Најважније из лекције
Једначина континуитета: При стационарном струјању масени проток је сталан (\(\rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2\)). За нестишљиве флуиде важи \(S_1 v_1 = S_2 v_2\), што значи да је на ужим деловима цеви брзина струјања већа.
Густина струјних линија: Сразмерна је брзини флуида - већа густина линија означава већу брзину.
Бернулијева једначина: Заснована на закону одржања енергије: \(p + \rho g h + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const.}\) дуж исте струјне линије.
Густина струјних линија: Сразмерна је брзини флуида - већа густина линија означава већу брзину.
Бернулијева једначина: Заснована на закону одржања енергије: \(p + \rho g h + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const.}\) дуж исте струјне линије.
При стационарном струјању флуида нема мешања између струјних цеви, па је масени проток (\(q_m\)) сталан кроз сваки попречни пресек цеви.
\[ \rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2 = \text{const.} \]
\(\rho\) – густина флуида, \(S\) – површина попречног пресека, \(v\) – брзина струјања флуида
За нестишљиве флуиде густина је константна (\(\rho = \text{const.}\)), па је и запремински проток (\(q_V\)) сталан дуж струјне цеви.
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 = q_V = \text{const.} \]
Брзина струјања нестишљивог флуида је обрнуто сразмерна површини попречног пресека струјне цеви: на местима сужења цеви брзина протока расте, а на местима проширења опада.
Када се прстом делимично затвори отвор на славини или цреву за заливање (смањи се попречни пресек \(S\)), брзина истицања воде (\(v\)) се видно повећава.
Густина струјних линија у неком делу флуида директно је сразмерна брзини кретања делића флуида у том делу.
Струјне линије се згушњавају на местима где је струјна цев ужа, што графички представља повећање брзине протицања флуида.
Бернулијева једначина повезује притисак, густину, брзину и висину идеалног флуида при стационарном струјању и представља закон одржања механичке енергије за флуиде.
\[ p + \rho g h + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const.} \]
\(p\) – статички притисак флуида, \(\rho g h\) – хидростатички притисак, \(\frac{\rho v^2}{2}\) – динамички притисак
Бернулијева једначина важи за било које две тачке на истој струјној линији:
\[ p_1 + \rho g h_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \rho g h_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Кроз цев попречног пресека \(S_1 = 12\text{ cm}^2\) протиче вода брзином \(v_1 = 2\text{ m/s}\). Колика је брзина воде у ужем делу цеви чији је попречни пресек \(S_2 = 4\text{ cm}^2\)?
Примењујемо једначину континуитета за нестишљиве флуиде:
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \]
\[ v_2 = \frac{S_1 v_1}{S_2} = \frac{12\text{ cm}^2 \cdot 2\text{ m/s}}{4\text{ cm}^2} = 6\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина воде у ужем делу цеви износи \(6\text{ m/s}\).
Задатак 2 (средњи): Вода протиче кроз хоризонталну цев кружног попречног пресека. На ширем делу полупречник цеви је \(r_1 = 4\text{ cm}\), а брзина протока \(v_1 = 0{,}5\text{ m/s}\). Колика је брзина воде на ужем делу где је полупречник цеви \(r_2 = 2\text{ cm}\)?
Површина кружног попречног пресека је \(S = r^2 \pi\).
Из једначине континуитета: \[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies r_1^2 \pi v_1 = r_2^2 \pi v_2 \] \[ v_2 = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot v_1 = \left(\frac{4\text{ cm}}{2\text{ cm}}\right)^2 \cdot 0{,}5\text{ m/s} = 2^2 \cdot 0{,}5\text{ m/s} = 2\text{ m/s} \] Одговор: Брзина воде у ужем делу цеви је \(2\text{ m/s}\).
Из једначине континуитета: \[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies r_1^2 \pi v_1 = r_2^2 \pi v_2 \] \[ v_2 = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot v_1 = \left(\frac{4\text{ cm}}{2\text{ cm}}\right)^2 \cdot 0{,}5\text{ m/s} = 2^2 \cdot 0{,}5\text{ m/s} = 2\text{ m/s} \] Одговор: Брзина воде у ужем делу цеви је \(2\text{ m/s}\).
Задатак 3 (тежак): Кроз хоризонталну цев протиче вода густине \(\rho = 1000\text{ kg/m}^3\). У ширем делу цеви притисак износи \(p_1 = 180\text{ kPa}\), а брзина струјања је \(v_1 = 2\text{ m/s}\). У ужем делу цеви брзина износи \(v_2 = 6\text{ m/s}\). Колики је притисак \(p_2\) у ужем делу цеви?
Пошто је цев хоризонтална, висине су једнаке (\(h_1 = h_2\)), па се чланови \(\rho g h\) поништавају из Бернулијеве једначине:
\[ p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Одавде изражавамо непознати притисак \(p_2\):
\[ p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) \]
\[ p_2 = 180\,000\text{ Pa} + \frac{1000\text{ kg/m}^3}{2} \cdot (2^2 - 6^2)\text{ m}^2/\text{s}^2 \]
\[ p_2 = 180\,000\text{ Pa} + 500 \cdot (4 - 36)\text{ Pa} = 180\,000\text{ Pa} - 16\,000\text{ Pa} = 164\,000\text{ Pa} = 164\text{ kPa} \]
Одговор: Притисак у ужем делу цеви износи \(164\text{ kPa}\).
