Најважније из лекције
Идеални флуид: Нестишљив (\(\rho = \text{const.}\)) и без унутрашњег трења (вискозности).
Стационарно струјање: Брзина у свакој тачки простора је стална током времена; струјне линије се не секу и поклапају се са путањама делића.
Проток флуида:
Стационарно струјање: Брзина у свакој тачки простора је стална током времена; струјне линије се не секу и поклапају се са путањама делића.
Проток флуида:
- Запремински проток: \(q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t} = S \cdot v\) \(\left[\frac{\text{m}^3}{\text{s}}\right]\)
- Масени проток: \(q_m = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v\) \(\left[\frac{\text{kg}}{\text{s}}\right]\)
Идеални флуид је флуид који је потпуно нестишљив (\(\rho = \text{const.}\)) и код кога нема сила унутрашњег трења (вискозност је једнака нули или занемарљива).
Вискозност представља меру отпора који флуид пружа струјању услед сила унутрашњег трења између слојева флуида.
Брзина флуида (\(v\)) јесте брзина делића флуида у посматраној тачки простора.
Јединица за брзину флуида је метар у секунди: \([v] = \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
Основни физички параметри који описују кретање идеалног флуида су: густина (\(\rho\)), притисак (\(p\)) и брзина (\(v\)).
Стационарно струјање је струјање код кога брзина делића зависи искључиво од његовог положаја у простору, а не од времена. У свакој тачки простора брзина делића који кроз њу пролазе остаје константна током времена.
Нестационарно струјање је ток флуида код кога брзина делића у датој тачки простора зависи и од времена.
Вртложно струјање настаје када делићи флуида током кретања ротирају око сопствене осе.
Линија тока је путања којом се креће делић флуида.
Струјне линије су усмерене криве линије чије су тангенте у свакој тачки усмерене у правцу вектора брзине делића флуида у тој тачки.
Код стационарног струјања струјне линије имају сталан облик и положај, никада се међусобно не секу и у потпуности се поклапају са линијама тока.
Струјна цев је део простора испуњен флуидом који је ограничен снопом струјних линија. Површина нормална на струјне линије представља попречни пресек струјне цеви (\(S\)). Пошто се струјне линије не секу, флуид не прелази кроз омотач струјне цеви.
Проток флуида је физичка величина која описује количину флуида која протекне кроз попречни пресек струјне цеви у јединици времена.
Запремински проток (\(q_V\)) – запремина флуида \(\Delta V\) која протекне у временском интервалу \(\Delta t\):
\[ q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t} = S \cdot v \]
\(S\) – површина попречног пресека, \(v\) – брзина струјања флуида
Јединица за запремински проток: \([q_V] = \frac{\text{m}^3}{\text{s}}\).
Масени проток (\(q_m\)) – маса флуида \(\Delta m\) која протекне у временском интервалу \(\Delta t\):
\[ q_m = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho \cdot q_V = \rho \cdot S \cdot v \]
\(\rho\) – густина флуида
Јединица за масени проток: \([q_m] = \frac{\text{kg}}{\text{s}}\).
Ако кроз цев попречног пресека \(S = 0{,}04\text{ m}^2\) вода протиче брзином \(v = 2\text{ m/s}\), запремински проток износи:
\[ q_V = S \cdot v = 0{,}04\text{ m}^2 \cdot 2\text{ m/s} = 0{,}08\,\frac{\text{m}^3}{\text{s}} \]
При стационарном струјању нема нагомилавања нити мешања флуида између струјних цеви, па је масени проток сталан кроз сваки попречни пресек струјне цеви:
\[ q_m = \text{const.} \implies \rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2 \]
Једначина континуитета за нестишљиве флуиде (\(\rho = \text{const.}\)):
\[ q_V = \text{const.} \implies S_1 v_1 = S_2 v_2 \]
Производ попречног пресека струјне цеви и брзине флуида константан је дуж читаве цеви.
Физички смисао: На местима где је цев ужа (мањи пресек \(S\)), брзина флуида \(v\) је сразмерно већа, и обрнуто – на ширим деловима цеви флуид се креће спорије.
Кроз цев пресека \(S_1 = 10\text{ cm}^2\) вода протиче брзином \(v_1 = 1\text{ m/s}\). Колика је брзина воде на сужењу где је пресек \(S_2 = 2\text{ cm}^2\)?
Применом једначине континуитета:
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies v_2 = \frac{S_1 v_1}{S_2} \]
\[ v_2 = \frac{10\text{ cm}^2 \cdot 1\text{ m/s}}{2\text{ cm}^2} = 5\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина на ужем делу је \(5\text{ m/s}\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати запремину воде која протекне кроз цев за \(t = 2\text{ min}\), ако је запремински проток сталан и износи \(q_V = 0{,}015\text{ m}^3/\text{s}\).
Претварамо време у секунде:
\[ t = 2\text{ min} = 2 \cdot 60\text{ s} = 120\text{ s} \]
Из дефиниције запреминског протока \(q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t}\) следи:
\[ \Delta V = q_V \cdot \Delta t = 0{,}015\,\frac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 120\text{ s} = 1{,}8\text{ m}^3 \]
Одговор: Протекне запремина од \(1{,}8\text{ m}^3\) (односно \(1800\text{ l}\)).
Задатак 2 (средњи): Кроз ширу хоризонталну цев попречног пресека \(S_1 = 25\text{ cm}^2\) вода се креће брзином \(v_1 = 1{,}2\text{ m/s}\). Цев се наставља у ужи део кроз који се вода креће брзином \(v_2 = 6\text{ m/s}\). Колика је површина попречног пресека \(S_2\) ужег дела цеви?
Вода је нестишљив флуид, па примењујемо једначину континуитета:
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \]
Изражавамо непознату површину \(S_2\):
\[ S_2 = \frac{S_1 v_1}{v_2} \]
Уврштавамо дате вредности:
\[ S_2 = \frac{25\text{ cm}^2 \cdot 1{,}2\text{ m/s}}{6\text{ m/s}} = \frac{30}{6}\text{ cm}^2 = 5\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина ужег дела цеви је \(5\text{ cm}^2\).
Задатак 3 (тежи): Цев кружног попречног пресека има пречник \(d_1 = 8\text{ cm}\) на улазу, а затим се сужава на пречник \(d_2 = 4\text{ cm}\). Брзина протицања воде на улазу је \(v_1 = 0{,}5\text{ m/s}\). Одредити:
а) Брзину струјања воде \(v_2\) на суженом делу цеви;
б) Масени проток воде (\(\rho = 1000\text{ kg/m}^3\)).
а) Брзину струјања воде \(v_2\) на суженом делу цеви;
б) Масени проток воде (\(\rho = 1000\text{ kg/m}^3\)).
а) Израчунавање брзине \(v_2\):
Површина кружног попречног пресека је \(S = \frac{d^2 \pi}{4}\).
Из једначине континуитета следи: \[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies \frac{d_1^2 \pi}{4} v_1 = \frac{d_2^2 \pi}{4} v_2 \implies d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2 \] \[ v_2 = v_1 \cdot \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 \] Уврштавањем вредности: \[ v_2 = 0{,}5\text{ m/s} \cdot \left(\frac{8\text{ cm}}{4\text{ cm}}\right)^2 = 0{,}5 \cdot 2^2 = 0{,}5 \cdot 4 = 2\text{ m/s} \] б) Израчунавање масеног протока \(q_m\):
Пречник \(d_1 = 8\text{ cm} = 0{,}08\text{ m}\), полупречник \(r_1 = 0{,}04\text{ m}\). \[ S_1 = r_1^2 \pi = (0{,}04\text{ m})^2 \cdot \pi = 0{,}0016\pi\text{ m}^2 \approx 5{,}03 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 \] Масени проток је: \[ q_m = \rho S_1 v_1 = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}0016\pi\text{ m}^2 \cdot 0{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 0{,}8\pi\,\frac{\text{kg}}{\text{s}} \approx 2{,}51\,\frac{\text{kg}}{\text{s}} \] Одговор: Брзина на ужем делу је \(2\text{ m/s}\), а масени проток воде је \(2{,}51\text{ kg/s}\).
Површина кружног попречног пресека је \(S = \frac{d^2 \pi}{4}\).
Из једначине континуитета следи: \[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies \frac{d_1^2 \pi}{4} v_1 = \frac{d_2^2 \pi}{4} v_2 \implies d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2 \] \[ v_2 = v_1 \cdot \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 \] Уврштавањем вредности: \[ v_2 = 0{,}5\text{ m/s} \cdot \left(\frac{8\text{ cm}}{4\text{ cm}}\right)^2 = 0{,}5 \cdot 2^2 = 0{,}5 \cdot 4 = 2\text{ m/s} \] б) Израчунавање масеног протока \(q_m\):
Пречник \(d_1 = 8\text{ cm} = 0{,}08\text{ m}\), полупречник \(r_1 = 0{,}04\text{ m}\). \[ S_1 = r_1^2 \pi = (0{,}04\text{ m})^2 \cdot \pi = 0{,}0016\pi\text{ m}^2 \approx 5{,}03 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 \] Масени проток је: \[ q_m = \rho S_1 v_1 = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}0016\pi\text{ m}^2 \cdot 0{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 0{,}8\pi\,\frac{\text{kg}}{\text{s}} \approx 2{,}51\,\frac{\text{kg}}{\text{s}} \] Одговор: Брзина на ужем делу је \(2\text{ m/s}\), а масени проток воде је \(2{,}51\text{ kg/s}\).
