Најважније из лекције
Видни угао и увећање: Привидна величина тела зависи од видног угла \(\varphi \approx \frac{y}{a}\). Угаоно увећање је \(U = \frac{\text{tg}\,\varphi''}{\text{tg}\,\varphi}\). Стандардна даљина јасног вида је \(d_{\text{v}} = 25\text{ cm}\).
Око: Сабирни систем јачине \(\approx 60\text{ dpt}\) који ствара реалан, обрнут и умањен лик на мрежњачи. Акомодацијом мења жижну даљину.
Лупа: Једно сабирно сочиво, \(U = \frac{d_{\text{v}}}{f}\).
Микроскоп: Два сабирна сочива (објектив и окулар), \(U = \frac{\Delta \cdot d_{\text{v}}}{f_1 \cdot f_2}\).
Телескоп: Систем за удаљене објекте, \(U = \frac{f_1}{f_2}\), дужина цеви \(L = f_1 + f_2\).
Око: Сабирни систем јачине \(\approx 60\text{ dpt}\) који ствара реалан, обрнут и умањен лик на мрежњачи. Акомодацијом мења жижну даљину.
Лупа: Једно сабирно сочиво, \(U = \frac{d_{\text{v}}}{f}\).
Микроскоп: Два сабирна сочива (објектив и окулар), \(U = \frac{\Delta \cdot d_{\text{v}}}{f_1 \cdot f_2}\).
Телескоп: Систем за удаљене објекте, \(U = \frac{f_1}{f_2}\), дужина цеви \(L = f_1 + f_2\).
Оптички инструменти су уређаји састављени од оптичких елемената (сочива, огледала, призми) којима се проширују границе непосредног визуелног опажања предмета. Деле се на:
- Инструменте за субјективно посматрање: омогућавају оку да види предмет под већим углом (лупа, микроскоп, дурбин/телескоп);
- Апарате за објективно посматрање: формирају реалан лик на застору, филму или дигиталном сензору (фото-апарати, пројектори, спектрометри).
Видни угао (\(\varphi\)) је угао под којим се предмет види и он одређује привидну величину предмета (величину лика на мрежњачи):
\[ \varphi \approx \text{tg}\,\varphi = \frac{y}{a} = \frac{y''}{a_0} \]
\(y\) – величина предмета, \(a\) – удаљеност предмета, \(y''\) – величина лика на мрежњачи, \(a_0\) – удаљеност мрежњаче од очног сочива.
Даљина јасног вида (\(d_{\text{v}}\)) је конвенционално одстојање на којем нормално око у ненапрегнутом стању види предмет под највећим углом: \(d_{\text{v}} = 25\text{ cm}\).
Гранични угао раздвајања ока представља најмањи видни угао при којем око још увек разазнаје две тачке одвојено: \(\varphi_{\text{gr}} = 1' = 2,9 \cdot 10^{-4}\text{ rad}\) (за суседне линије \(\varphi_{\text{n}} = 10'' = 4,8 \cdot 10^{-5}\text{ rad}\)).
Угаоно увећање (\(U\)) је однос привидне величине лика виђеног кроз инструмент и привидне величине предмета посматраног голим оком:
\[ U = \frac{\text{tg}\,\varphi''}{\text{tg}\,\varphi} \]
\(\varphi''\) – видни угао лика кроз инструмент, \(\varphi\) – видни угао предмета на даљини јасног вида без инструмента.
Око је сложени оптички систем чији су главни делови: рожњача, дужица (ирис), зеница, сочиво, стакласто тело и мрежњача са жутом мрљом. Очно сочиво формира реалан, обрнут и умањен лик на мрежњачи.
Укупна оптичка јачина нормалног ока износи приближно \(60\text{ dpt}\) (рожњача доприноси са \(43\text{ dpt}\), а очно сочиво са \(17\text{ dpt}\)). Индекс преламања очне водице и стакластог тела износи \(n = 1,336\).
Акомодација је способност ока да деловањем очних мишића мења закривљеност (жижну даљину) очног сочива ради оштрог фокусирања предмета на различитим удаљеностима:
- Посматрање у даљину: очни мишићи су опуштени, сочиво је тање (већа жижна даљина);
- Посматрање блиских предмета: очни мишићи се грче, сочиво постаје дебље и закривљеније (мања жижна даљина, већа оптичка јачина).
Осетљивост ока на светлост:
- Фотоптичко виђење (дневно): активно при јаком светлу (чепићи), са максимумом осетљивости на таласној дужини \(\lambda = 555\text{ nm}\);
- Скотоптичко виђење (ноћно): активно у мраку (штапићи), са максимумом осетљивости на \(\lambda = 507\text{ nm}\).
Код кратковидог ока даљина јасног вида је мања од \(25\text{ cm}\) (нпр. \(15\text{ cm}\)), док је код далековиде особе она већа од \(25\text{ cm}\) (нпр. \(50\text{ cm}\) или више) и коригује се сабирним сочивима.
Лупа је сабирно сочиво мале жижне даљине које се поставља испред ока тако да се посматрани предмет налази између жиже и сочива (\(p \lesssim f\)).
Лупа даје увећан, усправан и имагинаран лик на даљини јасног вида или већој.
\[ U = \frac{d_{\text{v}}}{f} = \frac{0,25\text{ m}}{f} \]
\(d_{\text{v}} = 25\text{ cm}\) – даљина јасног вида, \(f\) – жижна даљина лупе.
За лупу жижне даљине \(f = 5\text{ cm}\):
\[ U = \frac{25\text{ cm}}{5\text{ cm}} = 5 \]
Лик се види под 5 пута већим видним углом него голим оком.
Једноставна лупа даје увећања до око \(5\times\). Системи сабирних сочива са корекцијом аберација могу достићи увећање до око \(25\times\) (\(f = 1\text{ cm}\)). За већа увећања користи се микроскоп.
Микроскоп је оптички систем састављен од два сабирна сочива постављена на крајевима цеви (тубуса):
- Објектив: сабирно сочиво мале жижне даљине (\(f_1\), неколико милиметара) окренуто ка предмету; даје реалан, обрнут и увећан међулик;
- Окулар: сабирно сочиво (\(f_2\), неколико центиметара) које има улогу лупе и посматра међулик, формирајући коначан имагинаран, обрнут и знатно увећан лик.
\[ U = \frac{\Delta \cdot d_{\text{v}}}{f_1 \cdot f_2} \]
\(\Delta\) – оптички интервал (растојање између жиже лика објектива и жиже предмета окулара, типично \(15\text{--}20\text{ cm}\)), \(d_{\text{v}} = 25\text{ cm}\), \(f_1\) – жижна даљина објектива, \(f_2\) – жижна даљина окулара.
Микроскопи могу остварити теоријска увећања од 2500 до 3000 пута, али је максимално корисно увећање око \(1000\times\) услед дифракције светлости.
Телескопи су оптички уређаји за посматрање веома удаљених предмета. Према конструкцији објектива деле се на:
- Рефракционе телескопе (диоптричке): објектив је сабирно сочиво велике жижне даљине;
- Рефлектујуће телескопе (катадиоптричке/огледалске): објектив је велико конкавно сферно или параболично огледало (Њутнов или Касегренов тип).
\[ U = \frac{f_1}{f_2} \]
\(f_1\) – жижна даљина објектива, \(f_2\) – жижна даљина окулара.
Дужина дурбинског система (\(L\)): Када се раван лика објектива поклапа са равни предмета окулара (нулти оптички интервал), дужина телескопа једнака је збиру жижних даљина:
\[ L = f_1 + f_2 \]
- Астрономски (Кеплеров) телескоп: даје увећан, имагинаран и обрнут лик.
- Галилејев дурбин: користи расипно сочиво као окулар; даје усправан лик, погодан за земаљска посматрања.
- Двоглед: два дурбина спојена паралелно са системом призми за исправљање слике и стварање просторног (стереоскопског) вида.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Жижна даљина сабирног сочива које се користи као лупа износи \(f = 2,5\text{ cm}\). Колико је угаоно увећање ове лупе ако је даљина јасног вида \(d_{\text{v}} = 25\text{ cm}\)?
Увећање лупе се рачуна по формули:
\[ U = \frac{d_{\text{v}}}{f} \]
Заменом вредности добијамо:
\[ U = \frac{25\text{ cm}}{2,5\text{ cm}} = 10 \]
Одговор: Угаоно увећање лупе је \(10\times\).
Задатак 2 (средњи): Жижна даљина објектива астрономског рефрактора је \(f_1 = 1,8\text{ m}\), а жижна даљина окулара \(f_2 = 1,5\text{ cm}\). Одредити:
а) увећање телескопа;
б) дужину цеви (растојање између објектива и окулара).
а) увећање телескопа;
б) дужину цеви (растојање између објектива и окулара).
Претворимо податке у исте јединице: \(f_1 = 180\text{ cm}\), \(f_2 = 1,5\text{ cm}\).
а) Увећање телескопа је: \[ U = \frac{f_1}{f_2} = \frac{180\text{ cm}}{1,5\text{ cm}} = 120 \] б) Дужина система износи: \[ L = f_1 + f_2 = 180\text{ cm} + 1,5\text{ cm} = 181,5\text{ cm} = 1,815\text{ m} \] Одговор: Увећање телескопа је \(120\times\), а дужина цеви \(1,815\text{ m}\).
а) Увећање телескопа је: \[ U = \frac{f_1}{f_2} = \frac{180\text{ cm}}{1,5\text{ cm}} = 120 \] б) Дужина система износи: \[ L = f_1 + f_2 = 180\text{ cm} + 1,5\text{ cm} = 181,5\text{ cm} = 1,815\text{ m} \] Одговор: Увећање телескопа је \(120\times\), а дужина цеви \(1,815\text{ m}\).
Задатак 3 (средњи): Оптички интервал микроскопа износи \(\Delta = 16\text{ cm}\). Жижна даљина објектива је \(f_1 = 4\text{ mm}\), а окулара \(f_2 = 2\text{ cm}\). Израчунати укупно угаоно увећање микроскопа.
Ускладимо мерне јединице: \(\Delta = 160\text{ mm}\), \(d_{\text{v}} = 250\text{ mm}\), \(f_1 = 4\text{ mm}\), \(f_2 = 20\text{ mm}\).
Формула за увећање микроскопа је: \[ U = \frac{\Delta \cdot d_{\text{v}}}{f_1 \cdot f_2} \] Заменом бројних вредности: \[ U = \frac{160 \cdot 250}{4 \cdot 20} = \frac{40\,000}{80} = 500 \] Одговор: Увећање микроскопа износи \(500\times\).
Формула за увећање микроскопа је: \[ U = \frac{\Delta \cdot d_{\text{v}}}{f_1 \cdot f_2} \] Заменом бројних вредности: \[ U = \frac{160 \cdot 250}{4 \cdot 20} = \frac{40\,000}{80} = 500 \] Одговор: Увећање микроскопа износи \(500\times\).
Задатак 4 (тежак): Далековиде особе имају блиску тачку јасног вида на удаљености \(l = 1\text{ m}\). Колика мора бити оптичка јачина корективног сочива како би особа могла јасно да чита текст на стандардној даљини јасног вида од \(p = 0,25\text{ m}\)?
Сочиво треба да од предмета постављеног на \(p = 0,25\text{ m}\) направи имагинаран лик на даљини од \(l = -1\text{ m}\) (испред ока):
По једначини танког сочива: \[ D = \frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{l} \] Заменом вредности: \[ D = \frac{1}{0,25\text{ m}} + \frac{1}{-1\text{ m}} = 4\text{ m}^{-1} - 1\text{ m}^{-1} = +3\text{ dpt} \] Одговор: Потребно је сабирно сочиво оптичке јачине \(+3\text{ диоптрије}\).
По једначини танког сочива: \[ D = \frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{l} \] Заменом вредности: \[ D = \frac{1}{0,25\text{ m}} + \frac{1}{-1\text{ m}} = 4\text{ m}^{-1} - 1\text{ m}^{-1} = +3\text{ dpt} \] Одговор: Потребно је сабирно сочиво оптичке јачине \(+3\text{ диоптрије}\).
