Најважније из лекције
Унутрашња енергија: Збир кинетичке и потенцијалне енергије честица. Код идеалног једноатомског гаса \(U = \frac{3}{2}nRT\), а код двоатомског \(U = \frac{5}{2}nRT\). Зависи само од температуре.
Пренос топлоте: Врши се спонтано са топлијег на хладније тело провођењем (\(Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L}t\)), струјањем или зрачењем.
Први принцип термодинамике: Закон одржања енергије \(Q = \Delta U + A\). Изохорски (\(A = 0, Q = \Delta U\)), изотермски (\(\Delta U = 0, Q = A\)), адијабатски (\(Q = 0, A = -\Delta U\)).
Други принцип и ентропија: Сви спонтани реални процеси су неповратни; укупна ентропија изолованог система расте (\(\Delta S \ge 0\)).
Топлотне машине: Претварају топлоту у рад са ефикасношћу \(\eta = \frac{A}{Q_1}\). Максимални могући ККД даје Карноов циклус: \(\eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G}\).
Пренос топлоте: Врши се спонтано са топлијег на хладније тело провођењем (\(Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L}t\)), струјањем или зрачењем.
Први принцип термодинамике: Закон одржања енергије \(Q = \Delta U + A\). Изохорски (\(A = 0, Q = \Delta U\)), изотермски (\(\Delta U = 0, Q = A\)), адијабатски (\(Q = 0, A = -\Delta U\)).
Други принцип и ентропија: Сви спонтани реални процеси су неповратни; укупна ентропија изолованог система расте (\(\Delta S \ge 0\)).
Топлотне машине: Претварају топлоту у рад са ефикасношћу \(\eta = \frac{A}{Q_1}\). Максимални могући ККД даје Карноов циклус: \(\eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G}\).
Унутрашња енергија (\( U \)) једнака је збиру кинетичких енергија хаотичног топлотног кретања и потенцијалних енергија узајамног деловања свих честица које чине систем.
\([U] = \text{J}\) (џул)
Термодинамички системи се деле према размени са околином на:
- Отворен систем: размењује и енергију и супстанцу (честице).
- Затворен систем: размењује само енергију, али не и супстанцу.
- Изолован систем: не размењује ни енергију ни супстанцу.
\[ \text{Једноатомски идеални гас: } U = \frac{3}{2} NkT = \frac{3}{2} nRT \]
\[ \text{Двоатомски идеални гас: } U = \frac{5}{2} NkT = \frac{5}{2} nRT \]
\(N\) – број честица, \(n\) – количина супстанце (број молова), \(k\) – Болцманова константа, \(R \approx 8{,}314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\) – универзална гасна константа, \(T\) – апсолутна температура.
Унутрашња енергија идеалног гаса зависи искључиво од температуре и количине гаса. Промена унутрашње енергије \(\Delta U = U_k - U_p\) зависи само од почетног и крајњег стања, а не од пута (врсте процеса).
Топлотна размена је процес преношења унутрашње енергије са једног тела на друго (или између система и околине) услед разлике у температурама, без вршења механичког рада. Пренета енергија назива се количина топлоте (\( Q \)).
\([Q] = \text{J}\) (џул)
Топлота увек спонтано прелази са тела више на тело ниже температуре, све док се не успостави топлотна равнотежа (\(T_1 = T_2\)).
Видови преноса топлоте:
- Провођење (кондукција): пренос енергије директним међусобним сударима честица унутар тела или између тела у контакту.
- Струјање (конвекција): пренос енергије макроскопским кретањем флуида (течности или гасова).
- Зрачење (радијација): пренос енергије путем електромагнетних таласа (могућ и кроз вакуум).
\[ Q = \lambda S \frac{\Delta T}{L} t \]
\(\lambda\) – коефицијент топлотне проводљивости (\([\lambda] = \frac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\)), \(S\) – површина попречног пресека, \(\Delta T\) – температурна разлика крајева, \(L\) – дужина тела, \(t\) – време провођења.
Супстанце са великим \(\lambda\) су топлотни проводници (метали попут бакра и алуминијума), а са малим \(\lambda\) су топлотни изолатори (стиропор, ваздух). За вакуум је \(\lambda = 0\).
Рад гаса (\( A \)) представља механички пренос енергије приликом промене запремине гаса под дејством притиска.
\[ \text{При константном притиску (изобарски процес): } A = p\Delta V = p(V_2 - V_1) \]
\(p\) – притисак гаса, \(\Delta V\) – промена запремине гаса.
Предзнак рада гаса:
- \(A > 0\) при ширењу (експанзији, \(\Delta V > 0\)): гас врши позитиван рад над околином.
- \(A < 0\) при сабијању (компресији, \(\Delta V < 0\)): околина врши рад над гасом.
- \(A = 0\) ако је запремина константна (\(\Delta V = 0\)).
На \(pV\) дијаграму, рад гаса бројно је једнак површини испод криве процеса. Рад није функција стања – вредност рада зависи од процеса (пута) којим систем прелази из једног стања у друго.
Први принцип термодинамике: Доведена количина топлоте затвореном систему троши се на повећање његове унутрашње енергије и на вршење рада над околином.
\[ Q = \Delta U + A \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta U = Q - A \]
Примена Првог принципа на термодинамичке процесе:
| Процес | Услов | Облик Првог принципа | Опис |
|---|---|---|---|
| Изоловани систем | \(Q = 0, A = 0\) | \(\Delta U = 0 \implies U = \text{const.}\) | Унутрашња енергија је очувана. |
| Изохорски | \(V = \text{const.} \implies A = 0\) | \(Q = \Delta U\) | Сва доведена топлота мења унутрашњу енергију. |
| Изобарски | \(p = \text{const.}\) | \(Q = \Delta U + p\Delta V\) | Топлота се троши и на загревање и на механички рад. |
| Изотермски | \(T = \text{const.} \implies \Delta U = 0\) | \(Q = A\) | Сва доведена топлота се претвара у рад. |
| Кружни (циклус) | Почетно = крајње стање (\(\Delta U = 0\)) | \(Q_{\text{ук}} = A_{\text{ук}}\) | Укупан рад је једнак површини унутар затворене контуре на \(pV\) дијаграму. |
\[ \text{Топлотни капацитет: } C = \frac{Q}{\Delta T} \quad \left[\frac{\text{J}}{\text{K}}\right] \]
\[ \text{Специфични топлотни капацитет: } c = \frac{Q}{m\Delta T} \quad \left[\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\right] \]
\[ \text{Моларни топлотни капацитет: } C_{\mu} = \frac{Q}{n\Delta T} \quad \left[\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\right] \]
Веза капацитета: \(C = mc = n C_{\mu}\), односно \(C_{\mu} = c M\) (\(M\) – моларна маса).
Број степени слободе (\(i\)) представља број независних начина кретања молекула:
- Једноатомски молекули: \(i = 3\) (3 транслације).
- Двоатомски молекули: \(i = 5\) (3 транслације + 2 ротације).
Моларни капацитети идеалног гаса:
\[ C_{\mu V} = \frac{i}{2}R \qquad C_{\mu p} = C_{\mu V} + R = \frac{i+2}{2}R \]
\[ \text{Једноатомски: } C_{\mu V} = \frac{3}{2}R, \; C_{\mu p} = \frac{5}{2}R \qquad \text{Двоатомски: } C_{\mu V} = \frac{5}{2}R, \; C_{\mu p} = \frac{7}{2}R \]
\[ \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T \]
Адијабатски процес је процес у коме систем не размењује топлоту са околином (\(Q = 0\)). Одвија се у топлотно изолованим судовима или при веома брзим променама запремине.
\[ Q = 0 \implies A = -\Delta U \]
\[ p V^{\gamma} = \text{const.} \quad (\text{Пуасонова једначина}) \]
\(\gamma = \frac{C_{\mu p}}{C_{\mu V}} > 1\) је Пуасонов коефицијент (\(\gamma \approx 1{,}67\) за једноатомске; \(\gamma = 1{,}40\) за двоатомске гасове).
- Адијабатска компресија: околина врши рад над гасом (\(A < 0\)), унутрашња енергија расте (\(\Delta U > 0\)), температура гаса расте (\(T_2 > T_1\)).
- Адијабатска експанзија: гас врши рад над околином (\(A > 0\)), унутрашња енергија опада (\(\Delta U < 0\)), гас се хлади (\(T_2 < T_1\)).
Реални гасови: за разлику од идеалног гаса, честице реалног гаса имају сопствену запремину и између њих делују међумолекулске силе. При стандардним условима (собна температура, атмосферски притисак) реални гасови се понашају приближно као идеални.
Повратни (реверзибилни) процеси пролазе кроз низ термодинамички равнотежних међустања и могу се одвијати у супротном смеру без икаквих промена у околини. Сви спонтани реални процеси у природи су неповратни (иреверзибилни).
Други принцип термодинамике:
- Топлота не може спонтано (сама од себе) прелазити са тела ниже на тело више температуре.
- Немогуће је направити perpetuum mobile друге врсте (машину која би периодично радила претварајући целокупну примљену топлоту у рад без хладњака).
Ентропија (\( S \)) је мера неуређености (хаоса) и термодинамичке вероватноће стања система. Њена јединица је \([\Delta S] = \text{J/K}\).
У изолованом систему, за неповратне процесе ентропија увек расте, док за повратне процесе остаје константна:
\[ \Delta S \ge 0 \]
Када изоловани систем достигне термодинамичку равнотежу, ентропија има максималну вредност (\(\Delta S = 0\)).
Трећи принцип термодинамике (Нернстова теорема): Када температура тежи апсолутној нули (\(T \to 0\text{ K}\)), ентропија и промена ентропије свих система теже нули (\(S \to 0, \Delta S \to 0\)). Због тога је апсолутну нулу немогуће практично достићи у коначном броју корака.
Топлотна машина претвара део топлоте у користан механички рад. Састоји се од:
- Грејача температуре \(T_G\) (предаје топлоту \(|Q_1|\)),
- Радног тела (гас који врши рад \(A\)),
- Хладњака температуре \(T_X\) (прима неискоришћену топлоту \(|Q_2|\)).
\[ \text{Користан рад (идеална машина): } A = |Q_1| - |Q_2| \]
\[ \text{Коефицијент корисног дејства (ККД): } \eta = \frac{A}{|Q_1|} = \frac{|Q_1| - |Q_2|}{|Q_1|} = 1 - \frac{|Q_2|}{|Q_1|} \]
За сваку реалну или идеалну топлотну машину: \(0 < \eta < 1\) (\(0\% < \eta < 100\%\)). За реалне машине: \(A = |Q_1| - |Q_2| - E^*\), где је \(E^*\) губитак услед трења и топлотних губитака.
Карноов циклус: теоријски најефикаснији циклус између две температуре сачињен од четири повратна процеса:
- Изотермско ширење (примање топлоте \(Q_1\) на \(T_G\))
- Адијабатско ширење (хлађење са \(T_G\) на \(T_X\), \(Q = 0\))
- Изотермско сабијање (предаја топлоте \(Q_2\) хладњаку на \(T_X\))
- Адијабатско сабијање (загревање са \(T_X\) на \(T_G\), \(Q = 0\))
\[ \eta_C = \frac{T_G - T_X}{T_G} = 1 - \frac{T_X}{T_G} \]
Карноова теорема: Ниједна реална топлотна машина која ради између топлотних резервоара температура \(T_G\) и \(T_X\) не може имати већи коефицијент корисног дејства од Карноове топлотне машине: \(\eta \le \eta_C\).
Машине за хлађење и топлотне пумпе: раде по обрнутом циклусу – уз улагање спољашњег рада (\(A\)) топлота се одузима од хладнијег тела (\(Q_2\)) и заједно са уложеним радом предаје топлијем телу (\(|Q_1| = |Q_2| + |A|\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Једноатомски идеалан гас количине \(n = 3\text{ mol}\) загреје се тако да му се температура повећа за \(\Delta T = 40\text{ K}\). Израчунати промену унутрашње енергије гаса (\(R \approx 8{,}31\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\)).
Унутрашња енергија једноатомског идеалног гаса рачуна се по формули:
\[ \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T \]
Заменом бројних вредности:
\[ \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 3\text{ mol} \cdot 8{,}31\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 40\text{ K} = 1{,}5 \cdot 3 \cdot 8{,}31 \cdot 40 = 1\,495{,}8\text{ J} \]
Одговор: Промена унутрашње енергије износи \(1\,495{,}8\text{ J}\).
Задатак 2 (Средњи): Идеалном гасу у цилиндру са покретним клипом доведено је \(850\text{ J}\) топлоте. При томе се гас изобарски раширио од почетне запремине \(V_1 = 2\cdot 10^{-3}\text{ m}^3\) до крајње запремине \(V_2 = 5\cdot 10^{-3}\text{ m}^3\) под сталним притиском \(p = 10^5\text{ Pa}\). Колики је рад извршио гас и колика је промена његове унутрашње енергије?
1. Рад при изобарском ширењу:
\[ A = p \Delta V = p (V_2 - V_1) \]
\[ A = 10^5\text{ Pa} \cdot (5\cdot 10^{-3}\text{ m}^3 - 2\cdot 10^{-3}\text{ m}^3) = 10^5 \cdot 3\cdot 10^{-3}\text{ J} = 300\text{ J} \]
2. Према Првом принципу термодинамике:
\[ Q = \Delta U + A \implies \Delta U = Q - A \]
\[ \Delta U = 850\text{ J} - 300\text{ J} = 550\text{ J} \]
Одговор: Гас је извршио рад од \(300\text{ J}\), а његова унутрашња енергија се повећала за \(550\text{ J}\).
Задатак 3 (Тежак): Идеална Карноова топлотна машина ради између температуре грејача \(t_G = 227^\circ\text{C}\) и температуре хладњака \(t_X = 27^\circ\text{C}\). У сваком циклусу машина прими од грејача количину топлоте \(Q_1 = 4\,000\text{ J}\). Израчунати:
а) Коефицијент корисног дејства Карноове машине;
б) Механички рад извршен у једном циклусу;
в) Количину топлоте предати хладњаку.
а) Коефицијент корисног дејства Карноове машине;
б) Механички рад извршен у једном циклусу;
в) Количину топлоте предати хладњаку.
Прво претварамо температуре у келвине:
\[ T_G = 227 + 273 = 500\text{ K} \]
\[ T_X = 27 + 273 = 300\text{ K} \]
а) Коефицијент корисног дејства:
\[ \eta_C = 1 - \frac{T_X}{T_G} = 1 - \frac{300\text{ K}}{500\text{ K}} = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 \quad (40\%) \]
б) Добијени механички рад:
\[ \eta = \frac{A}{Q_1} \implies A = \eta \cdot Q_1 = 0{,}4 \cdot 4\,000\text{ J} = 1\,600\text{ J} \]
в) Количина топлоте предата хладњаку:
\[ A = Q_1 - Q_2 \implies Q_2 = Q_1 - A = 4\,000\text{ J} - 1\,600\text{ J} = 2\,400\text{ J} \]
Одговор: ККД је \(40\%\), рад по циклусу износи \(1\,600\text{ J}\), а топлота предата хладњаку је \(2\,400\text{ J}\).
