Најважније из лекције
Хармонијско осциловање настаје под дејством реституционе силе \( F = -kx \).
Основна кинематичка једначина: \( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0) \).
Брзина и убрзање: \( v_{\text{max}} = \omega A \) (у равнотежи), \( a_{\text{max}} = \omega^2 A \) (у амплитуди); важи \( a = -\omega^2 x \).
Период осцилатора са опругом: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \) (изохроно кретање – независно од амплитуде \( A \)).
Основна кинематичка једначина: \( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0) \).
Брзина и убрзање: \( v_{\text{max}} = \omega A \) (у равнотежи), \( a_{\text{max}} = \omega^2 A \) (у амплитуди); важи \( a = -\omega^2 x \).
Период осцилатора са опругом: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \) (изохроно кретање – независно од амплитуде \( A \)).
Периодично кретање је кретање које се после одређеног временског интервала (периода \( T \)) понавља на истоветан начин.
Осцилаторно кретање је периодично кретање тела око равнотежног положаја између два амплитудна положаја у којима се тело зауставља и мења смер.
Хармонијске осцилације су осцилације које се описују простим тригонометријским (хармонијским) функцијама (синус или косинус).
Елонгација (\( x \)): Удаљеност тела од равнотежног положаја у произвољном тренутку времена.
Амплитуда (\( A \) или \( x_0 \)): Највећа (максимална) удаљеност тела од равнотежног положаја.
\[ T = \frac{t}{n} \qquad \nu = \frac{1}{T} = \frac{n}{t} \qquad \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T} \]
\( T \) – период осциловања (\( \text{s} \)); \( \nu \) – фреквенција / учестаност (\( \text{Hz} = \text{s}^{-1} \)); \( \omega \) – кружна учестаност (\( \text{rad/s} \)); \( n \) – број осцилација за време \( t \).
Тело изврши 120 пуних осцилација за један минут. Израчунати период, фреквенцију и кружну учестаност осциловања.
Дато је: \( n = 120 \), \( t = 60\text{ s} \).
Период: \( T = \frac{t}{n} = \frac{60\text{ s}}{120} = 0{,}5\text{ s} \).
Фреквенција: \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5\text{ s}} = 2\text{ Hz} \).
Кружна учестаност: \( \omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 2\text{ s}^{-1} = 4\pi\text{ rad/s} \approx 12{,}57\text{ rad/s} \).
Период: \( T = \frac{t}{n} = \frac{60\text{ s}}{120} = 0{,}5\text{ s} \).
Фреквенција: \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5\text{ s}} = 2\text{ Hz} \).
Кружна учестаност: \( \omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 2\text{ s}^{-1} = 4\pi\text{ rad/s} \approx 12{,}57\text{ rad/s} \).
\[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0) \]
\[ v(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi_0) = -v_0 \sin(\omega t + \varphi_0) \]
\[ a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi_0) = -a_0 \cos(\omega t + \varphi_0) \]
\( (\omega t + \varphi_0) \) – фаза осциловања; \( \varphi_0 \) – почетна фаза у тренутку \( t = 0 \).
Амплитудне (максималне) вредности брзине и убрзања:
• Максимална брзина: \( v_0 = \omega A \) (достиже се при проласку кроз равнотежни положај \( x = 0 \)).
• Максимално убрзање: \( a_0 = \omega^2 A \) (достиже се у амплитудним положајима \( x = \pm A \)).
• Максимална брзина: \( v_0 = \omega A \) (достиже се при проласку кроз равнотежни положај \( x = 0 \)).
• Максимално убрзање: \( a_0 = \omega^2 A \) (достиже се у амплитудним положајима \( x = \pm A \)).
Фазних односи:
• Брзина фазно предњачи у односу на елонгацију за \( \frac{\pi}{2} \) (или \( \frac{T}{4} \)).
• Убрзање је у противфази са елонгацијом (фазни помак је \( \pi \) односно \( \frac{T}{2} \)).
• Брзина фазно предњачи у односу на елонгацију за \( \frac{\pi}{2} \) (или \( \frac{T}{4} \)).
• Убрзање је у противфази са елонгацијом (фазни помак је \( \pi \) односно \( \frac{T}{2} \)).
Реституциона (повратна) сила је сила која увек тежи да врати тело у равнотежни положај. Код еластичне опруге она је сразмерна елонгацији:
\[ F = -k x \]
где је \( k \) коефицијент еластичности (реституциона константа). Знак минус означава да је сила супротно усмерена од вектора помераја (елонгације).
Диференцијална једначина кретања (Други Њутнов закон):
\[ m a = -k x \implies a = -\frac{k}{m} x \implies a = -\omega^2 x \quad \text{односно} \quad a + \omega^2 x = 0 \]
Кружна учестаност и период хармонијског осцилатора на опрузи:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
Изохроност осциловања: Период осциловања \( T \) зависи искључиво од масе тела \( m \) и крутости система \( k \), а не зависи од амплитуде осциловања \( A \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело масе \( 0{,}1\text{ kg} \) осцилује на еластичној опрузи крутости \( 40\text{ N/m} \). Колика је кружна учестаност осциловања тог тела?
Користимо формулу за кружну учестаност:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{40\text{ N/m}}{0{,}1\text{ kg}}} = \sqrt{400} = 20\text{ rad/s} \]
Одговор: Кружна учестаност износи \( 20\text{ rad/s} \).
Задатак 2 (средњи): Осцилатор се креће по закону \( x(t) = 0{,}05 \cos(10\pi t)\text{ m} \). Одредити:
а) амплитуду, период и фреквенцију осциловања;
б) максималну брзину и максимално убрзање осцилатора.
а) амплитуду, период и фреквенцију осциловања;
б) максималну брзину и максимално убрзање осцилатора.
Упоређивањем са општим обликом \( x(t) = A \cos(\omega t) \):
а)
• Амплитуда: \( A = 0{,}05\text{ m} = 5\text{ cm} \)
• Кружна фреквенција: \( \omega = 10\pi\text{ rad/s} \)
• Период: \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0{,}2\text{ s} \)
• Фреквенција: \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}2\text{ s}} = 5\text{ Hz} \)
б)
• Максимална брзина: \( v_0 = \omega A = 10\pi \cdot 0{,}05 = 0{,}5\pi\text{ m/s} \approx 1{,}57\text{ m/s} \)
• Максимално убрзање: \( a_0 = \omega^2 A = (10\pi)^2 \cdot 0{,}05 = 100\pi^2 \cdot 0{,}05 = 5\pi^2\text{ m/s}^2 \approx 49{,}35\text{ m/s}^2 \)
а)
• Амплитуда: \( A = 0{,}05\text{ m} = 5\text{ cm} \)
• Кружна фреквенција: \( \omega = 10\pi\text{ rad/s} \)
• Период: \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0{,}2\text{ s} \)
• Фреквенција: \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}2\text{ s}} = 5\text{ Hz} \)
б)
• Максимална брзина: \( v_0 = \omega A = 10\pi \cdot 0{,}05 = 0{,}5\pi\text{ m/s} \approx 1{,}57\text{ m/s} \)
• Максимално убрзање: \( a_0 = \omega^2 A = (10\pi)^2 \cdot 0{,}05 = 100\pi^2 \cdot 0{,}05 = 5\pi^2\text{ m/s}^2 \approx 49{,}35\text{ m/s}^2 \)
Задатак 3 (тежи): Тело масе \( 0{,}5\text{ kg} \) осцилује на опрузи крутости \( 200\text{ N/m} \) амплитудом \( 4\text{ cm} \). Колики је интензитет убрзања и реституционе силе у тренутку када се тело налази на удаљености \( 2\text{ cm} \) од равнотежног положаја?
Дато је: \( m = 0{,}5\text{ kg} \), \( k = 200\text{ N/m} \), \( x = 0{,}02\text{ m} \).
1. Интензитет повратне (реституционе) силе: \[ F = k \cdot |x| = 200\text{ N/m} \cdot 0{,}02\text{ m} = 4\text{ N} \]
2. Убрзање тела можемо израчунати преко Другог Њутновог закона (\( a = \frac{F}{m} \)) или релације \( a = \omega^2 x \): \[ \omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{200}{0{,}5} = 400\text{ s}^{-2} \] \[ |a| = \omega^2 |x| = 400\text{ s}^{-2} \cdot 0{,}02\text{ m} = 8\text{ m/s}^2 \] Одговор: Интензитет силе је \( 4\text{ N} \), а убрзање је \( 8\text{ m/s}^2 \).
1. Интензитет повратне (реституционе) силе: \[ F = k \cdot |x| = 200\text{ N/m} \cdot 0{,}02\text{ m} = 4\text{ N} \]
2. Убрзање тела можемо израчунати преко Другог Њутновог закона (\( a = \frac{F}{m} \)) или релације \( a = \omega^2 x \): \[ \omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{200}{0{,}5} = 400\text{ s}^{-2} \] \[ |a| = \omega^2 |x| = 400\text{ s}^{-2} \cdot 0{,}02\text{ m} = 8\text{ m/s}^2 \] Одговор: Интензитет силе је \( 4\text{ N} \), а убрзање је \( 8\text{ m/s}^2 \).
