Најважније из лекције
- Топлотни капацитет (\(C\)): \(C = \frac{Q}{\Delta T}\) \([\text{J/K}]\). Описује способност целог тела да акумулира топлоту.
- Специфични капацитет (\(c\)): \(c = \frac{Q}{m\Delta T}\) \([\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})]\), зависи искључиво од грађе супстанце.
- Моларни капацитет (\(C_\mu\)): \(C_{\mu} = \frac{Q}{n\Delta T} = M \cdot c\) \([\text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})]\).
- Гасови: Зависе од типа процеса:
- При \(V = \text{const}\): \(C_{\mu V} = \frac{i}{2}R\), где је \(i=3\) за једноатомске, а \(i=5\) за двоатомске гасове.
- При \(p = \text{const}\): \(C_{\mu p} = C_{\mu V} + R\) (Мајерова релација).
- Адијабатски процес: Нема размене топлоте са околином (\(Q = 0\)). Реализује се добром топлотном изолацијом или изузетно брзим одвијањем процеса.
Топлотни капацитет представља количину топлоте коју систем треба да прими да би му се температура повећала за један келвин (\(1\text{ K}\)).
\( C \)
\(\text{J}/\text{K}\) (џул по келвину)
\[ C = \frac{Q}{\Delta T} \]
\( Q \) – доведена топлота, \( \Delta T \) – промена температуре
Топлотни капацитет зависи од врсте супстанце (хемијског састава и агрегатног стања), њене масе и термалних услова (температура, притисак).
Ако суду са водом треба довести \(8360\text{ J}\) топлоте да би му се температура повећала за \(2\text{ K}\), топлотни капацитет тог суда са водом је:
\[ C = \frac{8360\text{ J}}{2\text{ K}} = 4180\text{ J/K} \]
Специфични топлотни капацитет (\(c\)) једнак је количини топлоте коју треба да прими тело масе \(1\text{ kg}\) да би му се температура повећала за \(1\text{ K}\).
\(\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})\)
\[ c = \frac{Q}{m \Delta T} \implies Q = m c \Delta T \]
Моларни топлотни капацитет (\(C_{\mu}\)) једнак је количини топлоте коју треба да прими \(1\text{ mol}\) супстанце (гаса) да би повећао температуру за \(1\text{ K}\).
\(\text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\)
\[ C_{\mu} = \frac{Q}{n \Delta T} \implies Q = n C_{\mu} \Delta T \]
Веза између капацитета:
\[ C = m c = n C_{\mu} \]
Пошто је количина супстанце \( n = \frac{m}{M} \) (где је \( M \) моларна маса), следи основна релација:
\[ C_{\mu} = M \cdot c \]
Број степени слободе (\(i\)) честица гаса представља број независних могућих кретања честице у простору:
- Једноатомски гасови (\(i = 3\)): молекули врше искључиво транслаторно кретање у три правца (\(x, y, z\)).
- Двоатомски гасови (\(i = 5\)): 3 правца транслације + 2 могуће ротације око међусобно нормалних оса (ротација око осе молекулске везе се занемарује).
Изохорски процес (\(V = \text{const}\)): Сав доведени топлотни флукс иде на промену унутрашње енергије (\(Q = \Delta U\)).
\[ C_{\mu V} = \frac{\Delta U}{n \Delta T} \implies \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T \]
Изобарски процес (\(p = \text{const}\)): Доведена топлота се троши на промену унутрашње енергије и на вршење рада (\(Q = \Delta U + A\)).
\[ C_{\mu p} = C_{\mu V} + R \quad \text{(Мајерова релација)} \]
\( R \approx 8{,}314\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K}) \) – универзална гасна константа
| Врста гаса | Степени слободе (\(i\)) | \( C_{\mu V} \) | \( C_{\mu p} \) |
|---|---|---|---|
| Једноатомски (нпр. \(\text{He}, \text{Ne}, \text{Ar}\)) | \( 3 \) | \( \frac{3}{2}R \) | \( \frac{5}{2}R \) |
| Двоатомски (нпр. \(\text{H}_2, \text{O}_2, \text{N}_2\)) | \( 5 \) | \( \frac{5}{2}R \) | \( \frac{7}{2}R \) |
Адијабатски процес је термодинамички процес у коме систем не размењује топлоту са околином.
\[ Q = 0 \]
Адијабатски процеси се у пракси остварују:
- У топлотно изолованим системима (посуде са савршеном изолацијом).
- Као врло брзи процеси, при чему систем нема довољно времена да размени топлоту са околином.
Према Првом принципу термодинамике (\(Q = \Delta U + A\)), за адијабатски процес важи \(0 = \Delta U + A\), односно \(A = -\Delta U\). Ако гас врши позитиван рад (експанзија), то чини на рачун смањења своје унутрашње енергије (гас се хлади).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Колика је количина топлоте потребна да се \(3\text{ kg}\) воде загреје за \(15\text{ K}\)? Специфични топлотни капацитет воде износи \(c = 4180\text{ J}/(\text{kg}\cdot\text{K})\).
Примењујемо формулу за количину топлоте преко специфичног капацитета:
\[ Q = m c \Delta T \]
\[ Q = 3\text{ kg} \cdot 4180\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 15\text{ K} = 188\,100\text{ J} = 188{,}1\text{ kJ} \]
Одговор: Потребна количина топлоте износи \(188{,}1\text{ kJ}\).
Задатак 2 (Средњи ниво): У затвореном суду константне запремине налази се \(2\text{ mol}\) једноатомског идеалног гаса. За колико ће се променити његова унутрашња енергија ако му се доведе \(250\text{ J}\) топлоте? Израчунати промену температуре гаса (\(R = 8{,}31\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\)).
1. Код изохорског процеса (\(V = \text{const}\)), рад једнак је нули (\(A = 0\)), па је:
\[ \Delta U = Q = 250\text{ J} \]
2. За једноатомски гас моларни капацитет је \( C_{\mu V} = \frac{3}{2}R \):
\[ \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T = n \cdot \frac{3}{2}R \cdot \Delta T \]
\[ \Delta T = \frac{\Delta U}{n \cdot \frac{3}{2}R} = \frac{250\text{ J}}{2\text{ mol} \cdot 1{,}5 \cdot 8{,}31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}} = \frac{250}{24{,}93}\text{ K} \approx 10{,}03\text{ K} \]
Одговор: Унутрашња енергија се повећала за \(250\text{ J}\), а температура је порасла за приближно \(10{,}03\text{ K}\).
Задатак 3 (Тежи ниво): Идеални двоатомски гас количине \(4\text{ mol}\) загрева се при сталном притиску тако да му температура порасте за \(20\text{ K}\). Одредити:
а) доведену количину топлоте \(Q\),
б) промену унутрашње енергије \(\Delta U\),
в) извршени рад \(A\).
а) доведену количину топлоте \(Q\),
б) промену унутрашње енергије \(\Delta U\),
в) извршени рад \(A\).
За двоатомски гас вреди: \( C_{\mu V} = \frac{5}{2}R \), \( C_{\mu p} = \frac{7}{2}R \).
а) Доведена топлота при \(p = \text{const}\): \[ Q = n C_{\mu p} \Delta T = 4 \cdot \frac{7}{2} \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 14 \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 2326{,}8\text{ J} \] б) Промена унутрашње енергије: \[ \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T = 4 \cdot \frac{5}{2} \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 10 \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 1662\text{ J} \] в) Рад гаса при изобарском ширењу: \[ A = Q - \Delta U = 2326{,}8\text{ J} - 1662\text{ J} = 664{,}8\text{ J} \] (Или преко \(A = n R \Delta T = 4 \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 664{,}8\text{ J}\)).
Одговор: \(Q = 2326{,}8\text{ J}\), \(\Delta U = 1662\text{ J}\), \(A = 664{,}8\text{ J}\).
а) Доведена топлота при \(p = \text{const}\): \[ Q = n C_{\mu p} \Delta T = 4 \cdot \frac{7}{2} \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 14 \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 2326{,}8\text{ J} \] б) Промена унутрашње енергије: \[ \Delta U = n C_{\mu V} \Delta T = 4 \cdot \frac{5}{2} \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 10 \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 1662\text{ J} \] в) Рад гаса при изобарском ширењу: \[ A = Q - \Delta U = 2326{,}8\text{ J} - 1662\text{ J} = 664{,}8\text{ J} \] (Или преко \(A = n R \Delta T = 4 \cdot 8{,}31 \cdot 20 = 664{,}8\text{ J}\)).
Одговор: \(Q = 2326{,}8\text{ J}\), \(\Delta U = 1662\text{ J}\), \(A = 664{,}8\text{ J}\).
