Најважније из лекције
- Хидростатички притисак: \( p = p_a + \rho g h \) - сразмеран је дубини и густини флуида, независан од облика суда.
- Паскалов закон: \( \Delta p = \text{const.} \implies \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \) - омогућава умножавање силе код хидрауличних уређаја.
- Архимедов закон: \( F_{\text{pot}} = \rho_{\text{f}} V_{\text{pot}} g \) - сила потиска једнака је тежини истиснутог флуида и одређује да ли тело тоне, лебди или плива.
- Једначина континуитета: \( S_1 v_1 = S_2 v_2 = q_V \) - проток нестишљивог флуида је константан; на сужењима брзина струјања расте.
- Бернулијева једначина: \( p + \rho g h + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const.} \) - збир статичког, висинског и динамичког притиска је сталан; на местима веће брзине статички притисак опада.
Флуиди су течности и гасови. Основне физичке величине којима се описују флуиди у мировању и кретању јесу густина (\(\rho\)), притисак (\(p\)) и брзина делића флуида (\(v\)).
\[ \rho = \frac{\Delta m}{\Delta V} \qquad [ \rho ] = \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]
Густина представља однос масе и запремине флуида.
\[ p = \frac{F}{S} \qquad [ p ] = \text{Pa} = \frac{\text{N}}{\text{m}^2} \]
Притисак је количник нормалне силе и површине на коју та сила делује. Сила притиска износи \( F = pS \) и нормална је на површину.
| Класификација флуида | Особина густине | Примери |
|---|---|---|
| Нестишљиви | \( \rho = \text{const.} \) | Идеални флуиди |
| Приближно нестишљиви | \( \rho \approx \text{const.} \) | Течности (вода, уље итд.) |
| Стишљиви | \( \rho \neq \text{const.} \) | Гасови (ваздух, хелијум итд.) |
Хидростатика је део физике који проучава флуиде у стању мировања (равнотеже).
Атмосферски притисак (\(p_a\)) настаје услед тежине ваздушног стуба Земљине атмосфере. На нивоу мора износи приближно \(101{,}33\text{ kPa}\), а опада са порастом надморске висине (на сваких \(5\,600\text{ m}\) смањи се приближно за половину).
\[ p = p_a + \rho g h \]
Укупни притисак у течности на дубини \(h\), где је \(p_h = \rho g h\) хидростатички притисак.
Особине притиска у флуидима у мировању:
- Притисак у свакој тачки флуида делује једнако у свим правцима.
- У свим тачкама истог хоризонталног нивоа нестишљивог флуида притисак је исти.
- Хидростатички парадокс: Притисак на дну суда зависи искључиво од висине стуба течности (\(h\)) и њене густине (\(\rho\)), а не од облика или укупне запремине суда.
Паскалов закон: Спољашњи притисак који делује на затворени нестишљиви флуид преноси се подједнако у свим правцима кроз читав флуид:
\[ \Delta p_{\text{sp}} = \text{const.} \]
Хидраулична преса је уређај чији се рад заснива на Паскаловом закону. Састоји се од два спојена цилиндра различитих попречних пресека са покретним клиповима.
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \implies F_2 = F_1 \frac{S_2}{S_1} \]
Деловањем мале силе \(F_1\) на клип мале површине \(S_1\) добија се знатно већа сила \(F_2\) на клипу веће површине \(S_2\).
Сила потиска (\(F_{\text{pot}}\)) је вертикална резултујућа сила притиска флуида усмерена навише, која делује на свако тело потопљено у флуид.
Архимедов закон: На свако тело уроњено у флуид делује сила потиска која је једнака тежини флуида истиснутог тим телом.
\[ F_{\text{pot}} = \rho_{\text{f}} V_{\text{pot}} g \]
где је \(\rho_{\text{f}}\) густина флуида, а \(V_{\text{pot}}\) запремина потопљеног дела тела (једнака запремини истиснутог флуида).
Услови пливања и тоњења тела (поређење густине тела \(\rho_{\text{t}}\) и флуида \(\rho_{\text{f}}\)):
- \( \rho_{\text{t}} > \rho_{\text{f}} \implies m_{\text{t}}g > F_{\text{pot}} \) : Тело тоне на дно.
- \( \rho_{\text{t}} = \rho_{\text{f}} \implies m_{\text{t}}g = F_{\text{pot}} \) : Тело лебди на било којој дубини.
- \( \rho_{\text{t}} < \rho_{\text{f}} \implies m_{\text{t}}g < F_{\text{pot}} \) : Тело плива (израња док се тежина не изједначи са потиском).
Идеални флуид је флуид који је потпуно нестишљив (\(\rho = \text{const.}\)) и нема унутрашњег трења (невискозан је, \( \text{вискозност} = 0 \)).
Стационарно струјање је струјање код кога је брзина делића флуида у свакој тачки простора константна током времена.
Струјна линија је линија чија се тангента у свакој тачки поклапа са правцем вектора брзине флуида. Сноп струјних линија образује струјну цев.
Ако се делићи флуида током струјања окрећу око сопствених оса, струјање је вртложно. У супротном је невртложно.
\[ q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t} = S v \qquad [ q_V ] = \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \]
Запремински проток је запремина флуида која протекне кроз попречни пресек \(S\) у јединици времена.
\[ q_m = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v \qquad [ q_m ] = \frac{\text{kg}}{\text{s}} \]
Масени проток је маса флуида која протекне кроз попречни пресек \(S\) у јединици времена.
При стационарном струјању флуида нема губитка нити нагомилавања супстанце, па је масени проток кроз сваки попречни пресек струјне цеви константан:
\[ q_m = \rho S v = \text{const.} \implies \rho_1 S_1 v_1 = \rho_2 S_2 v_2 \]
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 = \text{const.} \quad (\text{за } \rho = \text{const.}) \]
Једначина континуитета за нестишљиве флуиде: Производ површине попречног пресека струјне цеви и брзине флуида сталан је дуж целе цеви (\(q_V = \text{const.}\)).
На местима где је струјна цев ужа (\(S\) је мање), брзина струјања \(v\) је већа, а струјне линије су гушће распоређене.
Бернулијева једначина представља закон одржања механичке енергије примењен на стационарно струјање идеалног нестишљивог флуида:
\[ p + \rho g h + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const.} \]
| Члан једначине | Назив притиска | Физичко значење |
|---|---|---|
| \( p \) | Статички притисак | Притисак услед међусобног деловања честица флуида |
| \( \rho g h \) | Хидростатички (висински) притисак | Притисак услед тежине стуба флуида на висини \(h\) |
| \( \frac{\rho v^2}{2} \) | Динамички притисак | Притисак повезан са кинетичком енергијом кретања флуида |
За две тачке на истој струјној линији важи:
\[ p_1 + \rho g h_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \rho g h_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Хоризонтална цев (\(h_1 = h_2\)):
\[ p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Тамо где је брзина флуида већа (ужи део цеви), статички притисак \(p\) је мањи.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати хидростатички притисак воде на дубини од \(8\text{ m}\). Густина воде је \(\rho = 1\,000\text{ kg/m}^3\), а убрзање Земљине теже \(g \approx 9{,}81\text{ m/s}^2\).
Примењујемо формулу за хидростатички притисак:
\[ p_h = \rho g h \]
\[ p_h = 1\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8\,\text{m} = 78\,480\text{ Pa} = 78{,}48\text{ kPa} \]
Одговор: Хидростатички притисак износи \(78{,}48\text{ kPa}\).
Задатак 2 (средњи): Површина малог клипа хидрауличне пресе износи \(S_1 = 15\text{ cm}^2\), а великог клипа \(S_2 = 300\text{ cm}^2\). Коликом силом \(F_1\) морамо деловати на мали клип да би велики клип подигао терет масе \(m = 600\text{ kg}\)? (\(g \approx 10\text{ m/s}^2\))
Сила коју терет врши на велики клип једнака је његовој тежини:
\[ F_2 = m g = 600\text{ kg} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 6\,000\text{ N} \]
На основу Паскаловог закона за хидрауличну пресу важи:
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \implies F_1 = F_2 \cdot \frac{S_1}{S_2} \]
\[ F_1 = 6\,000\text{ N} \cdot \frac{15\text{ cm}^2}{300\text{ cm}^2} = 6\,000 \cdot \frac{1}{20} = 300\text{ N} \]
Одговор: На мали клип потребно је деловати силом од \(300\text{ N}\).
Задатак 3 (средњи): Кроз цев пречника \(d_1 = 10\text{ cm}\) протиче вода брзином \(v_1 = 1\text{ m/s}\). Колика ће бити брзина воде \(v_2\) у делу цеви где је пречник сужен на \(d_2 = 5\text{ cm}\)?
Површина кружног пресека цеви је \(S = \frac{d^2 \pi}{4}\).
Применом једначине континуитета за нестишљиви флуид: \[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies \frac{d_1^2 \pi}{4} v_1 = \frac{d_2^2 \pi}{4} v_2 \] \[ d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2 \implies v_2 = v_1 \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 \] \[ v_2 = 1\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \left(\frac{10\text{ cm}}{5\text{ cm}}\right)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4\text{ m/s} \] Одговор: Брзина воде у ужем делу цеви износи \(4\text{ m/s}\).
Применом једначине континуитета за нестишљиви флуид: \[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies \frac{d_1^2 \pi}{4} v_1 = \frac{d_2^2 \pi}{4} v_2 \] \[ d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2 \implies v_2 = v_1 \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 \] \[ v_2 = 1\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \left(\frac{10\text{ cm}}{5\text{ cm}}\right)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4\text{ m/s} \] Одговор: Брзина воде у ужем делу цеви износи \(4\text{ m/s}\).
Задатак 4 (тежак): Вода густине \(\rho = 1\,000\text{ kg/m}^3\) струји кроз хоризонталну цев. У ширем делу цеви брзина струјања је \(v_1 = 2\text{ m/s}\), а статички притисак износи \(p_1 = 200\text{ kPa}\). Израчунати статички притисак \(p_2\) у ужем делу цеви где је брзина воде \(v_2 = 6\text{ m/s}\).
Пошто је цев хоризонтална, висине су једнаке (\(h_1 = h_2\)), па се Бернулијева једначина своди на:
\[ p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} \]
Изражавамо непознати притисак \(p_2\):
\[ p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) \]
Уврштавамо бројне вредности (\(p_1 = 200\,000\text{ Pa}\)):
\[ p_2 = 200\,000\text{ Pa} + \frac{1\,000}{2} \cdot (2^2 - 6^2)\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \]
\[ p_2 = 200\,000 + 500 \cdot (4 - 36) = 200\,000 + 500 \cdot (-32) = 200\,000 - 16\,000 = 184\,000\text{ Pa} = 184\text{ kPa} \]
Одговор: Статички притисак у ужем делу цеви износи \(184\text{ kPa}\).
