Најважније из лекције
Електростатика: Проучава непокретна наелектрисања. Основно наелектрисање је квантовано \( q = n e \) (\( e = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C} \)) и одржава се у изолованом систему.
Кулонов закон: Сила узајамног деловања два тачкаста наелектрисања \( F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \) опада са квадратом растојања и слаби у диелектрицима за фактор \( \varepsilon_r \).
Поље и потенцијал: Јачина поља \( \vec{E} = \vec{F}/q_p \) описује силу по јединици наелектрисања, док потенцијал \( \varphi = E_p/q_p \) описује енергију. Напон је разлика потенцијала \( U = \varphi_1 - \varphi_2 \), а рад поља је \( A = q U \). За хомогено поље важи \( E = U/d \).
Проводници и диелектрици: У проводнику је \( E = 0 \) и све тачке су на истом потенцијалу. У диелектрику поларизација слаби поље на \( E_d = E/\varepsilon_r \).
Кондензатори: Складиште наелектрисање и енергију (\( C = q/U \), плочасти \( C = \varepsilon S/d \)). Еквивалентни капацитет се при паралелној вези сабира (\( C_e = \sum C_i \)), а при редној сабирају реципрочне вредности (\( 1/C_e = \sum 1/C_i \)). Енергија поља је \( E_p = \frac{1}{2}CU^2 \), са густином \( w = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 \).
Кулонов закон: Сила узајамног деловања два тачкаста наелектрисања \( F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \) опада са квадратом растојања и слаби у диелектрицима за фактор \( \varepsilon_r \).
Поље и потенцијал: Јачина поља \( \vec{E} = \vec{F}/q_p \) описује силу по јединици наелектрисања, док потенцијал \( \varphi = E_p/q_p \) описује енергију. Напон је разлика потенцијала \( U = \varphi_1 - \varphi_2 \), а рад поља је \( A = q U \). За хомогено поље важи \( E = U/d \).
Проводници и диелектрици: У проводнику је \( E = 0 \) и све тачке су на истом потенцијалу. У диелектрику поларизација слаби поље на \( E_d = E/\varepsilon_r \).
Кондензатори: Складиште наелектрисање и енергију (\( C = q/U \), плочасти \( C = \varepsilon S/d \)). Еквивалентни капацитет се при паралелној вези сабира (\( C_e = \sum C_i \)), а при редној сабирају реципрочне вредности (\( 1/C_e = \sum 1/C_i \)). Енергија поља је \( E_p = \frac{1}{2}CU^2 \), са густином \( w = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 \).
Електростатика је део физике који проучава наелектрисана тела која мирују и појаве у вези са њима.
Количина наелектрисања је физичка величина којом се мери наелектрисаност тела. Постоје две врсте наелектрисања: позитивно (протони) и негативно (електрони).
Количина наелектрисања означава се словом \( q \) (или \( Q \)).
Јединица количине наелектрисања у СИ систему је кулон (\( \text{C} \)).
Елементарно наелектрисање је најмања количина наелектрисања у природи (апсолутна вредност наелектрисања протона или електрона):
\[ e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \]
\[ q = n \cdot e \quad (n \in \mathbb{N}) \]
Наелектрисање тела је квантовано – увек је једнако целобројном умношку елементарног наелектрисања. Наелектрисању од \( 1\text{ C} \) одговара око \( 6,25 \cdot 10^{18} \) елементарних наелектрисања.
Закон одржања наелектрисања: Укупан број позитивних и негативних елементарних наелектрисања у изолованом физичком систему остаје непромењен. Наелектрисање се не може створити ни уништити, већ само прелази с једног тела на друго.
За утврђивање наелектрисаности тела и мерење користе се електроскоп (показује присуство наелектрисања размицањем листића) и електрометар (има казаљку и скалу за мерење количине наелектрисања).
Тачкасто наелектрисање је наелектрисано тело чије се димензије могу занемарити у односу на растојање до других тела.
Истоимена наелектрисања се одбијају (\( + + \) или \( - - \)), а разноимена се привлаче (\( + - \)).
\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
\( F \) – интензитет Кулонове силе [\( \text{N} \)], \( q_1, q_2 \) – количине наелектрисања [\( \text{C} \)], \( r \) – међусобно растојање [\( \text{m} \)].
Константа пропорционалности у вакууму (ваздуху) износи:
\[ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \, \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2} \]
где је \( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2} \) диелектрична пропустљивост (пермитивност) вакуума.
У материјалној средини пермитивност је \( \varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 \), где је \( \varepsilon_r \) релативна диелектрична пропустљивост средине, па је сила у средини \( \varepsilon_r \) пута мања него у вакууму:
\[ F = \frac{F_{\text{vakuum}}}{\varepsilon_r} \]
Принцип суперпозиције: Резултујућа сила која делује на једно наелектрисање од стране више других наелектрисања једнака је векторском збиру свих појединачних сила: \( \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n \).
Електрично поље је физичко поље које постоји у простору око сваког наелектрисаног тела и преко ког се преноси електростатичко деловање.
Линије силе служе за визуелни приказ поља:
- Извиру из позитивног, а увиру у негативно наелектрисање.
- Густина линија силе сразмерна је јачини поља.
- Кроз сваку тачку пролази само једна линија силе (не секу се).
\[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_p} \]
\( \vec{E} \) – јачина електричног поља, \( \vec{F} \) – сила која делује на позитивно пробно наелектрисање \( q_p \).
Јединица јачине електричног поља је њутн по кулону (\( \text{N/C} \)) или волт по метру (\( \text{V/m} \)).
\[ E = k \frac{|q|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|}{r^2} \]
Јачина поља тачкастог наелектрисања \( q \) на растојању \( r \).
Хомогено електрично поље има константан интензитет, правац и смер у свим тачкама (линије силе су паралелне и једнако размакнуте, нпр. између две наелектрисане плоче).
\[ \Phi = E S \cos\alpha \]
Флукс електричног поља \( \Phi \) кроз равну површину \( S \); \( \alpha \) је угао између вектора поља \( \vec{E} \) и нормале на површину \( \vec{S} \). Јединица: \( \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C} = \text{V}\cdot\text{m} \).
Електростатичка сила је конзервативна – рад силе при премештању наелектрисања не зависи од облика путање, већ само од почетног и крајњег положаја: \( A = -\Delta E_p = E_{p1} - E_{p2} \).
\[ E_p = k \frac{q_1 q_2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r} \]
Електростатичка потенцијална енергија два тачкаста наелектрисања на растојању \( r \) (за истоимена наелектрисања \( E_p > 0 \), за разноимена \( E_p < 0 \)).
Електрични потенцијал (\( \varphi \)) је скаларна физичка величина једнака количнику потенцијалне енергије и количине пробног наелектрисања:
\[ \varphi = \frac{E_p}{q_p} = k \frac{q}{r} \]
Потенцијал поља тачкастог наелектрисања \( q \) на растојању \( r \).
Јединица електричног потенцијала и напона је волт (\( 1\text{ V} = 1\text{ J}/1\text{ C} \)).
Еквипотенцијалне површине су површине чије све тачке имају исти потенцијал. Линије силе електричног поља су увек нормалне на еквипотенцијалне површине.
\[ U = \varphi_1 - \varphi_2 \]
\[ A = q U = q (\varphi_1 - \varphi_2) \]
Електрични напон (\( U \)) једнак је разлици потенцијала између две тачке поља. Рад \( A \) при премештању наелектрисања \( q \) једнак је производу тог наелектрисања и напона.
\[ E = -\frac{\Delta \varphi}{\Delta x} \quad \implies \quad E = \frac{U}{d} \text{ (за хомогено поље)} \]
Вектор \( \vec{E} \) је усмерен у смеру опадања потенцијала (од вишег ка нижем потенцијалу).
Електрични дипол је систем два једнака тачкаста наелектрисања супротног знака (\( +q \) и \( -q \)) на сталном растојању \( l \).
\[ \vec{p} = q \vec{l} \]
Диполни момент \( \vec{p} \) је вектор усмерен од негативног ка позитивном наелектрисању. Јединица: \( \text{C}\cdot\text{m} \). У хомогеном пољу на дипол делује спрег сила који тежи да га постави у правац линија поља.
Диелектрик (изолатор) у пољу:
Под дејством спољашњег поља долази до електричне поларизације (преоријентације молекуларних дипола). Настаје унутрашње индуковано поље \( \vec{E}_{ind} \) супротног смера, па се укупно поље унутар диелектрика смањује:
\[ E_d = E - E_{ind} = \frac{E}{\varepsilon_r} \]
Проводник у пољу:
Под дејством поља долази до електростатичке индукције (прерасподеле слободних електрона).
- Јачина електричног поља унутар проводника једнака је нули (\( E = 0 \)).
- Све тачке проводника имају исти потенцијал (површина и унутрашњост су еквипотенцијалне).
- Наелектрисање се распоређује искључиво по спољашњој површини проводника (електростатичка заштита – Фарадејев кавез).
Електрични капацитет проводника је сразмера између наелектрисања и његовог потенцијала:
\[ C = \frac{q}{\varphi} \]
Јединица капацитета је фарад (\( 1\text{ F} = 1\text{ C}/1\text{ V} \)). Користе се мање јединице: \( 1\mu\text{F} = 10^{-6}\text{F} \), \( 1\text{nF} = 10^{-9}\text{F} \), \( 1\text{pF} = 10^{-12}\text{F} \).
Плочасти кондензатор чине две паралелне проводне плоче површине \( S \) на растојању \( d \):
\[ C = \frac{q}{U} = \varepsilon \frac{S}{d} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \]
Паралелна веза кондензатора:
Напон је исти на свим кондензаторима (\( U = \text{const} \)), а укупно наелектрисање је \( q = q_1 + q_2 + \dots + q_n \). \[ C_e = C_1 + C_2 + \dots + C_n \]
Напон је исти на свим кондензаторима (\( U = \text{const} \)), а укупно наелектрисање је \( q = q_1 + q_2 + \dots + q_n \). \[ C_e = C_1 + C_2 + \dots + C_n \]
Редна веза кондензатора:
Наелектрисање је исто на свим кондензаторима (\( q = \text{const} \)), а укупан напон је \( U = U_1 + U_2 + \dots + U_n \). \[ \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \]
Наелектрисање је исто на свим кондензаторима (\( q = \text{const} \)), а укупан напон је \( U = U_1 + U_2 + \dots + U_n \). \[ \frac{1}{C_e} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \]
Рад утрошен на наелектрисавање кондензатора претвара се у енергију електричног поља унутар њега.
\[ E_p = \frac{1}{2} q U = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{q^2}{2C} \]
Енергија електричног поља наелектрисаног кондензатора.
\[ w = \frac{E_p}{V} = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 \]
Запреминска густина енергије хомогеног електричног поља (енергија по јединици запремине \( V = S \cdot d \)). Јединица: \( \text{J/m}^3 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело има вишак од \( 5 \cdot 10^{13} \) електрона. Колика је укупна количина наелектрисања тог тела?
Користимо формулу квантованости наелектрисања:
\[ q = n \cdot e \]
Пошто се ради о вишку електрона, тело је наелектрисано негативно:
\[ q = 5 \cdot 10^{13} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C} = 8 \cdot 10^{-6}\text{ C} = 8\ \mu\text{C} \]
Одговор: Количина наелектрисања тела је \( -8\ \mu\text{C} \).
Задатак 2 (средњи): Два тачкаста наелектрисања \( q_1 = +4\ \mu\text{C} \) и \( q_2 = -2\ \mu\text{C} \) налазе се у вакууму на међусобном растојању од \( 30\text{ cm} \). Коликом силом ова тела међусобно делују и каквог је карактера та сила? (\( k = 9 \cdot 10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 \))
Подаци: \( q_1 = 4 \cdot 10^{-6}\text{ C} \), \( q_2 = 2 \cdot 10^{-6}\text{ C} \), \( r = 0,3\text{ m} \).
Примењујемо Кулонов закон: \[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{(0,3)^2} \] \[ F = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{8 \cdot 10^{-12}}{0,09} = \frac{72 \cdot 10^{-3}}{0,09} = 0,8\text{ N} \] Пошто су наелектрисања супротног знака, сила је привлачна.
Одговор: Сила је привлачна и износи \( 0,8\text{ N} \).
Примењујемо Кулонов закон: \[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{(0,3)^2} \] \[ F = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{8 \cdot 10^{-12}}{0,09} = \frac{72 \cdot 10^{-3}}{0,09} = 0,8\text{ N} \] Пошто су наелектрисања супротног знака, сила је привлачна.
Одговор: Сила је привлачна и износи \( 0,8\text{ N} \).
Задатак 3 (средњи): Колики је еквивалентни капацитет система који се састоји од два редно везана кондензатора капацитета \( C_1 = 3\ \mu\text{F} \) и \( C_2 = 6\ \mu\text{F} \), на који је паралелно прикључен трећи кондензатор \( C_3 = 4\ \mu\text{F} \)?
1. Налазимо еквивалентни капацитет редне везе кондензатора \( C_1 \) и \( C_2 \):
\[ \frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies C_{12} = 2\ \mu\text{F} \]
2. Ова група је паралелно везана са кондензатором \( C_3 \):
\[ C_e = C_{12} + C_3 = 2\ \mu\text{F} + 4\ \mu\text{F} = 6\ \mu\text{F} \]
Одговор: Укупан еквивалентни капацитет је \( 6\ \mu\text{F} \).
Задатак 4 (тежак): Плочасти ваздушни кондензатор површине плоча \( S = 200\text{ cm}^2 \) на растојању \( d = 2\text{ mm} \) прикључен је на напон \( U = 200\text{ V} \). Израчунати јачину електричног поља између плоча, количину наелектрисања и енергију поља у кондензатору. (\( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}\ \text{F/m} \))
Подаци: \( S = 200 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2 = 0,02\text{ m}^2 \), \( d = 2 \cdot 10^{-3}\text{ m} \), \( U = 200\text{ V} \), \( \varepsilon_r = 1 \).
1. Јачина електричног поља: \[ E = \frac{U}{d} = \frac{200\text{ V}}{2 \cdot 10^{-3}\text{ m}} = 10^5\text{ V/m} = 100\text{ kV/m} \] 2. Капацитет кондензатора: \[ C = \varepsilon_0 \frac{S}{d} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{0,02}{2 \cdot 10^{-3}} = 88,5 \cdot 10^{-12}\text{ F} = 88,5\text{ pF} \] 3. Количина наелектрисања: \[ q = C U = 88,5 \cdot 10^{-12}\text{ F} \cdot 200\text{ V} = 17,7 \cdot 10^{-9}\text{ C} = 17,7\text{ nC} \] 4. Енергија електричног поља: \[ E_p = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot 88,5 \cdot 10^{-12}\text{ F} \cdot (200\text{ V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 88,5 \cdot 10^{-12} \cdot 40000 = 1,77 \cdot 10^{-6}\text{ J} = 1,77\ \mu\text{J} \] Одговор: \( E = 100\text{ kV/m} \), \( q = 17,7\text{ nC} \), \( E_p = 1,77\ \mu\text{J} \).
1. Јачина електричног поља: \[ E = \frac{U}{d} = \frac{200\text{ V}}{2 \cdot 10^{-3}\text{ m}} = 10^5\text{ V/m} = 100\text{ kV/m} \] 2. Капацитет кондензатора: \[ C = \varepsilon_0 \frac{S}{d} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{0,02}{2 \cdot 10^{-3}} = 88,5 \cdot 10^{-12}\text{ F} = 88,5\text{ pF} \] 3. Количина наелектрисања: \[ q = C U = 88,5 \cdot 10^{-12}\text{ F} \cdot 200\text{ V} = 17,7 \cdot 10^{-9}\text{ C} = 17,7\text{ nC} \] 4. Енергија електричног поља: \[ E_p = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot 88,5 \cdot 10^{-12}\text{ F} \cdot (200\text{ V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 88,5 \cdot 10^{-12} \cdot 40000 = 1,77 \cdot 10^{-6}\text{ J} = 1,77\ \mu\text{J} \] Одговор: \( E = 100\text{ kV/m} \), \( q = 17,7\text{ nC} \), \( E_p = 1,77\ \mu\text{J} \).
