Најважније из лекције
Енергија електричног поља кондензатора: Једнака је извршеном раду при пуњењу кондензатора:
\[ E_p = \frac{1}{2} q U = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \]
Запреминска густина енергије (\( w \)): Енергија по јединици запремине:
\[ w = \frac{E_p}{V} = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 \quad \left[\frac{\text{J}}{\text{m}^3}\right] \]
Практична заштита: Метална кућишта и аутомобили пружају заштиту од електростатичког пражњења (удара грома). На отвореном избегавати усамљене високе објекте и воду, а у случају опасности чучнути или лећи на земљу.
Енергија електричног поља кондензатора једнака је раду који се изврши приликом његовог пуњења, односно преношења наелектрисања на његове облоге.
За преношење мале количине наелектрисања \( \Delta q \) при напону \( U \) врши се рад \( \Delta A = U \cdot \Delta q \). Како напон расте сразмерно количини наелектрисања (\( U = \frac{q}{C} \)), укупан рад одговара површини троугла испод графика зависности \( U(q) \).
\[ E_p = \frac{1}{2} q U = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \]
\( E_p \) – електростатичка потенцијална енергија поља, \( q \) – наелектрисање кондензатора, \( U \) – напон између облога, \( C \) – електрични капацитет
Џул (\( \text{J} \))
Кондензатор капацитета \( C = 10\ \mu\text{F} \) прикључен је на напон \( U = 20\ \text{V} \). Енергија његовог електричног поља износи:
\[ E_p = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10^{-6}\ \text{F} \cdot (20\ \text{V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10^{-5} \cdot 400 = 2 \cdot 10^{-3}\ \text{J} = 2\ \text{mJ} \]
Колика је енергија акумулирана у кондензатору ако се на његовим облогама налази наелектрисање од \( 6\ \text{mC} \) при напону од \( 50\ \text{V} \)?
Користимо образац: \( E_p = \frac{1}{2} q U \).
\[ E_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10^{-3}\ \text{C} \cdot 50\ \text{V} = 0{,}15\ \text{J} = 150\ \text{mJ} \]
Запреминска густина енергије (\( w \)) представља количник укупне енергије електричног поља и запремине простора коју то поље заузима:
\[ w = \frac{E_p}{V} \]
Џул по кубном метру (\( \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \))
Код плочастог кондензатора запремина диелектрика је \( V = S \cdot d \), капацитет \( C = \varepsilon \frac{S}{d} \), а јачина хомогеног поља \( E = \frac{U}{d} \). Уврштавањем се добија израз за густину енергије:
\[ w = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 \]
\( \varepsilon \) – диелектрична пропустљивост средине, \( E \) – јачина електричног поља
Ако је електрично поље хомогено, запреминска густина енергије је константна у свим тачкама. Код нехомогеног поља густина енергије се мења од тачке до тачке.
Јачина хомогеног електричног поља у вакууму (\( \varepsilon_0 \approx 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\text{F}}{\text{m}} \)) износи \( E = 2 \cdot 10^4\ \frac{\text{V}}{\text{m}} \). Одредити запреминску густину енергије тог поља.
\[ w = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\text{F}}{\text{m}} \cdot (2 \cdot 10^4\ \frac{\text{V}}{\text{m}})^2 \]
\[ w = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 4 \cdot 10^8 = 1{,}77 \cdot 10^{-3}\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \]
Електрично поље унутар затвореног проводника једнако је нули (електростатичка заштита). На том принципу метална каросерија аутомобила делује као заштитни кавез и пружа безбедност од удара грома.
Основна правила безбедности током грмљавинских непогода:
- У затвореном простору: Боравити у кући/стану; удаљити се од прозора, отворених врата, металних цеви и инсталација; не користити фиксни телефон и искључити електричне уређаје из мреже.
- У возилу: Останите унутар аутомобила, јер метална шкољка служи као електростатички штит.
- На отвореном простору: Избегавати усамљено дрвеће, стубове, водене површине и металне предмете; потражити заклон у удубљењима (шанац, кањон, подножје стене).
- У недостатку заклона: Чучнути са сакупљеним стопалима (смањење напона корака).
- Знак непосредне опасности: Уколико се коса јежи или осећа пецкање на кожи, долази до наелектрисавања – одмах лећи на земљу.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Кондензатор капацитета \( C = 5\ \mu\text{F} \) наелектрисан је тако да напон између његових плоча износи \( U = 400\ \text{V} \). Израчунати енергију електричног поља овог кондензатора.
Подаци:
\( C = 5\ \mu\text{F} = 5 \cdot 10^{-6}\ \text{F} \), \( U = 400\ \text{V} \).
Применом обрасца: \[ E_p = \frac{1}{2} C U^2 \] \[ E_p = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^{-6}\ \text{F} \cdot (400\ \text{V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \cdot 160000 = 0{,}4\ \text{J} \] Одговор: Енергија електричног поља износи \( 0{,}4\ \text{J} \).
Применом обрасца: \[ E_p = \frac{1}{2} C U^2 \] \[ E_p = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^{-6}\ \text{F} \cdot (400\ \text{V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \cdot 160000 = 0{,}4\ \text{J} \] Одговор: Енергија електричног поља износи \( 0{,}4\ \text{J} \).
Задатак 2 (средњи): На облогама кондензатора налази се количина наелектрисања \( q = 80\ \mu\text{C} \), при чему је енергија поља \( E_p = 1{,}6\ \text{mJ} \). Одредити напон између плоча и капацитет тог кондензатора.
Подаци:
\( q = 80\ \mu\text{C} = 8 \cdot 10^{-5}\ \text{C} \), \( E_p = 1{,}6\ \text{mJ} = 1{,}6 \cdot 10^{-3}\ \text{J} \).
1. Из формуле \( E_p = \frac{1}{2} q U \) изражавамо напон: \[ U = \frac{2 E_p}{q} = \frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-3}\ \text{J}}{8 \cdot 10^{-5}\ \text{C}} = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-3}}{8 \cdot 10^{-5}} = 40\ \text{V} \] 2. Капацитет кондензатора износи: \[ C = \frac{q}{U} = \frac{8 \cdot 10^{-5}\ \text{C}}{40\ \text{V}} = 2 \cdot 10^{-6}\ \text{F} = 2\ \mu\text{F} \] Одговор: Напон је \( 40\ \text{V} \), а капацитет \( 2\ \mu\text{F} \).
1. Из формуле \( E_p = \frac{1}{2} q U \) изражавамо напон: \[ U = \frac{2 E_p}{q} = \frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-3}\ \text{J}}{8 \cdot 10^{-5}\ \text{C}} = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-3}}{8 \cdot 10^{-5}} = 40\ \text{V} \] 2. Капацитет кондензатора износи: \[ C = \frac{q}{U} = \frac{8 \cdot 10^{-5}\ \text{C}}{40\ \text{V}} = 2 \cdot 10^{-6}\ \text{F} = 2\ \mu\text{F} \] Одговор: Напон је \( 40\ \text{V} \), а капацитет \( 2\ \mu\text{F} \).
Задатак 3 (тежак): Плочасти кондензатор површине плоча \( S = 100\ \text{cm}^2 \) и растојања између њих \( d = 2\ \text{mm} \) напуњен је на напон \( U = 600\ \text{V} \). Диелектрик између плоча је ваздух (\( \varepsilon \approx \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\text{F}}{\text{m}} \)). Израчунати:
а) Јачину електричног поља унутар кондензатора;
б) Запреминску густину енергије;
в) Укупну енергију поља.
а) Јачину електричног поља унутар кондензатора;
б) Запреминску густину енергије;
в) Укупну енергију поља.
Подаци:
\( S = 100\ \text{cm}^2 = 0{,}01\ \text{m}^2 \), \( d = 2\ \text{mm} = 2 \cdot 10^{-3}\ \text{m} \), \( U = 600\ \text{V} \).
а) Јачина хомогеног електричног поља: \[ E = \frac{U}{d} = \frac{600\ \text{V}}{2 \cdot 10^{-3}\ \text{m}} = 3 \cdot 10^5\ \frac{\text{V}}{\text{m}} \] б) Запреминска густина енергије: \[ w = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot (3 \cdot 10^5)^2 = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 9 \cdot 10^{10} \approx 0{,}398\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \] в) Запремина простора између плоча је \( V = S \cdot d = 0{,}01\ \text{m}^2 \cdot 2 \cdot 10^{-3}\ \text{m} = 2 \cdot 10^{-5}\ \text{m}^3 \).
Укупна енергија: \[ E_p = w \cdot V = 0{,}398\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-5}\ \text{m}^3 \approx 7{,}96 \cdot 10^{-6}\ \text{J} = 7{,}96\ \mu\text{J} \] Одговор: \( E = 3 \cdot 10^5\ \text{V/m} \), \( w \approx 0{,}398\ \text{J/m}^3 \), \( E_p \approx 7{,}96\ \mu\text{J} \).
а) Јачина хомогеног електричног поља: \[ E = \frac{U}{d} = \frac{600\ \text{V}}{2 \cdot 10^{-3}\ \text{m}} = 3 \cdot 10^5\ \frac{\text{V}}{\text{m}} \] б) Запреминска густина енергије: \[ w = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot (3 \cdot 10^5)^2 = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 9 \cdot 10^{10} \approx 0{,}398\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \] в) Запремина простора између плоча је \( V = S \cdot d = 0{,}01\ \text{m}^2 \cdot 2 \cdot 10^{-3}\ \text{m} = 2 \cdot 10^{-5}\ \text{m}^3 \).
Укупна енергија: \[ E_p = w \cdot V = 0{,}398\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-5}\ \text{m}^3 \approx 7{,}96 \cdot 10^{-6}\ \text{J} = 7{,}96\ \mu\text{J} \] Одговор: \( E = 3 \cdot 10^5\ \text{V/m} \), \( w \approx 0{,}398\ \text{J/m}^3 \), \( E_p \approx 7{,}96\ \mu\text{J} \).
