Најважније из лекције
- Торичелијева теорема: Брзина истицања течности из отвореног суда кроз мали отвор износи \( v = \sqrt{2gh} \) и зависи само од дубине отвора \( h \).
- Сила узгона: Настаје због разлике брзина струјања изнад и испод профила крила (\( v_{\text{горе}} > v_{\text{доле}} \implies p_{\text{горе}} < p_{\text{доле}} \)), при чему резултантна сила притиска делује вертикално навише.
- Вентуријева цев: Мерењем разлике притисака у широком и суженом делу хоризонталне цеви одређује се запремински проток: \( q_V = C\sqrt{h/\rho} \).
- Млазна пумпа и распршивач: Користе пад статичког притиска (потпритисак) на месту повећане брзине за усисавање и распршивање флуида.
- Снага ветра: Изражава се формулом \( P = \eta \frac{\rho S v^3}{2} \) и сразмерна је трећем степену брзине ветра (\( P \sim v^3 \)).
Торичелијева теорема описује брзину истицања идеалне нестишљиве течности кроз мали бочни отвор отвореног, широког суда под дејством гравитације.
Брзина истицања течности из отвореног суда кроз мали отвор на дубини \( h \) једнака је брзини коју би тело имало при слободном паду са исте висине \( h \):
\[ v = \sqrt{2gh} \]
- Поставимо нулти потенцијални ниво на висину отвора (тачка 2).
- Применимо Бернулијеву једначину за тачке 1 (површина) и 2 (отвор): \[ p_1 + \rho gh + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
- Пошто је суд отворен, важи \( p_1 = p_2 = p_{\text{at}} \).
- Како је суд широк, а отвор мали, брзина спуштања нивоа течности је занемарљива (\( v_1 \approx 0 \)).
- Скраћивањем притисака и густине добија се: \( v_2 = \sqrt{2gh} \).
Брзина истицања течности не зависи од врсте (густине) течности нити од облика суда, већ искључиво од вертикалног растојања \( h \) од површине течности до отвора.
Сила узгона је вертикална компонента резултантне силе притиска ваздуха на тело (крило авиона) које се креће кроз ваздух.
Због асиметричног аеродинамичког профила крила:
- Ваздух изнад горње закривљене површине струји брже него испод доње равније површине (\( v_{\text{горе}} > v_{\text{доле}} \)).
- Према Бернулијевој једначини, повећање брзине доводи до смањења статичког притиска (\( p_{\text{горе}} < p_{\text{доле}} \)).
- Разлика статичких притисака ствара расподељену силу према горе која савладава тежину авиона.
Интензитет силе узгона зависи од геометријског облика крила, нападног угла, брзине кретања и густине флуида.
Вентуријева цев је мерни уређај који се користи за одређивање брзине и запреминског протока флуида мерењем разлике статичких притисака у широком и суженом делу цеви.
Запремински проток флуида густине \( \rho \):
\[ q_V = C \sqrt{\frac{h}{\rho}} \]
Константа уређаја \( C \):
\[ C = S_1 \sqrt{\frac{2\rho_c g}{\left( \frac{S_1}{S_2} \right)^2 - 1}} \]
\( q_V \) – запремински проток, \( S_1, S_2 \) – површине пресека ширег и ужег дела, \( \rho \) – густина протичућег флуида, \( \rho_c \) – густина течности у U-цеви (манометра), \( h \) – разлика висина у U-цеви.
- Једначина континуитета: \( S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies v_2 = \frac{S_1}{S_2} v_1 \).
- Бернулијева једначина за хоризонталну цев: \( p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \).
- Разлика притисака мерена U-манометром: \( p_1 - p_2 = \rho_c gh \).
- Комбиновањем једначина одређује се брзина \( v_1 \), а проток као \( q_V = S_1 v_1 \).
Када флуид протиче кроз уско грло, брзина му се повећава, а статички притисак опада испод вредности атмосферског притиска, стварајући потпритисак (вакуум) који усисава други флуид.
- Водена пумпа (млазна пумпа): Млаз воде велике брзине у зони сужења ствара пад статичког притиска, захваљујући чему усисава ваздух или течност из спољне коморе/посуде и избацује их напоље.
- Распршивач (атомизер): Струја ваздуха велике брзине пролази изнад отвореног краја уске вертикалне цеви уроњене у течност. Настали потпритисак подиже течност уз цев, а ваздушна струја је распршује у ситне капљице.
Принцип распршивача се користи код бочица са парфемом, апарата за фарбање распршивањем, карбуратора код старијих мотора и у пољопривредним прскалицама.
Кинетичка енергија масе ваздуха \( \Delta m \) која се креће брзином \( v \) износи \( \Delta E_k = \frac{1}{2} \Delta m v^2 \).
Максимална теоријска снага ветра кроз површину \( S \):
\[ P_{\text{max}} = \frac{\rho S v^3}{2} \]
Реална снага ветрогенератора (ветрењаче):
\[ P_{\text{ветрењаче}} = \eta \cdot P_{\text{max}} = \eta \frac{\rho S v^3}{2} \]
\( \rho \) – густина ваздуха, \( S \) – површина коју описују елисе ротора, \( v \) – брзина ветра, \( \eta \) – коефицијент корисног дејства.
Снага ветра зависи од трећег степена (куба) брзине ветра (\( P \sim v^3 \)). Уколико се брзина ветра удвостручи, снага коју ветар носи повећава се \( 2^3 = 8 \) пута.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): На бочној страни отвореног резервоара са водом налази се мали отвор на дубини од \( 3{,}2\text{ m} \) испод површине воде. Израчунати брзину истицања воде кроз тај отвор. Узети \( g = 10\text{ m/s}^2 \).
Применом Торичелијеве теореме:
\[ v = \sqrt{2gh} \]
\[ v = \sqrt{2 \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 3{,}2\text{ m}} = \sqrt{64\text{ m}^2/\text{s}^2} = 8\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина истицања воде износи \( 8\text{ m/s} \).
Задатак 2 (средњи): Брзина ветра порасте са \( v_1 = 5\text{ m/s} \) на \( v_2 = 15\text{ m/s} \). Колико пута се притом повећа максимална снага коју ветар предаје ветрогенератору?
Снага ветра је сразмерна трећем степену брзине: \( P_{\text{max}} = \frac{\rho S v^3}{2} \).
Однос снага је:
\[ \frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{\rho S v_2^3}{2}}{\frac{\rho S v_1^3}{2}} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^3 \]
\[ \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{15\text{ m/s}}{5\text{ m/s}}\right)^3 = 3^3 = 27 \]
Одговор: Снага ветра се повећа \( 27 \) пута.
Задатак 3 (средњи): Кроз бочни отвор отвореног резервоара истиче вода брзином \( v = 6\text{ m/s} \). Ако је површина отвора \( S_0 = 5\text{ cm}^2 \), одредити:
а) Запремински проток воде кроз отвор.
б) Дубину на којој се отвор налази испод нивоа воде (\( g = 10\text{ m/s}^2 \)).
а) Запремински проток воде кроз отвор.
б) Дубину на којој се отвор налази испод нивоа воде (\( g = 10\text{ m/s}^2 \)).
а) Запремински проток једнак је:
\[ q_V = S_0 \cdot v = 5 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2 \cdot 6\text{ m/s} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3\text{/s} = 3\text{ l/s} \]
б) Из Торичелијеве теореме:
\[ v = \sqrt{2gh} \implies v^2 = 2gh \implies h = \frac{v^2}{2g} \]
\[ h = \frac{(6\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{36}{20}\text{ m} = 1{,}8\text{ m} \]
Одговор: Запремински проток је \( 3\text{ l/s} \), а отвор се налази на дубини од \( 1{,}8\text{ m} \).
Задатак 4 (тежак): Ваздух струји око крила авиона површине \( S = 40\text{ m}^2 \). Брзина ваздуха изнад крила износи \( v_1 = 110\text{ m/s} \), а испод крила \( v_2 = 90\text{ m/s} \). Густина ваздуха на тој висини је \( \rho = 1{,}2\text{ kg/m}^3 \). Израчунати разлику статичких притисака испод и изнад крила и интензитет силе узгона која делује на крило.
Применом Бернулијеве једначине за горњу и доњу површину крила (занемарујући малу висинску разлику дебљине крила):
\[ p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 \]
Разлика статичких притисака је:
\[ \Delta p = p_2 - p_1 = \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2) \]
\[ \Delta p = \frac{1}{2} \cdot 1{,}2\text{ kg/m}^3 \cdot \left((110\text{ m/s})^2 - (90\text{ m/s})^2\right) \]
\[ \Delta p = 0{,}6 \cdot (12100 - 8100)\text{ Pa} = 0{,}6 \cdot 4000\text{ Pa} = 2400\text{ Pa} \]
Сила узгона:
\[ F_{\text{узг}} = \Delta p \cdot S = 2400\text{ Pa} \cdot 40\text{ m}^2 = 96000\text{ N} = 96\text{ kN} \]
Одговор: Разлика статичких притисака је \( 2400\text{ Pa} \), а сила узгона износи \( 96\text{ kN} \).
