Најважније из лекције
- Хидростатички притисак: Зависи од дубине и густине (\(p = p_a + \rho g h\)), независно од облика суда.
- Паскалов закон: Спољашњи притисак се подједнако преноси кроз затворен флуид (\(\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}\)).
- Архимедов закон: Сила потиска једнака је тежини истиснутог флуида (\(F_{\text{pot}} = \rho V_{\text{pot}} g\)).
- Једначина континуитета: За нестишљив флуид проток је константан (\(S_1 v_1 = S_2 v_2\)). Мањи пресек \(\implies\) већа брзина струјања.
- Бернулијева једначина: \(p + \rho g h + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const.}\) (већа брзина \(\implies\) мањи статички притисак). Омогућава рад крила авиона, распршивача, Вентуријеве цеви и описује истицање течности (Торичели: \(v = \sqrt{2gh}\)).
Густина флуида (\(\rho\)) представља однос масе и запремине флуида. За малу запремину око посматране тачке дефинише се као:
\[ \rho = \frac{\Delta m}{\Delta V} \]
Мерна јединица за густину је килограм по метру кубном \([\text{kg}/\text{m}^3]\).
Стишљивост: Способност флуида да мења запремину и густину под дејством спољашњих сила. Гасови су стишљиви (\(\rho \neq \text{const.}\)), док су течности приближно нестишљиве (\(\rho \approx \text{const.}\)).
Притисак (\(p\)) једнак је односу нормалне силе и површине на коју та сила делује:
\[ p = \frac{F}{S} \implies F = pS \]
Мерна јединица за притисак је паскал \([\text{Pa}] = [\text{N}/\text{m}^2]\). Сила притиска \(F\) увек делује у правцу нормале на површину.
Колика сила притиска делује на дно акваријума површине \(0,2\text{ m}^2\) ако притисак воде на дну износи \(2\,500\text{ Pa}\)?
\(F = p \cdot S = 2\,500\text{ Pa} \cdot 0,2\text{ m}^2 = 500\text{ N}\).
Атмосферски притисак (\(p_a\)) настаје услед тежине ваздушног стуба од тла до горње границе атмосфере. На нивоу мора у нормалним условима износи \(p_a \approx 101,33\text{ kPa}\), а са порастом надморске висине опада.
У свим тачкама хомогеног флуида у мировању, које се налазе на истој хоризонталној равни, делује исти притисак. Притисак у свакој тачки делује једнако у свим правцима.
\[ \Delta p = \rho g h \]
\[ p = p_a + \rho g h \]
\(\rho g h\) је хидростатички притисак стуба течности висине \(h\), а \(p\) је укупни притисак на тој дубини.
Притисак течности на дну суда зависи искључиво од густине течности и дубине (висине стуба течности), а не од облика суда нити од укупне количине течности у њему.
Разлика хидростатичког притиска крви између мозга и стопала човека висине \(1,8\text{ m}\) (густина крви \(\rho = 1\,060\text{ kg}/\text{m}^3\), \(g \approx 10\text{ m}/\text{s}^2\)):
\[ \Delta p = \rho g h = 1\,060 \cdot 10 \cdot 1,8 = 19\,080\text{ Pa} \approx 19,1\text{ kPa} \]
Паскалов закон: Спољашњи притисак који делује на затворени нестишљиви флуид преноси се подједнако у свим правцима кроз читав флуид:
\[ \Delta p = \text{const.} \]
\[ \Delta p = \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \implies F_2 = F_1 \frac{S_2}{S_1} \]
Код хидрауличне пресе, дејством мале силе \(F_1\) на мањи клип површине \(S_1\) добија се сразмерно већа сила \(F_2\) на већем клипу површине \(S_2\).
На мањи клип хидрауличне дизалице површине \(15\text{ cm}^2\) делује се силом од \(20\text{ N}\). Колики терет може да држи већи клип површине \(1,5\text{ m}^2\)?
Површине изразимо у истим јединицама: \(S_1 = 15 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2\), \(S_2 = 1,5\text{ m}^2\).
Сила на већем клипу: \[ F_2 = F_1 \frac{S_2}{S_1} = 20\text{ N} \cdot \frac{1,5}{15 \cdot 10^{-4}} = 20\,000\text{ N} \] Пошто је \(F_2 = mg\), маса терета је \(m = \frac{20\,000\text{ N}}{10\text{ m}/\text{s}^2} = 2\,000\text{ kg} = 2\text{ t}\).
Сила на већем клипу: \[ F_2 = F_1 \frac{S_2}{S_1} = 20\text{ N} \cdot \frac{1,5}{15 \cdot 10^{-4}} = 20\,000\text{ N} \] Пошто је \(F_2 = mg\), маса терета је \(m = \frac{20\,000\text{ N}}{10\text{ m}/\text{s}^2} = 2\,000\text{ kg} = 2\text{ t}\).
Сила потиска (\(F_{\text{pot}}\)) је вертикална сила усмерена навише која делује на тело потопљено у флуид, а настаје као резултанта сила хидростатичког притиска на доњу и горњу површину тела.
\[ F_{\text{pot}} = \rho_{\text{f}} V_{\text{pot}} g \]
\(\rho_{\text{f}}\) је густина флуида, а \(V_{\text{pot}}\) запремина потопљеног дела тела. Сила потиска једнака је тежини флуида истиснутог телом.
Архимедов закон: Сваком телу уроњеном у флуид тежина се привидно смањује за онолико колико износи тежина телом истиснутог флуида.
Услови пливања тела:
- \(m_{\text{tela}} g > F_{\text{pot}}\) (односно \(\rho_{\text{tela}} > \rho_{\text{f}}\)) \(\implies\) тело тоне.
- \(m_{\text{tela}} g = F_{\text{pot}}\) (односно \(\rho_{\text{tela}} = \rho_{\text{f}}\)) \(\implies\) тело лебди унутар флуида.
- \(m_{\text{tela}} g < F_{\text{pot}}\) (односно \(\rho_{\text{tela}} < \rho_{\text{f}}\)) \(\implies\) тело плива (израња све док тежина истиснуте течности не постане једнака укупној тежини тела).
Чамац масе \(1\,500\text{ kg}\) плива на води (\(\rho = 1\,000\text{ kg}/\text{m}^3\)). Запремина истиснуте воде је:
\[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{1\,500\text{ kg}}{1\,000\text{ kg}/\text{m}^3} = 1,5\text{ m}^3 \]
Идеални флуид: Флуид који је потпуно нестишљив (\(\rho = \text{const.}\)) и код кога нема сила унутрашњег трења (невискозан флуид).
Стационарно струјање: Струјање код кога се брзина флуида у било којој тачки простора не мења током времена. Струјне линије се поклапају са путањама делића (линијама тока) и не секу се.
Проток флуида:
Запремински проток: \( q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t} = S v \quad \left[\frac{\text{m}^3}{\text{s}}\right] \)
Масени проток: \( q_m = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v \quad \left[\frac{\text{kg}}{\text{s}}\right] \)
Запремински проток: \( q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t} = S v \quad \left[\frac{\text{m}^3}{\text{s}}\right] \)
Масени проток: \( q_m = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v \quad \left[\frac{\text{kg}}{\text{s}}\right] \)
Једначина континуитета: При стационарном струјању масени проток кроз сваки попречни пресек струјне цеви је константан:
\[ \rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2 = \text{const.} \]
За нестишљиве флуиде (\(\rho = \text{const.}\)):
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 = q_V = \text{const.} \]
На местима где је цев ужа (мањи попречни пресек \(S\)), брзина струјања \(v\) је већа, а струјне линије су гушће распоређене.
Бернулијева једначина представља закон одржања механичке енергије за стационарно струјање идеалног нестишљивог флуида:
\[ p + \rho g h + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const.} \]
За било које две тачке на истој струјној линији:
\[ p_1 + \rho g h_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \rho g h_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Чланови Бернулијеве једначине:
- \(p\) - статички притисак (притисак флуида на зидове струјне цеви),
- \(\rho g h\) - хидростатички (висински) притисак,
- \(\frac{\rho v^2}{2}\) - динамички притисак (повезан са кинетичком енергијом струјања).
За хоризонталну цев (\(h_1 = h_2\)), на местима где је брзина струјања флуида већа, статички притисак је мањи:
\[ v_2 > v_1 \implies p_2 < p_1 \]
Брзина истицања течности кроз мали отвор на боку широког отвореног суда, који се налази на дубини \(h\) испод слободне површине течности, износи:
\[ v = \sqrt{2gh} \]
Брзина је једнака брзини коју би тело имало при слободном паду са висине \(h\).
Вентуријева цев служи за мерење протока флуида преко разлике притисака између ширег и ужег дела цеви: \(q_V = C \sqrt{\frac{h}{\rho}}\).
Код водене пумпе и распршивача, велика брзина струјања у сужењу ствара подпритисак (усисавање ваздуха или течности).
Код водене пумпе и распршивача, велика брзина струјања у сужењу ствара подпритисак (усисавање ваздуха или течности).
Максимална снага коју ваздух брзине \(v\) који пролази кроз површину \(S\) може да преда јесте:
\[ P_{\text{max}} = \frac{\rho S v^3}{2} \implies P_{\text{vetrenjače}} = \eta \frac{\rho S v^3}{2} \]
Снага ветрењаче сразмерна је трећем степену брзине ветра (\(v^3\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Кроз хоризонталну цев попречног пресека \(20\text{ cm}^2\) протиче вода брзином \(1,5\text{ m/s}\). Колики је запремински проток воде и колика је брзина воде на сужењу цеви где је пресек \(5\text{ cm}^2\)?
Површине пресека: \(S_1 = 20\text{ cm}^2 = 20 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2\), \(S_2 = 5\text{ cm}^2 = 5 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2\).
Запремински проток је: \[ q_V = S_1 v_1 = 20 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2 \cdot 1,5\text{ m/s} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{s} = 3\text{ dm}^3/\text{s} \] Према једначини континуитета \(S_1 v_1 = S_2 v_2\): \[ v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2} = 1,5\text{ m/s} \cdot \frac{20\text{ cm}^2}{5\text{ cm}^2} = 6\text{ m/s} \]
Запремински проток је: \[ q_V = S_1 v_1 = 20 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2 \cdot 1,5\text{ m/s} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{s} = 3\text{ dm}^3/\text{s} \] Према једначини континуитета \(S_1 v_1 = S_2 v_2\): \[ v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2} = 1,5\text{ m/s} \cdot \frac{20\text{ cm}^2}{5\text{ cm}^2} = 6\text{ m/s} \]
Задатак 2 (Средњи ниво): На дну великог отвореног резервоара са водом налази се отвор површине \(4\text{ cm}^2\). Ниво воде у резервоару је \(5\text{ m}\) изнад отвора. Коликом брзином вода истиче и колики је запремински проток кроз отвор? (Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\)).
Према Торичелијевој теореми, брзина истицања воде износи:
\[ v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 5\text{ m}} = \sqrt{100} = 10\text{ m/s} \]
Запремински проток воде кроз отвор површине \(S = 4\text{ cm}^2 = 4 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2\) је:
\[ q_V = S \cdot v = 4 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2 \cdot 10\text{ m/s} = 4 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3/\text{s} = 4\text{ dm}^3/\text{s} \]
Задатак 3 (Средњи ниво): Дрвена коцка ивице \(a = 10\text{ cm}\) и густине \(\rho_{\text{d}} = 700\text{ kg/m}^3\) плива у води густине \(\rho = 1\,000\text{ kg/m}^3\). Колика је дубина потопљеног дела коцке?
Тело плива у равнотежи када је сила Земљине теже једнака сили потиска:
\[ m g = F_{\text{pot}} \implies \rho_{\text{d}} V_{\text{ukupno}} g = \rho V_{\text{pot}} g \]
\[ \rho_{\text{d}} (S \cdot a) = \rho (S \cdot h_{\text{pot}}) \]
где је \(S = a^2\) површина основе коцке, а \(h_{\text{pot}}\) дубина потопљеног дела:
\[ h_{\text{pot}} = a \cdot \frac{\rho_{\text{d}}}{\rho} = 10\text{ cm} \cdot \frac{700\text{ kg/m}^3}{1\,000\text{ kg/m}^3} = 7\text{ cm} \]
Задатак 4 (Тежи ниво): Кроз хоризонталну цев протиче вода густине \(1\,000\text{ kg/m}^3\). У ширем делу цеви брзина струјања је \(v_1 = 2\text{ m/s}\), а статички притисак \(p_1 = 180\text{ kPa}\). Колики је притисак \(p_2\) у ужем делу цеви ако је брзина у њему \(v_2 = 6\text{ m/s}\)?
Пошто је цев хоризонтална (\(h_1 = h_2\)), примењујемо Бернулијеву једначину у облику:
\[ p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Одавде изражавамо непознати статички притисак \(p_2\):
\[ p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) \]
Уврштавањем бројних вредности (\(p_1 = 180\,000\text{ Pa}\)):
\[ p_2 = 180\,000\text{ Pa} + \frac{1\,000\text{ kg/m}^3}{2}\left( (2\text{ m/s})^2 - (6\text{ m/s})^2 \right) \]
\[ p_2 = 180\,000 + 500 \cdot (4 - 36) = 180\,000 - 16\,000 = 164\,000\text{ Pa} = 164\text{ kPa} \]
