Најважније из лекције
Бернулијева једначина: \( p + \rho gh + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const.} \) изражава закон одржања механичке енергије за идеални, нестишљиви флуид.
Укупан притисак: Збир статичког (\( p \)), висинског (\( \rho gh \)) и динамичког (\( \frac{\rho v^2}{2} \)) притиска је сталан дуж исте струјне линије.
Струјне линије и брзина: Гушће струјне линије означавају већу брзину струјања флуида.
Хоризонтално струјање: На истој висини, повећањем брзине струјања (\( v \uparrow \)) опада статички притисак (\( p \downarrow \)).
Укупан притисак: Збир статичког (\( p \)), висинског (\( \rho gh \)) и динамичког (\( \frac{\rho v^2}{2} \)) притиска је сталан дуж исте струјне линије.
Струјне линије и брзина: Гушће струјне линије означавају већу брзину струјања флуида.
Хоризонтално струјање: На истој висини, повећањем брзине струјања (\( v \uparrow \)) опада статички притисак (\( p \downarrow \)).
Код стационарног струјања нестишљивог флуида кроз струјну цев, запремински проток је константан (\( q_v = S \cdot v = \text{const.} \)). На местима где се попречни пресек цеви сужава, брзина струјања флуида расте.
Густина струјних линија: Број струјних линија по јединици површине попречног пресека директно је сразмеран брзини флуида. Већа брзина флуида графички се представља гушћим струјним линијама.
Када се прстом делимично затвори отвор славине или баштенског црева, попречни пресек млаза се смањује, па вода излази знатно већом брзином.
Бернулијева једначина представља закон одржања механичке енергије примењен на идеални, нестишљиви флуид при стационарном и невртложном струјању. Збир свих облика притисака дуж исте струјне линије је сталан.
\[ p + \rho gh + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const.} \]
Односно, за било које две тачке 1 и 2 дуж исте струјне линије:
\[ p_1 + \rho gh_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \rho gh_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Чланови Бернулијеве једначине:
- \( p \) - статички притисак (унутрашњи притисак флуида који делује на зидове цеви и суседне слојеве),
- \( \rho gh \) - хидростатички (висински) притисак (потиче од тежине флуида на висини \( h \)),
- \( \frac{\rho v^2}{2} \) - динамички притисак (притисак условљен кретањем флуида брзином \( v \)).
Сва три сабирка имају димензију притиска и мере се у паскалима (\(\text{Pa}\)).
Када флуид протиче кроз хоризонталну цев (\( h_1 = h_2 \)), хидростатички притисци се потиру, па Бернулијева једначина добија облик:
\[ p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
За тачке на истој висини, статички притисак је мањи на оним местима где је брзина струјања већа (где су струјне линије гушће), и обрнуто.
Ако дувамо ваздух између два паралелна листа папира, повећава се брзина струјања ваздуха у међупростору. Због тога статички притисак између листова опада у односу на спољашњи атмосферски притисак, па се папири међусобно приближавају.
Зашто мехури ваздуха у течности која струји кроз сужени део хоризонталне цеви повећавају своју запремину?
У суженом делу цеви брзина струјања течности је већа, па је статички притисак мањи. Због смањеног спољашњег притиска који течност врши на мехуре, ваздух у њима се шири и запремина мехура расте.
Теорема о раду и енергији: У одсуству сила унутрашњег трења, рад спољашњих сила притиска \( A \) једнак је збиру промена кинетичке и потенцијалне енергије посматране масе флуида:
\[ A = \Delta E_k + \Delta E_p = (E_{k2} - E_{k1}) + (E_{p2} - E_{p1}) \]
Рад сила притиска: Рад на крајевима посматраног сегмента за време \( \Delta t \) износи:
\[ A = F_1 \Delta x_1 - F_2 \Delta x_2 = p_1 S_1 \Delta x_1 - p_2 S_2 \Delta x_2 = p_1 \Delta V - p_2 \Delta V \]
јер је због нестишљивости флуида \( \Delta V_1 = \Delta V_2 = \Delta V \).
Промена енергије: За масу флуида \( \Delta m = \rho \Delta V \):
\[ \Delta E_k = \frac{\rho \Delta V v_2^2}{2} - \frac{\rho \Delta V v_1^2}{2}, \quad \Delta E_p = \rho \Delta V gh_2 - \rho \Delta V gh_1 \]
Изједначавање и сређивање:
\[ (p_1 - p_2)\Delta V = \frac{\rho \Delta V v_2^2}{2} - \frac{\rho \Delta V v_1^2}{2} + \rho \Delta V gh_2 - \rho \Delta V gh_1 \]
Дељењем целе једначине запремином \( \Delta V \) и пребацивањем чланова са индексом 1 на леву, а са индексом 2 на десну страну, добија се:
\[ p_1 + \rho gh_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \rho gh_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Који се облици притиска појављују у Бернулијевој једначини и како се назива притисак одређен изразом \( \frac{\rho v^2}{2} \)?
У Бернулијевој једначини појављују се:
- Статички притисак \( p \),
- Хидростатички (висински) притисак \( \rho gh \),
- Динамички притисак \( \frac{\rho v^2}{2} \).
Средњи ниво: Кроз хоризонталну цев протиче вода густине \( \rho = 1000\text{ kg/m}^3 \). У ширем делу цеви брзина струјања воде је \( v_1 = 2\text{ m/s} \), а статички притисак \( p_1 = 180\text{ kPa} \). Израчунајте статички притисак \( p_2 \) у ужем делу цеви где је брзина струјања \( v_2 = 6\text{ m/s} \).
Пошто је цев хоризонтална (\( h_1 = h_2 \)), примењујемо Бернулијеву једначину:
\[ p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Одавде изражавамо статички притисак \( p_2 \):
\[ p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) \]
Уврштавањем бројних вредности:
\[ p_2 = 180\,000\text{ Pa} + \frac{1000\text{ kg/m}^3}{2} \cdot \left((2\text{ m/s})^2 - (6\text{ m/s})^2\right) \]
\[ p_2 = 180\,000 + 500 \cdot (4 - 36) = 180\,000 - 16\,000 = 164\,000\text{ Pa} = 164\text{ kPa} \]
Одговор: Статички притисак у ужем делу цеви износи \( 164\text{ kPa} \).
Тешки ниво: Кроз хоризонталну цев протиче идеални флуид густине \( \rho = 800\text{ kg/m}^3 \). Површина попречног пресека цеви се сужава тако да је \( S_1 = 3 S_2 \). Ако је брзина флуида у ширем делу \( v_1 = 2\text{ m/s} \), одредите разлику статичких притисака \( \Delta p = p_1 - p_2 \) између ширег и ужег дела цеви.
1. Из једначине континуитета одређујемо брзину флуида у ужем делу:
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies v_2 = \frac{S_1}{S_2} v_1 = \frac{3 S_2}{S_2} \cdot 2\text{ m/s} = 6\text{ m/s} \]
2. Из Бернулијеве једначине за хоризонталну цев израчунавамо разлику притисака:
\[ p_1 - p_2 = \frac{\rho v_2^2}{2} - \frac{\rho v_1^2}{2} = \frac{\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2) \]
\[ \Delta p = \frac{800\text{ kg/m}^3}{2} \cdot \left((6\text{ m/s})^2 - (2\text{ m/s})^2\right) = 400 \cdot (36 - 4) = 400 \cdot 32 = 12\,800\text{ Pa} = 12{,}8\text{ kPa} \]
Одговор: Разлика статичких притисака износи \( 12{,}8\text{ kPa} \).
