Најважније из лекције
Слагање истих учестаности: Резултујуће кретање је хармонијско, амплитуде \(A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}\). За \(\Delta\varphi = 0\) амплитуде се сабирају (\(A_1+A_2\)), а за \(\Delta\varphi = \pi\) одузимају (\(|A_1-A_2|\)).
Избијања (пулсирања): Настају слагањем осцилација блиских учестаности (\(\omega_1 \approx \omega_2\)). Резултујућа амплитуда споро периодично пулсира учестаношћу \(\omega_A = \frac{|\omega_2 - \omega_1|}{2}\).
Модулација: Утискивање нискофреквентног информационог сигнала у високофреквентни носећи сигнал (АМ – амплитудна, ФМ – фреквентна, фазна).
Лисажуове фигуре: Путање које настају слагањем узајамно нормалних осцилација у равни; облик им зависи од односа фреквенција, амплитуда и фазне разлике.
Хармонијска анализа и спектар: Свако периодично осциловање може се Фуријеовим редом представити као збир синусних и косинусних хармоника. Спектар представља графички приказ амплитуда у функцији учестаности хармоника.
Избијања (пулсирања): Настају слагањем осцилација блиских учестаности (\(\omega_1 \approx \omega_2\)). Резултујућа амплитуда споро периодично пулсира учестаношћу \(\omega_A = \frac{|\omega_2 - \omega_1|}{2}\).
Модулација: Утискивање нискофреквентног информационог сигнала у високофреквентни носећи сигнал (АМ – амплитудна, ФМ – фреквентна, фазна).
Лисажуове фигуре: Путање које настају слагањем узајамно нормалних осцилација у равни; облик им зависи од односа фреквенција, амплитуда и фазне разлике.
Хармонијска анализа и спектар: Свако периодично осциловање може се Фуријеовим редом представити као збир синусних и косинусних хармоника. Спектар представља графички приказ амплитуда у функцији учестаности хармоника.
Када тело истовремено врши два хармонијска осциловања истог правца и једнаких кружних учестаности (\(\omega_1 = \omega_2 = \omega\)), резултујуће кретање је такође хармонијско осциловање исте учестаности: \(x = x_1 + x_2 = A \cos(\omega t + \varphi_0)\).
\[ A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\varphi_{02} - \varphi_{01}) \]
Резултујућа амплитуда зависи од амплитуда појединачних осцилација и њихове фазне разлике \(\Delta\varphi = \varphi_{02} - \varphi_{01}\).
Вредност резултујуће амплитуде \(A\) увек се налази у интервалу:
\[ |A_1 - A_2| \leq A \leq A_1 + A_2 \]
- Максимална амплитуда (\(A = A_1 + A_2\)): јавља се када су осцилације у фази (\(\Delta\varphi = 0\)).
- Минимална амплитуда (\(A = |A_1 - A_2|\)): јавља се када су осцилације у противфази (\(\Delta\varphi = \pi\)). Ако је \(A_1 = A_2\), долази до потпуног поништавања (\(A = 0\)).
Два кохерентна осциловања истих амплитуда \(A_1 = A_2 = 4\text{ cm}\) врше се дуж истог правца. Колика је резултујућа амплитуда ако је фазна разлика \(\Delta\varphi = \frac{\pi}{3}\)?
Применом формуле за резултујућу амплитуду:
\[ A^2 = 4^2 + 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 16 + 16 + 32 \cdot 0{,}5 = 48 \]
\[ A = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \approx 6{,}93\text{ cm} \]
Избијање (пулсирање) је сложено осцилаторно кретање које настаје слагањем два хармонијска осциловања истог правца, једнаких амплитуда \(A\) и почетних фаза, чије се кружне учестаности врло мало разликују (\(\omega_2 - \omega_1 \ll \omega_1 + \omega_2\)).
\[ x(t) = \underbrace{2A \cos\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t\right)}_{A(t)} \cdot \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t + \varphi_0\right) \]
Резултујуће осциловање има променљиву амплитуду \(A(t)\) и средњу кружну учестаност \(\omega_{\text{sr}} = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}\).
Пошто је учестаност промене амплитуде \(\omega_A = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2}\) знатно мања од основних учестаности, период промене амплитуде \(T_A = \frac{4\pi}{\omega_2 - \omega_1}\) је веома велики. Због тога резултујуће осциловање периодично слаби и појачава се.
Ако звучне виљушке производе тонове фреквенција \(440\text{ Hz}\) и \(442\text{ Hz}\), чуће се тон средње фреквенције \(441\text{ Hz}\) чија се јачина периодично мења (пулсира) фреквенцијом избијања од \(|442 - 440| = 2\text{ Hz}\).
Модулација је поступак слагања нискофреквентних осцилација (корисни сигнал) и високофреквентних осцилација (носилац) ради преноса информација (звука, слике, података) на велике удаљености.
Врсте модулације у зависности од параметра носећег сигнала који се мења:
- Амплитудна модулација (АМ): промена амплитуде високофреквентног сигнала у ритму корисног сигнала.
- Фреквентна модулација (ФМ): промена фреквенције носећег сигнала.
- Фазна модулација: промена почетне фазе носећег сигнала.
Када материјална тачка истовремено осцилује у два међусобно нормална правца (дуж \(x\) и \(y\) осе), она се креће по одређеној путањи у равни.
Лисажуове фигуре су затворене криве линије које описује тело при слагању узајамно нормалних хармонијских осцилација. Њихов облик зависи од:
- односа кружних учестаности (\(\omega_x : \omega_y\)),
- односа амплитуда (\(A_x : A_y\)),
- фазне разлике између осциловања (\(\Delta\varphi\)).
Једначина путање се добија елиминацијом времена \(t\) из параметарских једначина кретања \(x(t)\) и \(y(t)\).
Фуријеова теорема: Свако сложено периодично осциловање \(x = f(\omega t)\) може се разложити на бесконачан збир простих хармонијских осцилација (хармоника) са учестаностима које су целобројни умношци основне учестаности.
\[ x(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin(n\omega t) \]
Овај тригонометријски развој назива се Фуријеов ред, а сам поступак хармонијска анализа.
- За парне периодичне функције користе се искључиво косинусни чланови са коефицијентима \(A_n\).
- За непарне периодичне функције (нпр. четвртасти импулси) користе се синусни чланови са коефицијентима \(B_n\).
Спектар осцилација је дијаграм (хистограм) који приказује расподелу амплитуда појединих хармоника (\(A_n, B_n\)) у функцији њихових фреквенција односно кружних учестаности (\(n\omega\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело истовремено учествује у два осциловања истог правца и фреквенције са амплитудама \(A_1 = 5\text{ cm}\) и \(A_2 = 3\text{ cm}\). Колика је резултујућа амплитуда ако су осцилације:
а) у фази,
б) у противфази?
а) у фази,
б) у противфази?
а) Када су осцилације у фази (\(\Delta\varphi = 0\)):
\[ A_{\max} = A_1 + A_2 = 5\text{ cm} + 3\text{ cm} = 8\text{ cm} \]
б) Када су осцилације у противфази (\(\Delta\varphi = \pi\)):
\[ A_{\min} = |A_1 - A_2| = |5\text{ cm} - 3\text{ cm}| = 2\text{ cm} \]
Задатак 2 (средњи): Два хармонијска осциловања истог правца дата су једначинама \(x_1 = 3 \cos(\omega t)\text{ cm}\) и \(x_2 = 4 \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)\text{ cm}\). Одредити амплитуду резултујућег осциловања.
Фазна разлика између осциловања је \(\Delta\varphi = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}\).
Примењујемо формулу за амплитуду резултујућег осциловања: \[ A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \] Пошто је \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\): \[ A^2 = 3^2 + 4^2 + 0 = 9 + 16 = 25 \] \[ A = \sqrt{25} = 5\text{ cm} \]
Примењујемо формулу за амплитуду резултујућег осциловања: \[ A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \] Пошто је \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\): \[ A^2 = 3^2 + 4^2 + 0 = 9 + 16 = 25 \] \[ A = \sqrt{25} = 5\text{ cm} \]
Задатак 3 (средњи): Слагањем два хармонијска осциловања блиских кружних учестаности настаје избијање описано једначином \(x = 2 \cos(4t) \cos(100t)\text{ cm}\). Одредити:
а) кружне учестаности појединачних осциловања \(\omega_1\) и \(\omega_2\),
б) максималну амплитуду осциловања.
а) кружне учестаности појединачних осциловања \(\omega_1\) и \(\omega_2\),
б) максималну амплитуду осциловања.
Упоређивањем дате једначине са општим обликом избијања \(x = 2A \cos\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}t\right) \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)\):
а) Имамо систем једначина: \[ \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} = 4 \implies \omega_2 - \omega_1 = 8\text{ rad/s} \] \[ \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} = 100 \implies \omega_1 + \omega_2 = 200\text{ rad/s} \] Сабирањем једначина добијамо: \[ 2\omega_2 = 208 \implies \omega_2 = 104\text{ rad/s} \] \[ \omega_1 = 200 - 104 = 96\text{ rad/s} \] б) Пошто је \(2A = 2\text{ cm}\), максимална амплитуда избијања је \(A_{\max} = 2\text{ cm}\).
а) Имамо систем једначина: \[ \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} = 4 \implies \omega_2 - \omega_1 = 8\text{ rad/s} \] \[ \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} = 100 \implies \omega_1 + \omega_2 = 200\text{ rad/s} \] Сабирањем једначина добијамо: \[ 2\omega_2 = 208 \implies \omega_2 = 104\text{ rad/s} \] \[ \omega_1 = 200 - 104 = 96\text{ rad/s} \] б) Пошто је \(2A = 2\text{ cm}\), максимална амплитуда избијања је \(A_{\max} = 2\text{ cm}\).
Задатак 4 (тежак): Четвртасти периодични сигнал апроксимиран је помоћу прва три члана Фуријеовог реда: \(x(t) = \sin(20\pi t) + \frac{1}{3}\sin(60\pi t) + \frac{1}{5}\sin(100\pi t)\).
а) Одредити основну фреквенцију сигнала \(\nu_1\).
б) Одредити фреквенције и амплитуде другог и трећег присутног хармоника у спектру.
а) Одредити основну фреквенцију сигнала \(\nu_1\).
б) Одредити фреквенције и амплитуде другог и трећег присутног хармоника у спектру.
а) Основни хармоник има кружну учестаност \(\omega_1 = 20\pi\text{ rad/s}\).
Основна фреквенција је: \[ \nu_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\text{ Hz} \] б) Преостала два члана развоја одговарају вишим непарним хармоницима:
Основна фреквенција је: \[ \nu_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\text{ Hz} \] б) Преостала два члана развоја одговарају вишим непарним хармоницима:
- Трећи хармоник (\(3\omega_1 = 60\pi\text{ rad/s}\)): фреквенција \(\nu_3 = \frac{60\pi}{2\pi} = 30\text{ Hz}\), амплитуда \(B_3 = \frac{1}{3} \approx 0{,}33\).
- Пети хармоник (\(5\omega_1 = 100\pi\text{ rad/s}\)): фреквенција \(\nu_5 = \frac{100\pi}{2\pi} = 50\text{ Hz}\), амплитуда \(B_5 = \frac{1}{5} = 0{,}20\).
