Најважније из лекције
Линеарно ширење: \(\Delta L = \alpha L \Delta T\) – користи се за шипке, жице и једнодимензионалне елементе. Јединица је \([\alpha] = \text{K}^{-1}\).
Запреминско ширење: \(\Delta V = \beta V \Delta T\) – важи за сва тела. За изотропна чврста тела важи \(\beta \approx 3\alpha\). Јединица је \([\beta] = \text{K}^{-1}\).
Практичне примене: дилатациони размаци на мостовима и шинама, биметалне траке у термостатима, капиларни термометри.
Аномалија воде: У опсегу од \(0\,^\circ\text{C}\) до \(4\,^\circ\text{C}\) вода се при загревању скупља, а максималну густину достиже тачно на \(4\,^\circ\text{C}\).
Запреминско ширење: \(\Delta V = \beta V \Delta T\) – важи за сва тела. За изотропна чврста тела важи \(\beta \approx 3\alpha\). Јединица је \([\beta] = \text{K}^{-1}\).
Практичне примене: дилатациони размаци на мостовима и шинама, биметалне траке у термостатима, капиларни термометри.
Аномалија воде: У опсегу од \(0\,^\circ\text{C}\) до \(4\,^\circ\text{C}\) вода се при загревању скупља, а максималну густину достиже тачно на \(4\,^\circ\text{C}\).
Топлотно ширење је појава повећања запремине и димензија тела приликом његовог загревања (пораста температуре).
Приликом хлађења (\(\Delta T < 0\)) долази до супротног процеса – тела се запремински скупљају.
Због топлотног ширења материјала, приликом пројектовања мостова, зграда, путева и железничких пруга обавезно се остављају дилатациони размаци (разделне спојнице) како би се спречиле деформације и оштећења.
Линеарно топлотно ширење описује промену једне димензије тела (дужине, дебљине, пречника) услед промене температуре. Примењује се на чврста тела чија је једна димензија знатно већа од осталих (штап, цев, жица, шина).
\[ \Delta L = \alpha L \Delta T \]
\[ L = L_0 (1 + \alpha \Delta T) \]
\(L\) – почетна дужина тела, \(\Delta L\) – промена дужине (издужење), \(\Delta T\) – промена температуре
\(\alpha\) – коефицијент линеарног топлотног ширења (карактеристичан за сваку супстанцу).
\([\alpha] = \frac{1}{\text{K}} = \text{K}^{-1}\) (или \(^\circ\text{C}^{-1}\)).
Све линеарне димензије тела шире се по истом закону, укључујући и пречнике рупа и шупљина у телу (отвор се шири исто као да је испуњен тим истим материјалом).
Запреминско топлотно ширење представља повећање запремине тела (чврстих тела, течности и гасова) при загревању. Течности и гасови се шире подједнако у свим правцима, попримајући облик суда у коме се налазе.
\[ \Delta V = \beta V \Delta T \]
\[ V = V_0 (1 + \beta t) \]
\(V_0\) – запремина на \(t = 0\,^\circ\text{C}\), \(V\) – запремина на температури \(t\), \(\Delta V\) – промена запремине
\(\beta\) – коефицијент запреминског топлотног ширења.
\([\beta] = \frac{1}{\text{K}} = \text{K}^{-1}\).
За чврста тела која се подједнако шире у свим правцима (изотропна тела) важи веза:
\[ \beta \approx 3\alpha \]
Биметална трака: састоји се од две спојене траке различитих метала са различитим коефицијентима линеарног ширења (\(\alpha\)). При промени температуре, метал који се више шири приморава траку да се савије. Користи се као прекидач код термостата (пегле, бојлери, грејалице).
Живин/алкохолни термометар: заснива се на чињеници да се течност (жива или алкохол) запремински шири знатно више од стаклене капиларе у којој се налази (\(\beta_{\text{жива}} \gg \beta_{\text{стакло}}\)).
Стоматологија: материјали за зумне пломбе морају имати приближно исти коефицијент ширења као зубно ткиво како не би испале или изазвале оштећење зуба при конзумирању топле и хладне хране.
Вода у температурном интервалу од \(0\,^\circ\text{C}\) до \(4\,^\circ\text{C}\) испољава одступање од уобичајеног понашања течности: при загревању се скупља, а при хлађењу се шири.
Густина воде достиже своју максималну вредност на температури од \(t = 4\,^\circ\text{C}\) (\(\rho \approx 1000\,\text{kg/m}^3\)). Изнад \(4\,^\circ\text{C}\) вода се шири са порастом температуре, а густина јој опада.
Због аномалије воде и мање густине леда, водени басени (реке, језера) зими замрзавају са површине ка дну, док на дну остаје вода температуре \(4\,^\circ\text{C}\), што омогућава опстанак воденог биљног и животињског света.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Челична шина дужине \(L = 25\,\text{m}\) загреје се током лета тако да јој температура порасте за \(\Delta T = 40\,\text{K}\). Колико износи издужење шине ако је коефицијент линеарног ширења челика \(\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5}\,\text{K}^{-1}\)?
Примењујемо формулу за линеарно топлотно ширење:
\[ \Delta L = \alpha L \Delta T \]
\[ \Delta L = 1,1 \cdot 10^{-5}\,\text{K}^{-1} \cdot 25\,\text{m} \cdot 40\,\text{K} \]
\[ \Delta L = 1,1 \cdot 10^{-5} \cdot 1000 = 1,1 \cdot 10^{-2}\,\text{m} = 11\,\text{mm} \]
Одговор: Шина се издужи за \(11\,\text{mm}\) (односно \(1,1\,\text{cm}\)).
Задатак 2 (средњи): Алуминијумска коцка запремине \(V = 200\,\text{cm}^3\) на \(20\,^\circ\text{C}\) загреје се на температуру од \(70\,^\circ\text{C}\). Колика ће бити промена запремине коцке ако је коефицијент линеарног ширења алуминијума \(\alpha = 2,4 \cdot 10^{-5}\,\text{K}^{-1}\)?
1. Промена температуре износи:
\[ \Delta T = 70\,^\circ\text{C} - 20\,^\circ\text{C} = 50\,\text{K} \]
2. Израчунавамо коефицијент запреминског ширења за чврсто тело:
\[ \beta \approx 3\alpha = 3 \cdot 2,4 \cdot 10^{-5}\,\text{K}^{-1} = 7,2 \cdot 10^{-5}\,\text{K}^{-1} \]
3. Промена запремине је:
\[ \Delta V = \beta V \Delta T = 7,2 \cdot 10^{-5}\,\text{K}^{-1} \cdot 200\,\text{cm}^3 \cdot 50\,\text{K} \]
\[ \Delta V = 7,2 \cdot 10^{-5} \cdot 10\,000 = 0,72\,\text{cm}^3 \]
Одговор: Запремина коцке се повећа за \(0,72\,\text{cm}^3\).
Задатак 3 (тежак): Биметална трака састоји се од бакра (\(\alpha_1 = 1,7 \cdot 10^{-5}\,\text{K}^{-1}\)) и гвожђа (\(\alpha_2 = 1,2 \cdot 10^{-5}\,\text{K}^{-1}\)).
а) Како се трака савија при загревању, а како при хлађењу?
б) Шта се дешава са запремином и густином одређене количине воде када се њена температура мења од \(10\,^\circ\text{C}\) до \(0\,^\circ\text{C}\)?
а) Како се трака савија при загревању, а како при хлађењу?
б) Шта се дешава са запремином и густином одређене количине воде када се њена температура мења од \(10\,^\circ\text{C}\) до \(0\,^\circ\text{C}\)?
а) Пошто је \(\alpha_{\text{Cu}} > \alpha_{\text{Fe}}\):
- При загревању: Бакар се више издужује него гвожђе, па се трака савија ка гвожђу (гвожђе је на унутрашњој страни лука).
- При хлађењу: Бакар се више скупља од гвожђа, па се трака савија ка бакру (бакар је на унутрашњој страни лука).
- Од \(10\,^\circ\text{C}\) до \(4\,^\circ\text{C}\): вода се нормално скупља (запремина опада), а њена густина расте и постаје максимална на \(4\,^\circ\text{C}\).
- Од \(4\,^\circ\text{C}\) до \(0\,^\circ\text{C}\) (аномалија воде): вода се шири (запремина расте), а њена густина опада.
