Најважније из лекције
Физичко клатно: Круто тело произвољног облика које осцилује око непокретне хоризонталне осе која не пролази кроз центар масе.
Једначина динамике: За мале отклоне (\(\sin\theta \approx \theta\)) угаоно убрзање је \(\alpha = -\frac{mgl}{I}\theta\), што представља хармонијско осциловање са кружном учестаношћу \(\omega = \sqrt{\frac{mgl}{I}}\).
Период осциловања: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}} = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}}\).
Редукована дужина: \(L_0 = \frac{I}{ml}\) је дужина математичког клатна са истим периодом осциловања. Тачка на растојању \(L_0\) од осе на правцу кроз центар масе назива се центар осциловања (CO).
Фукоово клатно: Доказ Земљине ротације - раван осциловања клатна мирује у простору, док подлога ротира заједно са Земљом (ротација равни је максимална на половима, а нула на екватору).
Једначина динамике: За мале отклоне (\(\sin\theta \approx \theta\)) угаоно убрзање је \(\alpha = -\frac{mgl}{I}\theta\), што представља хармонијско осциловање са кружном учестаношћу \(\omega = \sqrt{\frac{mgl}{I}}\).
Период осциловања: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}} = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}}\).
Редукована дужина: \(L_0 = \frac{I}{ml}\) је дужина математичког клатна са истим периодом осциловања. Тачка на растојању \(L_0\) од осе на правцу кроз центар масе назива се центар осциловања (CO).
Фукоово клатно: Доказ Земљине ротације - раван осциловања клатна мирује у простору, док подлога ротира заједно са Земљом (ротација равни је максимална на половима, а нула на екватору).
Физичко клатно је чврсто тело произвољног облика које под дејством силе Земљине теже осцилује око сталне хоризонталне осе која не пролази кроз његов центар масе.
Кретање физичког клатна представља ротационо кретање крутог тела са променљивим угаоним убрзањем \(\alpha\). Сила Земљине теже \(m\vec{g}\) делује у центру масе и ствара повратни момент силе.
Момент силе теже за мали угао отклона (\(\sin \theta \approx \theta\)):
\[ M = -mgl\theta \]
На основу основног закона динамике ротације (\(M = I\alpha\)), угаоно убрзање је:
\[ \alpha = -\frac{mgl}{I}\theta \]
\(I\) – момент инерције тела у односу на осу осциловања, \(m\) – маса тела, \(l\) – удаљеност центра масе од осе ротације, \(g\) – гравитационо убрзање.
Знак минус показује да момент силе делује тако да враћа тело у равнотежни положај. Пошто је угаоно убрзање сразмерно угаоном померају (\(\alpha = -\omega^2 \theta\)), кретање је хармонијско: \(\theta = \theta_0 \cos(\omega t + \varphi_0)\).
Кружна учестаност:
\[ \omega = \sqrt{\frac{mgl}{I}} \]
Период осциловања:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}} \]
Период осциловања физичког клатна зависи од момента инерције тела \(I\) у односу на осу ротације, масе тела \(m\), и удаљености центра масе од осе ротације \(l\).
Мерењем периода осциловања \(T\) физичког клатна може се експериментално одредити непознати момент инерције \(I\) тела неправилног облика према формули:
\[ I = \frac{mgl T^2}{4\pi^2} \]
Редукована (еквивалентна) дужина клатна (\(L_0\)) је дужина математичког клатна које има исти период осциловања као и посматрано физичко клатно.
\[ L_0 = \frac{I}{ml} \]
Увођењем редуковане дужине, период физичког клатна добија исти облик као за математичко клатно:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}} \]
Центар осциловања (CO) је тачка на телу која се налази на растојању \(L_0\) од осе ротације \(O\), на правој која пролази кроз осу и центар масе \(CM\).
Фукоово клатно је масивно математичко клатно велике дужине (висак велике масе окачен о дугачку жицу) које је послужило као први непосредан доказ ротације Земље око своје осе.
Раван у којој клатно осцилује остаје непокретна у простору, док се Земља испод њега окреће. Посматрачу са Земље изгледа као да раван осциловања полако ротира.
Брзина привидне ротације равни осциловања зависи од географске ширине: највећа је на половима (360° за 24 h), док на екватору ротација равни уопште не постоји.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак):
Тело масе \(m = 2\text{ kg}\) осцилује као физичко клатно око осе која је од центра масе удаљена \(l = 0{,}5\text{ m}\). Момент инерције тела у односу на ту осу износи \(I = 0{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^2\). Израчунати редуковану дужину овог физичког клатна.
Редукована дужина се рачуна по формули:
\[ L_0 = \frac{I}{ml} \]
Заменом познатих вредности:
\[ L_0 = \frac{0{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^2}{2\text{ kg} \cdot 0{,}5\text{ m}} = \frac{0{,}2}{1} = 0{,}2\text{ m} = 20\text{ cm} \]
Одговор: Редукована дужина клатна износи \(0{,}2\text{ m}\).
Задатак 2 (средњи):
Физичко клатно има редуковану дужину \(L_0 = 0{,}981\text{ m}\). Колики је период малих осцилација овог клатна на месту где је гравитационо убрзање \(g = 9{,}81\text{ m/s}^2\)?
Период осциловања изражен преко редуковане дужине гласи:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}} \]
Заменом података:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}981\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} = 2\pi\sqrt{0{,}1\text{ s}^2} \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}3162\text{ s} \approx 1{,}99\text{ s} \approx 2\text{ s} \]
Одговор: Период малих осцилација клатна је приближно \(2\text{ s}\).
Задатак 3 (тежак):
Крута шипка масе \(m = 1{,}5\text{ kg}\) окачена је о хоризонталну осу која се налази на растојању \(l = 0{,}4\text{ m}\) од њеног центра масе. При малим осцилацијама шипка направи 30 пуних осцилација за један минут (\(t = 60\text{ s}\)). Одредити момент инерције \(I\) ове шипке у односу на осу осциловања. (Узети \(g \approx \pi^2 \approx 9{,}87\text{ m/s}^2\)).
1. Најпре одређујемо период осциловања:
\[ T = \frac{t}{N} = \frac{60\text{ s}}{30} = 2\text{ s} \]
2. Из формуле за период физичког клатна \(T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}}\), квадрирањем добијамо:
\[ T^2 = 4\pi^2 \frac{I}{mgl} \implies I = \frac{mgl T^2}{4\pi^2} \]
3. Користећи апроксимацију \(g \approx \pi^2\):
\[ I = \frac{m \cdot \pi^2 \cdot l \cdot T^2}{4\pi^2} = \frac{m \cdot l \cdot T^2}{4} \]
4. Заменом бројних вредности:
\[ I = \frac{1{,}5\text{ kg} \cdot 0{,}4\text{ m} \cdot (2\text{ s})^2}{4} = \frac{1{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 4}{4} = 0{,}6\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
Одговор: Момент инерције шипке у односу на осу вешања износи \(0{,}6\text{ kg}\cdot\text{m}^2\).
