Најважније из лекције
I Кирхофово правило (за чворове): Базирано на закону одржања наелектрисања. Збир свих струја које улазе у чвор једнак је збиру струја које из њега излазе (\(\sum I_{\text{улаз}} = \sum I_{\text{излаз}}\) или \(\sum I = 0\)).
II Кирхофово правило (за контуре): Базирано на закону одржања енергије. У затвореној струјној контури алгебарски збир свих електромоторних сила и падова напона једнак је нули (\(\sum \varepsilon + \sum IR = 0\)).
Правила за знакове: Pad напона \(IR\) је \(+IR\) ако је смер струје у смеру обилажења контуре, а \(-IR\) ако је супротан. ЕМС извора је \(-\varepsilon\) при преласку са \(-\) на \(+\) пол, односно \(+\varepsilon\) при преласку са \(+\) на \(-\) пол.
Резултат прорачуна: Негативна вредност струје значи само да је њен стварни физички смер супротан од претпостављеног.
II Кирхофово правило (за контуре): Базирано на закону одржања енергије. У затвореној струјној контури алгебарски збир свих електромоторних сила и падова напона једнак је нули (\(\sum \varepsilon + \sum IR = 0\)).
Правила за знакове: Pad напона \(IR\) је \(+IR\) ако је смер струје у смеру обилажења контуре, а \(-IR\) ако је супротан. ЕМС извора је \(-\varepsilon\) при преласку са \(-\) на \(+\) пол, односно \(+\varepsilon\) при преласку са \(+\) на \(-\) пол.
Резултат прорачуна: Негативна вредност струје значи само да је њен стварни физички смер супротан од претпостављеног.
Чвор је тачка у сложеном електричном колу у којој се спајају три или више проводника (елемената кола).
Прво Кирхофово правило је директна последица закона одржања наелектрисања - наелектрисање се не може нагомилавати у чвору нити из њега нестајати.
У сваком чвору електричног кола, збир јачина струја које утичу у чвор једнак је збиру јачина струја које из њега истичу:
\[ \sum I_{\text{утичу}} = \sum I_{\text{истичу}} \]
Алтернативно, алгебарски збир свих струја у чвору једнак је нули:
\[ \sum_{k=1}^{n} I_k = 0 \]
При коришћењу алгебарског збира, струјама које утичу у чвор додељује се позитиван знак (\(+\)), а струјама које истичу из чвора негативан знак (\(-\)).
Ако у један чвор утичу струје \( I_1 = 3\text{ A} \) и \( I_2 = 2\text{ A} \), а из њега истичу струје \( I_3 \) и \( I_4 = 1\text{ A} \):
\[ I_1 + I_2 = I_3 + I_4 \implies 3\text{ A} + 2\text{ A} = I_3 + 1\text{ A} \implies I_3 = 4\text{ A} \]
Струјна контура је било која затворена путања унутар сложеног електричног кола дуж које се може обићи коло крећући се кроз гране и чворове без понављања.
Друго Кирхофово правило представља последицу закона одржања енергије - рад који извори изврше на померању наелектрисања кроз затворену контуру једнак је енергији утрошеној на отпорницима.
Алгебарски збир свих електромоторних сила (\(\varepsilon\)) и свих падова напона (\(IR\)) у затвореној струјној контури једнак је нули:
\[ \sum \varepsilon + \sum U_R = 0 \quad \text{односно} \quad \sum \varepsilon = \sum I R \]
Пре писања једначине према Другом Кирхофовом правилу, произвољно се бира смер обилажења контуре (најчешће у смеру казаљке на сату).
| Елемент кола | Услов за предзнак | Знак у алгебарској суми |
|---|---|---|
| Пад напона на отпорнику (\(U_R = IR\)) | Смер струје кроз отпорник се поклапа са смером обилажења | \(+IR\) |
| Смер струје кроз отпорник је супротан смеру обилажења | \(-IR\) | |
| Електромоторна сила извора (\(\varepsilon\)) | Обилажење контуре кроз извор иде од негативног ка позитивном полу (\(-\to +\)) | \(-\varepsilon\) |
| Обилажење контуре кроз извор иде од позитивног ка негативном полу (\(+\to -\)) | \(+\varepsilon\) |
Означавање смерова: Означити све чворове, гране и произвољно претпоставити смерове јачина струја у свакој грани (\(I_1, I_2, \dots, I_n\)).
Једначине за чворове: Ако коло има \(N\) чворова, поставити \(N-1\) независних једначина према Првом Кирхофовом правилу.
Једначине за контуре: Изабрати смер обилажења и поставити једначине према Другом Кирхофовом правилу за онолико независних контура колико недостаје једначина да би укупан број једначина био једнак броју непознатих струја.
Решавање система: Решити добијени систем линеарних једначина.
Ако се за неку струју добије негативна вредност, њен стварни смер је супротан од оног који је претпостављен на почетку, док је интензитет тачно израчунат.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лако): У један чвор струјног кола утичу струје \( I_1 = 4\text{ A} \) и \( I_2 = 1{,}5\text{ A} \), а из чвора истиче струја \( I_3 = 2\text{ A} \) и струја \( I_4 \). Колика је јачина струје \( I_4 \) и који је њен смер?
Према Првом Кирхофовом правилу:
\[ \sum I_{\text{утичу}} = \sum I_{\text{истичу}} \]
\[ I_1 + I_2 = I_3 + I_4 \]
\[ 4\text{ A} + 1{,}5\text{ A} = 2\text{ A} + I_4 \]
\[ 5{,}5\text{ A} = 2\text{ A} + I_4 \implies I_4 = 3{,}5\text{ A} \]
Одговор: Јачина струје је \( I_4 = 3{,}5\text{ A} \), а њен смер је из чвора (истиче).
Задатак 2 (Средње): Једноставна затворена контура садржи два извора електромоторних сила \( \varepsilon_1 = 12\text{ V} \) и \( \varepsilon_2 = 4\text{ V} \) везана тако да делују један другоме насупрот, као и отпорнике \( R_1 = 3\,\Omega \) и \( R_2 = 1\,\Omega \). Одредити јачину струје у колу коришћењем Другог Кирхофовог правила.
Изаберимо смер струје и смер обилажења у смеру деловања јачег извора (\(\varepsilon_1\)):
При обиласку контуре, кроз извор \(\varepsilon_1\) пролазимо од \(-\) ка \(+\) (\(-\varepsilon_1\)), а кроз извор \(\varepsilon_2\) од \(+\) ка \(-\) (\(+\varepsilon_2\)). Струја кроз оба отпорника има исти смер као смер обилажења: \[ I R_1 + I R_2 - \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 0 \] \[ I(R_1 + R_2) = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 \] \[ I(3\,\Omega + 1\,\Omega) = 12\text{ V} - 4\text{ V} \] \[ I \cdot 4\,\Omega = 8\text{ V} \implies I = 2\text{ A} \] Одговор: Јачина струје у колу износи \( 2\text{ A} \).
При обиласку контуре, кроз извор \(\varepsilon_1\) пролазимо од \(-\) ка \(+\) (\(-\varepsilon_1\)), а кроз извор \(\varepsilon_2\) од \(+\) ка \(-\) (\(+\varepsilon_2\)). Струја кроз оба отпорника има исти смер као смер обилажења: \[ I R_1 + I R_2 - \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 0 \] \[ I(R_1 + R_2) = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 \] \[ I(3\,\Omega + 1\,\Omega) = 12\text{ V} - 4\text{ V} \] \[ I \cdot 4\,\Omega = 8\text{ V} \implies I = 2\text{ A} \] Одговор: Јачина струје у колу износи \( 2\text{ A} \).
Задатак 3 (Тешко): Електрично коло састоји се од две контуре и три паралелне гране са заједничким чворовима \( A \) и \( B \). У првој грани су извор \( \varepsilon_1 = 10\text{ V} \) и отпорник \( R_1 = 2\,\Omega \). У другој грани је извор \( \varepsilon_2 = 4\text{ V} \) и отпорник \( R_2 = 1\,\Omega \) (извори су окренути позитивним половима ка чвору \(A\)). У трећој, средњој грани налази се само отпорник \( R_3 = 4\,\Omega \). Израчунати струје у свим гранама кола.
1. Постављање једначина:
Претпоставимо да струје \( I_1 \) и \( I_2 \) утичу у чвор \( A \), а струја \( I_3 \) истиче из чвора \( A \) кроз трећу грану: \[ \text{I правило за чвор } A: \quad I_1 + I_2 - I_3 = 0 \implies I_3 = I_1 + I_2 \] Обилазимо контуру 1 (грана 1 и грана 3) и контуру 2 (грана 2 и грана 3): \[ \text{Контура 1: } I_1 R_1 + I_3 R_3 - \varepsilon_1 = 0 \implies 2 I_1 + 4 I_3 = 10 \] \[ \text{Контура 2: } I_2 R_2 + I_3 R_3 - \varepsilon_2 = 0 \implies 1 I_2 + 4 I_3 = 4 \] 2. Решавање система:
Уврстимо \( I_3 = I_1 + I_2 \) у једначине контура: \[ 2 I_1 + 4(I_1 + I_2) = 10 \implies 6 I_1 + 4 I_2 = 10 \quad \text{/(поделимо са 2)} \implies 3 I_1 + 2 I_2 = 5 \] \[ 1 I_2 + 4(I_1 + I_2) = 4 \implies 4 I_1 + 5 I_2 = 4 \] Из прве једначине: \( I_2 = \frac{5 - 3I_1}{2} \). Уврстимо у другу: \[ 4 I_1 + 5 \cdot \frac{5 - 3 I_1}{2} = 4 \implies 8 I_1 + 25 - 15 I_1 = 8 \] \[ -7 I_1 = -17 \implies I_1 = \frac{17}{7}\text{ A} \approx 2{,}43\text{ A} \] Сада налазимо \( I_2 \) и \( I_3 \): \[ I_2 = \frac{5 - 3 \cdot \frac{17}{7}}{2} = \frac{\frac{35 - 51}{7}}{2} = -\frac{16}{14} = -\frac{8}{7}\text{ A} \approx -1{,}14\text{ A} \] \[ I_3 = I_1 + I_2 = \frac{17}{7} - \frac{8}{7} = \frac{9}{7}\text{ A} \approx 1{,}29\text{ A} \] Одговор: Јачине струја су \( I_1 \approx 2{,}43\text{ A} \), \( I_2 \approx -1{,}14\text{ A} \) (негативан знак означава да струја заправо тече супротно, односно истиче из чвора \( A \)) и \( I_3 \approx 1{,}29\text{ A} \).
Претпоставимо да струје \( I_1 \) и \( I_2 \) утичу у чвор \( A \), а струја \( I_3 \) истиче из чвора \( A \) кроз трећу грану: \[ \text{I правило за чвор } A: \quad I_1 + I_2 - I_3 = 0 \implies I_3 = I_1 + I_2 \] Обилазимо контуру 1 (грана 1 и грана 3) и контуру 2 (грана 2 и грана 3): \[ \text{Контура 1: } I_1 R_1 + I_3 R_3 - \varepsilon_1 = 0 \implies 2 I_1 + 4 I_3 = 10 \] \[ \text{Контура 2: } I_2 R_2 + I_3 R_3 - \varepsilon_2 = 0 \implies 1 I_2 + 4 I_3 = 4 \] 2. Решавање система:
Уврстимо \( I_3 = I_1 + I_2 \) у једначине контура: \[ 2 I_1 + 4(I_1 + I_2) = 10 \implies 6 I_1 + 4 I_2 = 10 \quad \text{/(поделимо са 2)} \implies 3 I_1 + 2 I_2 = 5 \] \[ 1 I_2 + 4(I_1 + I_2) = 4 \implies 4 I_1 + 5 I_2 = 4 \] Из прве једначине: \( I_2 = \frac{5 - 3I_1}{2} \). Уврстимо у другу: \[ 4 I_1 + 5 \cdot \frac{5 - 3 I_1}{2} = 4 \implies 8 I_1 + 25 - 15 I_1 = 8 \] \[ -7 I_1 = -17 \implies I_1 = \frac{17}{7}\text{ A} \approx 2{,}43\text{ A} \] Сада налазимо \( I_2 \) и \( I_3 \): \[ I_2 = \frac{5 - 3 \cdot \frac{17}{7}}{2} = \frac{\frac{35 - 51}{7}}{2} = -\frac{16}{14} = -\frac{8}{7}\text{ A} \approx -1{,}14\text{ A} \] \[ I_3 = I_1 + I_2 = \frac{17}{7} - \frac{8}{7} = \frac{9}{7}\text{ A} \approx 1{,}29\text{ A} \] Одговор: Јачине струја су \( I_1 \approx 2{,}43\text{ A} \), \( I_2 \approx -1{,}14\text{ A} \) (негативан знак означава да струја заправо тече супротно, односно истиче из чвора \( A \)) и \( I_3 \approx 1{,}29\text{ A} \).
