Најважније из лекције
Притисак и брзина/енергија: \( p = \frac{1}{3} n_0 m_0 \overline{v^2} = \frac{2}{3} n_0 \overline{E_k} \).
Микроскопски смисао температуре: Температура је мера средње кинетичке енергије транслаторног кретања молекула: \( \overline{E_k} = \frac{3}{2} k T \).
Апсолутна нула (\( 0 \text{ K} \)): Најнижа могућа температура у природи где топлотно кретање молекула престаје (\( \overline{E_k} = 0 \)). Промена температуре једнака је у обе скале: \( \Delta T = \Delta t \).
Једначина стања идеалног гаса: \( pV = NkT \) односно \( pV = nRT \), где је \( R = N_A k \approx 8{,}314 \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \).
Микроскопски смисао температуре: Температура је мера средње кинетичке енергије транслаторног кретања молекула: \( \overline{E_k} = \frac{3}{2} k T \).
Апсолутна нула (\( 0 \text{ K} \)): Најнижа могућа температура у природи где топлотно кретање молекула престаје (\( \overline{E_k} = 0 \)). Промена температуре једнака је у обе скале: \( \Delta T = \Delta t \).
Једначина стања идеалног гаса: \( pV = NkT \) односно \( pV = nRT \), где је \( R = N_A k \approx 8{,}314 \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \).
Притисак идеалног гаса на зидове суда последица је непрекидних удара молекула гаса о зидове.
\[ p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \overline{v^2} = \frac{1}{3} n_0 m_0 \overline{v^2} \]
\( p \) – притисак гаса, \( N \) – укупан број молекула, \( V \) – запремина суда, \( n_0 = \frac{N}{V} \) – концентрација молекула, \( m_0 \) – маса једног молекула, \( \overline{v^2} \) – средња вредност квадрата брзине молекула.
Средња кинетичка енергија транслаторног кретања једног молекула је:
\[ \overline{E_k} = \frac{m_0 \overline{v^2}}{2} \]
\[ p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \overline{E_k} = \frac{2}{3} n_0 \overline{E_k} \]
Притисак идеалног гаса директно је сразмеран концентрацији молекула и њиховој средњој кинетичкој енергији транслаторног кретања.
Ако се концентрација молекула гаса у суду удвостручи, а средња кинетичка енергија остане непромењена, притисак гаса ће се такође удвостручити.
Колики је притисак гаса ако је концентрација његових молекула \( n_0 = 3 \cdot 10^{25} \text{ m}^{-3} \), а средња кинетичка енергија транслаторног кретања једног молекула \( \overline{E_k} = 5 \cdot 10^{-21} \text{ J} \)?
Користимо формулу:
\[ p = \frac{2}{3} n_0 \overline{E_k} \]
\[ p = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot 10^{25} \text{ m}^{-3} \cdot 5 \cdot 10^{-21} \text{ J} = 2 \cdot 5 \cdot 10^4 \text{ Pa} = 10^5 \text{ Pa} = 100 \text{ kPa} \]
Температура је физичка величина која одређује степен загрејаности тела.
Инструмент за мерење температуре назива се термометар. Заснива се на промени неке мерљиве физичке особине (запремина течности, електрична отпорност, притисак гаса итд.) са температуром.
Целзијусова скала: Као упоредно тело користи се вода при нормалном атмосферском притиску:
- \( 0^\circ\text{C} \) – температура мржњења воде
- \( 100^\circ\text{C} \) – температура кључања воде
Промена температуре: Промена температуре има једнаку бројну вредност у Целзијусовој и у Келвиновој скали:
\[ \Delta T = \Delta t \]
Физички смисао температуре: Апсолутна температура је директно пропорционална средњој кинетичкој енергији транслаторног кретања молекула:
\[ T = \frac{2}{3k} \overline{E_k} \implies \overline{E_k} = \frac{3}{2} k T \]
\( k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \text{ J/K} \) – Болцманова константа, \( T \) – апсолутна температура изражена у келвинима (\(\text{K}\)).
Апсолутна нула (\( T = 0 \text{ K} \)): Најнижа могућа теоријска температура у природи, на којој престаје транслаторно топлотно кретање свих молекула (\( \overline{E_k} = 0 \)).
Пошто средња кинетичка енергија \( \overline{E_k} \) не може бити мања од нуле, апсолутна температура такође не може бити негативна (\( T \ge 0 \text{ K} \)).
Ако се апсолутна температура гаса повећа са \( 300 \text{ K} \) на \( 600 \text{ K} \), колико пута се повећа средња кинетичка енергија транслаторног кретања његових молекула?
Пошто је \( \overline{E_k} = \frac{3}{2} k T \), средња кинетичка енергија је директно сразмерна апсолутној температури:
\[ \frac{\overline{E_{k2}}}{\overline{E_{k1}}} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{600 \text{ K}}{300 \text{ K}} = 2 \]
Средња кинетичка енергија транслаторног кретања молекула се повећа 2 пута.
Једначина стања повезује макроскопске параметре гаса: притисак (\( p \)), запремину (\( V \)) и апсолутну температуру (\( T \)).
\[ pV = NkT \]
\( p \) – притисак, \( V \) – запремина, \( N \) – укупан број молекула, \( k \) – Болцманова константа, \( T \) – апсолутна температура.
Ако број молекула изразимо преко количине супстанце \( n = \frac{N}{N_A} \), добијамо:
\[ pV = n N_A k T = n R T \]
\[ R = N_A k \approx 8{,}314 \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \]
\( R \) – универзална гасна константа, \( N_A \) – Авогадров број.
У суду запремине \( V = 0{,}05 \text{ m}^3 \) налази се \( n = 2 \text{ mol} \) идеалног гаса на температури \( T = 300 \text{ K} \). Колики је притисак гаса? (\( R = 8{,}314 \text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K}) \))
Из једначине стања \( pV = nRT \) израчунавамо притисак:
\[ p = \frac{n R T}{V} \]
\[ p = \frac{2 \text{ mol} \cdot 8{,}314 \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 300 \text{ K}}{0{,}05 \text{ m}^3} = \frac{4988{,}4}{0{,}05} \text{ Pa} \approx 99768 \text{ Pa} \approx 99{,}8 \text{ kPa} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Температура у соби порасте са \( 20^\circ\text{C} \) на \( 25^\circ\text{C} \). Колика је та промена температуре изражена у келвинима (\(\Delta T\))?
Промена температуре у Целзијусовој скали износи:
\[ \Delta t = 25^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 5^\circ\text{C} \]
Пошто важи \( \Delta T = \Delta t \), промена температуре у келвинима износи:
\[ \Delta T = 5 \text{ K} \]
Задатак 2 (средњи): Идеални гас се налази под притиском \( p = 2 \cdot 10^5 \text{ Pa} \) при концентрацији молекула \( n_0 = 4 \cdot 10^{25} \text{ m}^{-3} \). Колика је средња кинетичка енергија транслаторног кретања једног молекула тог гаса?
Полазимо од основне једначине молекулско-кинетичке теорије:
\[ p = \frac{2}{3} n_0 \overline{E_k} \]
Одакле је:
\[ \overline{E_k} = \frac{3p}{2n_0} \]
Заменом бројних вредности:
\[ \overline{E_k} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 10^5 \text{ Pa}}{2 \cdot 4 \cdot 10^{25} \text{ m}^{-3}} = \frac{6 \cdot 10^5}{8 \cdot 10^{25}} = 0{,}75 \cdot 10^{-20} \text{ J} = 7{,}5 \cdot 10^{-21} \text{ J} \]
Задатак 3 (тежи): У балону запремине \( V = 10 \text{ l} \) (\( 10^{-2} \text{ m}^3 \)) налази се \( N = 6 \cdot 10^{23} \) молекула гаса на температури \( T = 400 \text{ K} \). Одредити притисак гаса користећи Болцманову константу (\( k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \text{ J/K} \)).
Користимо једначину стања идеалног гаса \( pV = NkT \):
\[ p = \frac{N k T}{V} \]
Заменом вредности:
\[ p = \frac{6 \cdot 10^{23} \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \text{ J/K} \cdot 400 \text{ K}}{10^{-2} \text{ m}^3} \]
\[ p = \frac{6 \cdot 1{,}38 \cdot 400}{10^{-2}} = \frac{3312}{10^{-2}} \text{ Pa} = 331200 \text{ Pa} = 331{,}2 \text{ kPa} \]
