотежи?
Пошто сапуница има две површине, дужина граничне линије је \( L = 2l = 2 \cdot 0{,}05\text{ m} = 0{,}1\text{ m} \).
\[ F = \gamma L = 0{,}037\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}1\,\text{m} = 0{,}0037\,\text{N} = 3{,}7\,\text{mN} \]
Угао квашења (\( \theta \)): Угао који гради тангента повучена на слободну површину течности у тачки додира са чврстом површином.
- Течност кваси чврсто тело (\( \theta < 90^\circ \)): Адхезионе силе су јаче од кохезионих. Слободна површина формира удубљен (конкаван) мениск (нпр. вода у стакленој цеви, \( \theta \approx 0^\circ \)).
- Течност не кваси чврсто тело (\( \theta > 90^\circ \)): Кохезионе силе су јаче од адхезионих. Слободна површина формира испупчен (конвексан) мениск (нпр. жива у стакленој цеви, \( \theta \approx 140^\circ \)).
Капиларност: Појава подизања или спуштања нивоа течности у уским цевима (капиларама) под дејством силе површинског напона.
\[ h = \frac{2\gamma \cos \theta}{\rho g r} \]
\( h \) – висина капиларног стуба, \( \gamma \) – коефицијент површинског напона, \( \theta \) – угао квашења, \( \rho \) – густина течности, \( g \) – гравитационо убрзање, \( r \) – унутрашњи полупречник капиларе.
Ако течност потпуно кваси зидове (\( \theta = 0^\circ \implies \cos 0^\circ = 1 \)), израз постаје \( h = \frac{2\gamma}{\rho g r} \). Ако течност не кваси (\( \theta > 90^\circ \)), \( \cos \theta < 0 \), па је ниво течности у капилари нижи него у суду (\( h < 0 \)).
Како полупречник капиларе утиче на висину подизања течности?
Висина стуба течности је обрнуто сразмерна полупречнику капиларе (\( h \sim \frac{1}{r} \)). Што је цев ужа (мањи полупречник \( r \)), то се течност подиже (или спушта) на већу висину.
Вискозност (унутрашње трење): О особина флуида да се услед међумолекулских сила опире узајамном померању својих слојева приликом струјања.
Њутнов закон вискозности: Сила унутрашњег трења између два слоја течности сразмерна је површини додира \( S \) и градијенту брзине (брзини \( v \) подељеној растојањем \( L \)):
\[ F_v = \eta \frac{S}{L} v \]
\( F_v \) – сила вискозног трења, \( \eta \) – коефицијент динамичке вискозности, \( S \) – површина плоче/слоја, \( v \) – релативна брзина слојева, \( L \) – растојање између слојева/плоча.
\( [\eta] = \text{Pa} \cdot \text{s} = \frac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m}^2} = \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}} \)
Коефицијент вискозности течности опада са порастом температуре (нпр. загрејани мед или уље теку знатно лакше него хладни).
Режими струјања:
- Ламинарно струјање: Струјање при малим брзинама где се слојеви флуида крећу паралелно без међусобног мешања.
- Турбулентно струјање: Неуређено струјање при брзинама већим од критичне, праћено вртлозима и знатно већим отпором средине.
Стоксов закон описује силу вискозног отпора која делује на сферно тело (куглицу) када се споро креће кроз вискозни флуид у ламинарном режиму.
\[ F_s = 6\pi \eta r v \]
\( F_s \) – вискозна сила отпора (Стоксова сила), \( \eta \) – коефицијент вискозности флуида, \( r \) – полупречник сфере, \( v \) – брзина кретања тела у односу на флуид.
Стоксов закон важи искључиво за сферна тела и искључиво при ламинарном опструјавању (мале брзине кретања). При појави турбуленције сила отпора постаје сразмерна квадрату брзине (\( F \sim v^2 \)), због чега се возила конструишу са аеродинамичним обликом.
Ако се брзина сферне честице која се ламинарно креће кроз уље удвостручи, како се мења сила отпора према Стоксовом закону?
Према Стоксовом закону (\( F_s = 6\pi\eta r v \)), сила отпора је директно пропорционална брзини (\( F_s \sim v \)). Зато ће се удвостручавањем брзине сила отпора такође удвостручити.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Танка жица дужине \( 8\text{ cm} \) лежи на површини воде (\( \gamma = 0{,}073\text{ N/m} \)). Колика је сила површинског напона која делује дуж једне стране те жице?
Подаци: \( l = 8\text{ cm} = 0{,}08\text{ m} \), \( \gamma = 0{,}073\text{ N/m} \).
Сила површинског напона на једну страну жице износи: \[ F_{pn} = \gamma l = 0{,}073\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}08\,\text{m} = 0{,}00584\,\text{N} = 5{,}84\,\text{mN} \]
Сила површинског напона на једну страну жице износи: \[ F_{pn} = \gamma l = 0{,}073\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}08\,\text{m} = 0{,}00584\,\text{N} = 5{,}84\,\text{mN} \]
Задатак 2 (средњи): Стаклена капилара унутрашњег полупречника \( r = 0{,}5\text{ mm} \) уроњена је у воду густине \( \rho = 1000\text{ kg/m}^3 \) и коефицијента површинског напона \( \gamma = 0{,}073\text{ N/m} \). До које висине ће се попети вода у капилари ако је квашење потпуно (\( \theta = 0^\circ \))? Узети \( g = 9{,}81\text{ m/s}^2 \).
Подаци: \( r = 0{,}5\text{ mm} = 5 \cdot 10^{-4}\text{ m} \), \( \gamma = 0{,}073\text{ N/m} \), \( \rho = 1000\text{ kg/m}^3 \), \( \theta = 0^\circ \) (\( \cos 0^\circ = 1 \)), \( g = 9{,}81\text{ m/s}^2 \).
Користимо формулу за висину капиларног подизања: \[ h = \frac{2\gamma \cos \theta}{\rho g r} = \frac{2 \cdot 0{,}073 \cdot 1}{1000 \cdot 9{,}81 \cdot 5 \cdot 10^{-4}} = \frac{0{,}146}{4{,}905} \approx 0{,}0298\text{ m} = 29{,}8\text{ mm} \approx 3\text{ cm} \]
Користимо формулу за висину капиларног подизања: \[ h = \frac{2\gamma \cos \theta}{\rho g r} = \frac{2 \cdot 0{,}073 \cdot 1}{1000 \cdot 9{,}81 \cdot 5 \cdot 10^{-4}} = \frac{0{,}146}{4{,}905} \approx 0{,}0298\text{ m} = 29{,}8\text{ mm} \approx 3\text{ cm} \]
Задатак 3 (средњи): Квадратна плоча странице \( a = 20\text{ cm} \) помера се константном брзином \( v = 0{,}4\text{ m/s} \) паралелно фиксној подлози на растојању \( L = 2\text{ mm} \). Простор између је испуњен моторним уљем коефицијента вискозности \( \eta = 0{,}25\text{ Pa}\cdot\text{s} \). Колика је сила вискозног трења?
Подаци:
\( S = a^2 = (0{,}2\text{ m})^2 = 0{,}04\text{ m}^2 \)
\( v = 0{,}4\text{ m/s} \)
\( L = 2\text{ mm} = 2 \cdot 10^{-3}\text{ m} \)
\( \eta = 0{,}25\text{ Pa}\cdot\text{s} \)
Према Њутновом закону вискозности: \[ F_v = \eta \frac{S}{L} v = 0{,}25 \cdot \frac{0{,}04}{2 \cdot 10^{-3}} \cdot 0{,}4 = 0{,}25 \cdot 20 \cdot 0{,}4 = 2\text{ N} \]
\( S = a^2 = (0{,}2\text{ m})^2 = 0{,}04\text{ m}^2 \)
\( v = 0{,}4\text{ m/s} \)
\( L = 2\text{ mm} = 2 \cdot 10^{-3}\text{ m} \)
\( \eta = 0{,}25\text{ Pa}\cdot\text{s} \)
Према Њутновом закону вискозности: \[ F_v = \eta \frac{S}{L} v = 0{,}25 \cdot \frac{0{,}04}{2 \cdot 10^{-3}} \cdot 0{,}4 = 0{,}25 \cdot 20 \cdot 0{,}4 = 2\text{ N} \]
Задатак 4 (тежак): Мала челична куглица полупречника \( r = 1\text{ mm} \) пада кроз глицерин (\( \eta = 1{,}5\text{ Pa}\cdot\text{s} \)) константном брзином \( v = 0{,}02\text{ m/s} \). Колика сила вискозног отпора делује на куглицу при овом кретању?
Подаци: \( r = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} \), \( \eta = 1{,}5\text{ Pa}\cdot\text{s} \), \( v = 0{,}02\text{ m/s} \).
Примењујемо Стоксов закон: \[ F_s = 6\pi \eta r v = 6\pi \cdot 1{,}5\,\text{Pa}\cdot\text{s} \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot 0{,}02\,\text{m/s} \] \[ F_s = 6 \cdot 3{,}1416 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}02 \approx 5{,}65 \cdot 10^{-4}\text{ N} = 0{,}565\text{ mN} \]
Примењујемо Стоксов закон: \[ F_s = 6\pi \eta r v = 6\pi \cdot 1{,}5\,\text{Pa}\cdot\text{s} \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot 0{,}02\,\text{m/s} \] \[ F_s = 6 \cdot 3{,}1416 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}02 \approx 5{,}65 \cdot 10^{-4}\text{ N} = 0{,}565\text{ mN} \]
