Најважније из лекције
Механичка резонанција: Настаје када је фреквенција принудне силе једнака сопственој фреквенцији тела (\(\omega = \sqrt{g/l}\) код клатна).
LC коло: Састоји се од калема \(L\) и кондензатора \(C\). Осцилације настају услед периодичног претварања енергије електричног поља кондензатора (\(E_e = \frac{q^2}{2C}\)) у енергију магнетног поља калема.
Фреквенција и период: \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) (Томсонова формула).
Закони промене: \(q(t) = q_0 \cos \omega t\), \(i(t) = -I_0 \sin \omega t\), при чему је амплитуда струје \(I_0 = \omega q_0\).
LC коло: Састоји се од калема \(L\) и кондензатора \(C\). Осцилације настају услед периодичног претварања енергије електричног поља кондензатора (\(E_e = \frac{q^2}{2C}\)) у енергију магнетног поља калема.
Фреквенција и период: \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) (Томсонова формула).
Закони промене: \(q(t) = q_0 \cos \omega t\), \(i(t) = -I_0 \sin \omega t\), при чему је амплитуда струје \(I_0 = \omega q_0\).
Резонанција је појава наглог повећања амплитуде осциловања када се кружна учестаност принудне силе поклопи са сопственом кружном учестаношћу осцилатора.
\[ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \]
\(\omega\) – сопствена кружна фреквенција математичког клатна, \(g\) – гравитационо убрзање, \(l\) – дужина клатна
Кружна учестаност осциловања клатна зависи искључиво од његове дужине (при константном \(g\)). При преношењу осцилација са једног клатна на друга (спрегнута клатна), резонанција ће се јавити искључиво код клатна једнаких дужина.
О заједнички затегнут канап окачена су три клатна дужина \(l_1 = 20\text{ cm}\), \(l_2 = 20\text{ cm}\) и \(l_3 = 45\text{ cm}\). Ако се зањише прво клатно (\(l_1\)), које од преостала два ће пасти у резонанцију?
У резонанцију ће пасти клатно дужине \(l_2 = 20\text{ cm}\), јер има исту сопствену фреквенцију осциловања као побудно клатно (\(l_1 = l_2\)).
Електрично осцилаторно коло представља затворено струјно коло састављено од кондензатора капацитивности \(C\) и калема (завојнице) индуктивности \(L\).
- Почетно стање: Кондензатор је максимално наелектрисан (\(q = q_0\)), међу плочама постоји електрично поље \(\vec{E}\), а струја кроз калем једнака је нули (\(i = 0\)).
- Пражњење кондензатора: Затварањем прекидача кондензатор се празни кроз калем. Струја расте, стварајући магнетно поље индукције \(\vec{B}\) у калему. Када је кондензатор потпуно испражњен (\(q = 0\)), струја и магнетно поље достижу максимум.
- Утицај самоиндукције: Због смањења струје настаје електромоторна сила самоиндукције, која се по Ленцовом правилу супротставља опадању струје и наставља да пуни кондензатор супротним поларитетом.
- Завршетак полупериода: Кондензатор је максимално напуњен супротним поларитетом, а струја у калему опада на нулу.
- Повратно пражњење: Кондензатор се поново празни у супротном смеру, враћајући систем у почетно стање, чиме се завршава један пун период осциловања.
Периодичне промене количине наелектрисања на облогама кондензатора и јачине струје кроз калем називају се електромагнетне осцилације.
Електромагнетне осцилације у LC колу одвијају се при учестаности за коју је индуктивна отпорност калема једнака капацитивној отпорности кондензатора:
\[ X_L = X_C \implies \omega L = \frac{1}{\omega C} \]
\[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
\(\omega\) – сопствена кружна фреквенција LC кола, \(L\) – индуктивност калема, \(C\) – капацитивност кондензатора
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{LC} \]
\(T\) – период осциловања електричног осцилаторног кола (Томсонов образац)
Период осциловања LC кола зависи искључиво од индуктивности калема (\(L\)) и капацитивности кондензатора (\(C\)).
У идеалном осцилаторном колу (без термогене отпорности) важи напонска равнотежа:
\[ \frac{q}{C} = -L \frac{\Delta i}{\Delta t} \implies \frac{\Delta i}{\Delta t} = -\omega^2 q \]
Струја представља брзину промене наелектрисања (\(i = \frac{\Delta q}{\Delta t}\)), што даје директну аналогију са механичким осцилацијама: наелектрисање \(q\) одговара координати \(x\), а јачина струје \(i\) одговара брзини \(v\).
\[ q(t) = q_0 \cos \omega t \]
\[ i(t) = -I_0 \sin \omega t \]
\(q_0\) – максимално наелектрисање на кондензатору (амплитуда наелектрисања),
\(I_0 = \omega q_0\) – максимална јачина струје (амплитуда струје)
\(I_0 = \omega q_0\) – максимална јачина струје (амплитуда струје)
Количина наелектрисања на кондензатору и јачина електричне струје мењају се фазно померено за четвртину периода (\(\pi/2\)). Када је наелектрисање максимално, струја је нула, и обрнуто.
Енергија у LC колу наизменично прелази из облика електричног поља кондензатора у облик магнетног поља калема.
\[ E_e = \frac{q^2}{2C} \]
\(E_e\) – енергија електричног поља наелектрисаног кондензатора, \(q\) – тренутно наелектрисање, \(C\) – капацитивност
Задаци за вежбање
Лаки: Израчунати сопствену кружну фреквенцију осцилаторног кола које чине калем индуктивности \(L = 0{,}1\text{ H}\) и кондензатор капацитивности \(C = 10\text{ }\mu\text{F}\).
Подаци:
\(L = 0{,}1\text{ H}\)
\(C = 10\text{ }\mu\text{F} = 10 \cdot 10^{-6}\text{ F} = 10^{-5}\text{ F}\)
Применом формуле за кружну фреквенцију: \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}1 \cdot 10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-6}}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000\text{ rad/s} \] Одговор: Кружна фреквенција износи \(1000\text{ rad/s}\).
\(L = 0{,}1\text{ H}\)
\(C = 10\text{ }\mu\text{F} = 10 \cdot 10^{-6}\text{ F} = 10^{-5}\text{ F}\)
Применом формуле за кружну фреквенцију: \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}1 \cdot 10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-6}}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000\text{ rad/s} \] Одговор: Кружна фреквенција износи \(1000\text{ rad/s}\).
Средњи: Како ће се променити период осциловања електричног осцилаторног кола ако се капацитивност кондензатора повећа \(9\) пута, а индуктивност калема смањи \(4\) пута?
Период осциловања пре промене је:
\[ T_1 = 2\pi\sqrt{L_1 C_1} \]
Након промене, параметри су \(C_2 = 9C_1\) и \(L_2 = \frac{L_1}{4}\):
\[ T_2 = 2\pi\sqrt{L_2 C_2} = 2\pi\sqrt{\frac{L_1}{4} \cdot 9C_1} = 2\pi\sqrt{\frac{9}{4} L_1 C_1} = \frac{3}{2} \cdot 2\pi\sqrt{L_1 C_1} = 1{,}5 \, T_1 \]
Одговор: Период осциловања кола ће се повећати \(1{,}5\) пута (за \(50\%\)).
Тежак: У осцилаторном колу са калемом индуктивности \(L = 20\text{ mH}\) и кондензатором капацитивности \(C = 5\text{ }\mu\text{F}\), максимална количина наелектрисања на облогама кондензатора износи \(q_0 = 4\text{ }\mu\text{C}\). Одредити период електромагнетних осцилација у колу и максималну јачину струје.
Подаци:
\(L = 20\text{ mH} = 2 \cdot 10^{-2}\text{ H}\)
\(C = 5\text{ }\mu\text{F} = 5 \cdot 10^{-6}\text{ F}\)
\(q_0 = 4\text{ }\mu\text{C} = 4 \cdot 10^{-6}\text{ C}\)
1. Израчунавање кружне фреквенције: \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 10^{-2} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-7}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-8} \cdot 10}} = \frac{10^4}{\sqrt{10}} \approx 3162{,}28\text{ rad/s} \] 2. Израчунавање периода: \[ T = 2\pi\sqrt{LC} = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2 \cdot 3{,}1416}{3162{,}28} \approx 1{,}99 \cdot 10^{-3}\text{ s} \approx 1{,}99\text{ ms} \] 3. Максимална јачина струје: \[ I_0 = \omega q_0 = 3162{,}28\text{ rad/s} \cdot 4 \cdot 10^{-6}\text{ C} \approx 0{,}0126\text{ A} = 12{,}6\text{ mA} \] Одговор: Период осциловања је приближно \(1{,}99\text{ ms}\), а максимална јачина струје износи \(12{,}6\text{ mA}\).
\(L = 20\text{ mH} = 2 \cdot 10^{-2}\text{ H}\)
\(C = 5\text{ }\mu\text{F} = 5 \cdot 10^{-6}\text{ F}\)
\(q_0 = 4\text{ }\mu\text{C} = 4 \cdot 10^{-6}\text{ C}\)
1. Израчунавање кружне фреквенције: \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 10^{-2} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-7}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-8} \cdot 10}} = \frac{10^4}{\sqrt{10}} \approx 3162{,}28\text{ rad/s} \] 2. Израчунавање периода: \[ T = 2\pi\sqrt{LC} = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2 \cdot 3{,}1416}{3162{,}28} \approx 1{,}99 \cdot 10^{-3}\text{ s} \approx 1{,}99\text{ ms} \] 3. Максимална јачина струје: \[ I_0 = \omega q_0 = 3162{,}28\text{ rad/s} \cdot 4 \cdot 10^{-6}\text{ C} \approx 0{,}0126\text{ A} = 12{,}6\text{ mA} \] Одговор: Период осциловања је приближно \(1{,}99\text{ ms}\), а максимална јачина струје износи \(12{,}6\text{ mA}\).
