Најважније из лекције
Максвелова расподела: Описује статистичку расподелу броја молекула по брзинама. Осенчена површина испод криве у интервалу \( \Delta v \) одређује вероватноћу да молекул има брзину у том опсегу.
Карактеристичне брзине: \( v_v = \sqrt{\frac{2kT}{m_0}} \), \( v_{sr} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}} \), \( \bar{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} \), при чему важи \( v_v < v_{sr} < \bar{v} \).
Утицај температуре: Са порастом температуре (\( T \uparrow \)), све брзине расту (\( \sim \sqrt{T} \)), врх криве се помера удесно и спушта наниже.
Средњи слободни пут: Просечно растојање које молекул пређе равномерно праволинијски између два узастопна судара.
Карактеристичне брзине: \( v_v = \sqrt{\frac{2kT}{m_0}} \), \( v_{sr} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}} \), \( \bar{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} \), при чему важи \( v_v < v_{sr} < \bar{v} \).
Утицај температуре: Са порастом температуре (\( T \uparrow \)), све брзине расту (\( \sim \sqrt{T} \)), врх криве се помера удесно и спушта наниже.
Средњи слободни пут: Просечно растојање које молекул пређе равномерно праволинијски између два узастопна судара.
Услед непрекидних и хаотичних међусобних судара, молекули гаса стално мењају правце и вредности брзина. Због тога се стање гаса описује статистичким приступом – одређивањем удела молекула чије се брзине налазе у одређеном интервалу \( \Delta v \).
Функција расподеле \( f(v) \) представља релативни број молекула по јединици интервала брзине:
\[ f(v) = \frac{\Delta N}{N \Delta v} \]
Површина испод криве расподеле за задати интервал брзине \( \Delta v \) представља вероватноћу да се брзина случајно одабраног молекула нађе у том интервалу. На константној температури, број молекула унутар сваког интервала брзина остаје сталан.
Расподела брзина молекула описује се преко три карактеристичне вредности брзине:
\[ \text{Највероватнија брзина: } v_v = \sqrt{\frac{2kT}{m_0}} \]
\[ \text{Средња брзина: } v_{sr} = \frac{v_1 + v_2 + \dots + v_N}{N} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}} \]
\[ \text{Средња квадратна брзина: } \bar{v} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_N^2}{N}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} \]
Ознаке: \( k = 1,38 \cdot 10^{-23} \, \frac{\text{J}}{\text{K}} \) (Болцманова константа), \( T \) (апсолутна температура у K), \( m_0 \) (маса једног молекула у kg).
За молекуле истог гаса на истој температури увек важи неједнакост:
\[ v_v < v_{sr} < \bar{v} \]
Маса једног молекула \( m_0 \) израчунава се преко моларне масе \( M \) и Авогадровог броја \( N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \):
\[ m_0 = \frac{M}{N_A} \]
Која од три статистичке брзине одговара максимуму криве Максвелове расподеле?
Максимуму криве одговара највероватнија брзина (\( v_v \)), јер њу има највећи удео молекула у гасу.
Карактеристичне брзине директно зависе од температуре гаса (\( \sim \sqrt{T} \)) и обрнуто зависе од масе молекула (\( \sim \frac{1}{\sqrt{m_0}} \)).
Са порастом температуре гаса:
- Вредности свих брзина (\( v_v, v_{sr}, \bar{v} \)) се повећавају.
- Максимум криве се помера удесно (ка већим брзинама).
- Вредност максимума опада (крива постаје нижа и шира).
- Расте укупан удео молекула са великим брзинама.
Лакши гасови (попут \( \text{H}_2 \)) на истој температури имају знатно веће брзине од тежих гасова (попут \( \text{N}_2 \) или \( \text{O}_2 \)), због чега лакши молекули лакше достижу брзине потребне за напуштање гравитационог поља Земље.
Средњи слободни пут молекула представља просечну дужину пута коју молекул пређе између два узастопна судара.
Између два судара молекул се креће равномерно праволинијски. Услед огромног броја судара у јединици времена, укупно кретање молекула кроз запремину гаса је хаотично и путања је изломљена.
Како се креће молекул гаса у интервалу између два узастопна судара?
Између два узастопна судара молекул се креће равномерно праволинијски.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Како гласи однос између највероватније брзине (\( v_v \)), средње брзине (\( v_{sr} \)) и средње квадратне брзине (\( \bar{v} \)) за исти гас на датој температури?
Упоређивањем њихових коефицијената уз \( \sqrt{\frac{kT}{m_0}} \) добијамо:
\[ \sqrt{2} \approx 1,41 \quad < \quad \sqrt{\frac{8}{\pi}} \approx 1,60 \quad < \quad \sqrt{3} \approx 1,73 \]
Дакле, тачан редослед је:
\[ v_v < v_{sr} < \bar{v} \]
Задатак 2 (средњи): Колико пута ће се повећати средња квадратна брзина молекула идеалног гаса ако се његова апсолутна температура повећа 4 пута?
Формула за средњу квадратну брзину је:
\[ \bar{v}_1 = \sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}} \]
Када је \( T_2 = 4T_1 \):
\[ \bar{v}_2 = \sqrt{\frac{3k(4T_1)}{m_0}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}} = 2 \cdot \bar{v}_1 \]
Одговор: Средња квадратна брзина ће се повећати 2 пута.
Задатак 3 (тежак): Израчунати највероватнију брзину молекула водоника (\( \text{H}_2 \)) на температури \( T = 300 \, \text{K} \), ако је моларна маса водоника \( M = 2 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{kg}}{\text{mol}} \), универзална гасна константа \( R = 8,31 \, \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \), а Болцманова константа \( k = 1,38 \cdot 10^{-23} \, \frac{\text{J}}{\text{K}} \) уз \( N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \, \frac{1}{\text{mol}} \).
Маса једног молекула је:
\[ m_0 = \frac{M}{N_A} \]
Уврштавањем у формулу за највероватнију брзину:
\[ v_v = \sqrt{\frac{2kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{2k T N_A}{M}} \]
Пошто је \( k \cdot N_A = R \):
\[ v_v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \cdot 6,022 \cdot 10^{23}}{2 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{4,986 \cdot 10^3}{2 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{2,493 \cdot 10^6} \approx 1,58 \cdot 10^3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Одговор: Највероватнија брзина износи приближно \( 1580 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \).
