Најважније из лекције
Притисак гаса: Макроскопска последица удара огромног броја молекула о зидове суда.
Основна једначина МКТ: \(p = \frac{2}{3} n \bar{E}_k = \frac{1}{3} n m_0 \bar{v}^2\), где фактор \(\frac{1}{3}\) потиче из равноправности три димензије простора (\(\bar{v}_x^2 = \frac{1}{3}\bar{v}^2\)).
Температура: Физичка величина која одређује степен загрејаности тела и на микронивоу представља меру средње кинетичке енергије хаотичног кретања честица.
Основна једначина МКТ: \(p = \frac{2}{3} n \bar{E}_k = \frac{1}{3} n m_0 \bar{v}^2\), где фактор \(\frac{1}{3}\) потиче из равноправности три димензије простора (\(\bar{v}_x^2 = \frac{1}{3}\bar{v}^2\)).
Температура: Физичка величина која одређује степен загрејаности тела и на микронивоу представља меру средње кинетичке енергије хаотичног кретања честица.
Притисак гаса је последица непрекидних и хаотичних еластичних судара молекула гаса са зидовима суда у коме се налазе. Сваки молекул при удару о зид предаје одређени импулс и делује силом на површину зида.
Средња кинетичка енергија транслаторног кретања молекула (\(\bar{E}_k\)) представља просечну кинетичку енергију коју молекули гаса поседују услед свог транслаторног кретања.
\[ \bar{E}_k = \frac{E_{k1} + E_{k2} + \dots + E_{kN}}{N} = \frac{m_0 \bar{v}^2}{2} \]
\(m_0\) – маса једног молекула, \(\bar{v}^2\) – средња вредност квадрата брзине молекула, \(N\) – укупан број молекула.
\(\bar{E}_k\)
\(\text{J}\) (џул)
Притисак идеалног гаса директно је сразмеран концентрацији молекула и средњој кинетичкој енергији њиховог транслаторног кретања.
\[ p = \frac{2}{3} n \bar{E}_k \]
или у функцији средње квадратне брзине:
\[ p = \frac{1}{3} n m_0 \bar{v}^2 = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \bar{v}^2 \]
\(p\) – притисак (\(\text{Pa}\)), \(n = \frac{N}{V}\) – концентрација молекула (\(\text{m}^{-3}\)), \(\bar{E}_k\) – средња кинетичка енергија (\(\text{J}\)).
Ова једначина повезује макроскопске величине (\(p, V\)) са микроскопским карактеристикама честица (\(m_0, \bar{v}^2, \bar{E}_k\)).
Посматра се \(N\) молекула гаса у коцкастој посуди ивице \(a\) (запремине \(V = a^3\)). Сматра се да су сви правци кретања равноправни, а судари молекула са зидовима савршено еластични.
При еластичном одбијању од зида нормалног на \(x\)-осу, промена импулса молекула износи:
\[ \Delta p_x = -m_0 v_x - m_0 v_x = -2m_0 v_x \]
Време потребно да молекул пређе пут \(2a\) дуж \(x\)-осе и поново удари у исти зид је \(\Delta t = \frac{2a}{v_x}\). По III Њутновом закону, просечна сила којом један молекул делује на зид је:
\[ F_1 = \frac{|\Delta p_x|}{\Delta t} = \frac{2m_0 v_x}{\frac{2a}{v_x}} = \frac{m_0 v_x^2}{a} \]
Укупна сила којом свих \(N\) молекула делује на зид износи \(F_x = \frac{N m_0 \bar{v}_x^2}{a}\). Због хаотичног кретања важи:
\[ \bar{v}_x^2 = \bar{v}_y^2 = \bar{v}_z^2 \implies \bar{v}^2 = 3\bar{v}_x^2 \implies \bar{v}_x^2 = \frac{1}{3}\bar{v}^2 \]
Притисак на зид површине \(S = a^2\) је:
\[ p = \frac{F_x}{S} = \frac{N m_0 \bar{v}_x^2}{a \cdot a^2} = \frac{N m_0 \bar{v}^2}{3 V} = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \left( \frac{m_0 \bar{v}^2}{2} \right) = \frac{2}{3} n \bar{E}_k \]
Температура је физичка величина која описује степен загрејаности тела у односу на неко упоредно тело.
Термометар – инструмент за мерење температуре (први термометар изумео је Галилео Галилеј 1602. године).
На микроскопском нивоу, температура је директно повезана са средњом кинетичком енергијом транслаторног кретања молекула гаса – што је већа брзина и кинетичка енергија честица, то је виша температура гаса.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати притисак идеалног гаса у суду ако је концентрација његових молекула \(n = 4 \cdot 10^{25} \text{ m}^{-3}\), а средња кинетичка енергија транслаторног кретања једног молекула \(\bar{E}_k = 6 \cdot 10^{-21} \text{ J}\).
Применом основне једначине МКТ:
\[ p = \frac{2}{3} n \bar{E}_k \]
\[ p = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 10^{25} \text{ m}^{-3} \cdot 6 \cdot 10^{-21} \text{ J} \]
\[ p = \frac{2}{3} \cdot 24 \cdot 10^4 \text{ Pa} = 16 \cdot 10^4 \text{ Pa} = 160 \text{ kPa} \]
Задатак 2 (средњи): У суду запремине \(V = 5 \text{ l}\) налази се идеални гас под притиском \(p = 200 \text{ kPa}\). Колика је укупна кинетичка енергија транслаторног кретања свих молекула гаса у суду?
Полазимо од основне једначине МКТ:
\[ p = \frac{2}{3} n \bar{E}_k = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E}_k \]
Укупна кинетичка енергија свих \(N\) молекула је \(E_{k,\text{укупно}} = N \bar{E}_k\). Следи:
\[ p = \frac{2}{3} \frac{E_{k,\text{укупно}}}{V} \implies E_{k,\text{укупно}} = \frac{3}{2} p V \]
Претварањем запремине у основну јединицу (\(V = 5 \text{ l} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3\)) и притиска (\(p = 2 \cdot 10^5 \text{ Pa}\)):
\[ E_{k,\text{укупно}} = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot 10^5 \text{ Pa} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3 = 1500 \text{ J} = 1{,}5 \text{ kJ} \]
Задатак 3 (тежак): Како и за колико процената ће се променити притисак одређене масе идеалног гаса ако се средња квадратна брзина његових молекула повећа за \(20\%\), а запремина суда у коме се гас налази истовремено смањи за \(20\%\)?
Зависност притиска од запремине и брзине за дату масу гаса \(m = N m_0\) гласи:
\[ p = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \bar{v}^2 \]
Нове вредности су:
- \(\bar{v}_2 = 1{,}2 \bar{v}_1 \implies \bar{v}_2^2 = (1{,}2)^2 \bar{v}_1^2 = 1{,}44 \bar{v}_1^2\)
- \(V_2 = 0{,}8 V_1\)
