Најважније из лекције
Електрични капацитет: \( C = \frac{q}{\phi} \) или за кондензатор \( C = \frac{q}{U} \) (јединица: фарад, \( \text{F} \)).
Плочасти кондензатор: \( C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \); јачина хомогеног поља \( E = \frac{U}{d} \).
Паралелна веза: Исти напон (\( U_i = \text{const} \)), сабирају се капацитети: \( C_e = C_1 + C_2 + \dots + C_n \).
Редна веза: Исто наелектрисање (\( q_i = \text{const} \)), сабирају се реципрочне вредности: \( \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \).
Енергија поља кондензатора: \( E_p = \frac{qU}{2} = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C} \).
Плочасти кондензатор: \( C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \); јачина хомогеног поља \( E = \frac{U}{d} \).
Паралелна веза: Исти напон (\( U_i = \text{const} \)), сабирају се капацитети: \( C_e = C_1 + C_2 + \dots + C_n \).
Редна веза: Исто наелектрисање (\( q_i = \text{const} \)), сабирају се реципрочне вредности: \( \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \).
Енергија поља кондензатора: \( E_p = \frac{qU}{2} = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C} \).
Електрични капацитет усамљеног проводника је физичка величина која представља однос количине наелектрисања којом је проводник наелектрисан и потенцијала на који је притом доведен.
\[ C = \frac{q}{\phi} \]
\( C \) – електрични капацитет, \( q \) – количина наелектрисања, \( \phi \) – потенцијал проводника
Фарад (\( \text{F} \)), \( 1\text{ F} = 1\,\frac{\text{C}}{\text{V}} \). Често се користе мање јединице:
- Микрофарад: \( 1\,\mu\text{F} = 10^{-6}\text{ F} \)
- Нанофарад: \( 1\text{ nF} = 10^{-9}\text{ F} \)
- Пикофарад: \( 1\text{ pF} = 10^{-12}\text{ F} \)
Унутар проводника у електростатичкој равнотежи јачина поља једнака је нули (\( E = 0 \)), а све тачке проводника су на истом потенцијалу (површина проводника је еквипотенцијална). Капацитет проводника зависи искључиво од његовог облика, димензија и околне средине.
Проводник се налази на потенцијалу од \( \phi = 200\text{ V} \) када на њему има \( q = 4\,\mu\text{C} \) наелектрисања. Колики је капацитет тог проводника?
Применом дефиниционе формуле:
\[ C = \frac{q}{\phi} = \frac{4 \cdot 10^{-6}\text{ C}}{200\text{ V}} = 2 \cdot 10^{-8}\text{ F} = 20\text{ nF} \]
Кондензатор је систем од два међусобно изолована проводника (облоге) који омогућава складиштење веће количине наелектрисања при релативно малим потенцијалима.
Дефинициони капацитет кондензатора:
\[ C = \frac{q}{U} \]
Капацитет равног (плочастог) кондензатора:
\[ C = \varepsilon \frac{S}{d} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \]
Јачина хомогеног електричног поља између плоча:
\[ E = \frac{U}{d} \]
\( q \) – количина наелектрисања једне плоче, \( U \) – напон (разлика потенцијала) између плоча, \( S \) – површина плоче, \( d \) – растојање између плоча, \( \varepsilon_0 \) – диелектрична константа вакуума, \( \varepsilon_r \) – релативна диелектрична пропустљивост изолатора.
Убацивањем диелектрика (\( \varepsilon_r > 1 \)) између плоча кондензатора, његов капацитет се повећава за \( \varepsilon_r \) пута.
Како ће се променити капацитет плочастог кондензатора ако се површина плоча удвостручи, а растојање међу њима смањи два пута?
Из формуле \( C = \varepsilon \frac{S}{d} \):
\[ C' = \varepsilon \frac{2S}{\frac{d}{2}} = 4 \cdot \varepsilon \frac{S}{d} = 4C \]
Одговор: Капацитет кондензатора ће се повећати 4 пута.
Код паралелне везе:
- Напон је исти на свим кондензаторима: \( U = U_1 = U_2 = \dots = U_n \)
- Укупно наелектрисање једнако је збиру наелектрисања свих кондензатора: \( q = q_1 + q_2 + \dots + q_n \)
Еквивалентни капацитет паралелне везе:
\[ C_e = C_1 + C_2 + \dots + C_n \]
Паралелним везивањем капацитети се сабирају, па је укупни (еквивалентни) капацитет увек већи од капацитета било ког појединачног кондензатора у вези.
Три кондензатора капацитета \( C_1 = 2\,\mu\text{F} \), \( C_2 = 4\,\mu\text{F} \) и \( C_3 = 6\,\mu\text{F} \) везана су паралелно. Израчунати еквивалентни капацитет.
\[ C_e = C_1 + C_2 + C_3 = 2\,\mu\text{F} + 4\,\mu\text{F} + 6\,\mu\text{F} = 12\,\mu\text{F} \]
Код редне везе:
- Количина наелектрисања је иста на свим кондензаторима: \( q = q_1 = q_2 = \dots = q_n \)
- Укупан напон једнак је збиру напона на појединачним кондензаторима: \( U = U_1 + U_2 + \dots + U_n \)
Реципрочна вредност еквивалентног капацитета:
\[ \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \]
За два редно везана кондензатора:
\[ C_e = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} \]
Еквивалентни капацитет редне везе увек је мањи од капацитета најмањег кондензатора у тој вези.
Два кондензатора капацитета \( C_1 = 3\,\mu\text{F} \) и \( C_2 = 6\,\mu\text{F} \) везана су редно. Одредити еквивалентни капацитет.
\[ C_e = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6}\,\mu\text{F} = \frac{18}{9}\,\mu\text{F} = 2\,\mu\text{F} \]
Рад утрошен на пуњење кондензатора (пребацивање наелектрисања са једне плоче на другу) акумулира се као потенцијална енергија електричног поља унутар кондензатора.
\[ E_p = \frac{q \cdot U}{2} = \frac{C \cdot U^2}{2} = \frac{q^2}{2C} \]
\( E_p \) – електростатичка енергија, \( q \) – количина наелектрисања, \( U \) – напон на кондензатору, \( C \) – капацитет
Кондензатор капацитета \( C = 10\,\mu\text{F} \) прикључен је на извор напона \( U = 20\text{ V} \). Колика је енергија акумулирана у његовом електричном пољу?
\[ E_p = \frac{C \cdot U^2}{2} = \frac{10 \cdot 10^{-6}\text{ F} \cdot (20\text{ V})^2}{2} = \frac{10^{-5} \cdot 400}{2}\text{ J} = 2 \cdot 10^{-3}\text{ J} = 2\text{ mJ} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): На кондензатор капацитета \( C = 50\text{ pF} \) доведен је напон од \( U = 120\text{ V} \). Израчунати количину наелектрисања на његовим плочама.
Користимо везу \( q = C \cdot U \):
\[ q = 50 \cdot 10^{-12}\text{ F} \cdot 120\text{ V} = 6000 \cdot 10^{-12}\text{ C} = 6 \cdot 10^{-9}\text{ C} = 6\text{ nC} \]
Одговор: Количина наелектрисања је \( 6\text{ nC} \).
Задатак 2 (Средњи ниво): Два идентична кондензатора капацитета по \( C = 10\,\mu\text{F} \) прикључена су на напон од \( U = 100\text{ V} \). Колико износи укупна енергија електричног поља ако су везани:
а) паралелно,
б) редно?
а) паралелно,
б) редно?
а) Паралелна веза:
\[ C_e = C + C = 2C = 20\,\mu\text{F} = 20 \cdot 10^{-6}\text{ F} \]
\[ E_{p1} = \frac{C_e U^2}{2} = \frac{20 \cdot 10^{-6}\text{ F} \cdot 10000\text{ V}^2}{2} = 0{,}1\text{ J} \]
б) Редна веза:
\[ C_e = \frac{C}{2} = 5\,\mu\text{F} = 5 \cdot 10^{-6}\text{ F} \]
\[ E_{p2} = \frac{C_e U^2}{2} = \frac{5 \cdot 10^{-6}\text{ F} \cdot 10000\text{ V}^2}{2} = 0{,}025\text{ J} = 25\text{ mJ} \]
Задатак 3 (Напредни ниво): Раван ваздушни плочасти кондензатор капацитета \( C_0 = 8\text{ nF} \) наелектрисан је до напона \( U_0 = 300\text{ V} \), а затим је искључен са извора напона.
а) Колика је акумулирана енергија поља кондензатора?
б) Колики ће бити напон и колика енергија поља ако се простор између плоча испуни диелектриком чија је релативна диелектрична пропустљивост \( \varepsilon_r = 4 \)?
а) Колика је акумулирана енергија поља кондензатора?
б) Колики ће бити напон и колика енергија поља ако се простор између плоча испуни диелектриком чија је релативна диелектрична пропустљивост \( \varepsilon_r = 4 \)?
а) Почетна енергија:
\[ E_{p0} = \frac{C_0 U_0^2}{2} = \frac{8 \cdot 10^{-9}\text{ F} \cdot (300\text{ V})^2}{2} = 4 \cdot 10^{-9} \cdot 90000\text{ J} = 3{,}6 \cdot 10^{-4}\text{ J} = 0{,}36\text{ mJ} \]
б) Након убацивања диелектрика (наелектрисање \( q \) остаје константно јер је кондензатор искључен са извора):
\[ q = C_0 U_0 = 8 \cdot 10^{-9}\text{ F} \cdot 300\text{ V} = 2{,}4\,\mu\text{C} \]
Нови капацитет је:
\[ C = \varepsilon_r \cdot C_0 = 4 \cdot 8\text{ nF} = 32\text{ nF} \]
Нови напон износи:
\[ U = \frac{q}{C} = \frac{U_0}{\varepsilon_r} = \frac{300\text{ V}}{4} = 75\text{ V} \]
Нова енергија електричног поља је:
\[ E_p = \frac{q^2}{2C} = \frac{E_{p0}}{\varepsilon_r} = \frac{0{,}36\text{ mJ}}{4} = 0{,}09\text{ mJ} \]
(Енергија поља се смањила јер је систем извршио рад увлачењем диелектрика између плоча.)
