Најважније из лекције
Доплеров ефекат у оптици: Промена фреквенције светлости изазвана искључиво релативним кретањем извора и детектора, без потребе за преносном средином.
Формула (\(u \ll c\)): \(\nu' = \nu \left(1 \pm \frac{u}{c}\right)\), где је „+” за приближавање (\(\nu' > \nu\)), а „−” за удаљавање (\(\nu' < \nu\)).
Тачна релативистичка формула: \(\nu' = \nu \sqrt{\frac{1 \pm \frac{u}{c}}{1 \mp \frac{u}{c}}}\).
Практични значај:
Формула (\(u \ll c\)): \(\nu' = \nu \left(1 \pm \frac{u}{c}\right)\), где је „+” за приближавање (\(\nu' > \nu\)), а „−” за удаљавање (\(\nu' < \nu\)).
Тачна релативистичка формула: \(\nu' = \nu \sqrt{\frac{1 \pm \frac{u}{c}}{1 \mp \frac{u}{c}}}\).
Практични значај:
- Ширење спектралних линија \(\rightarrow\) одређивање температуре плазме и небеских тела.
- Црвени помак галаксија \(\rightarrow\) доказ ширења свемира.
Доплеров ефекат у оптици представља промену регистроване фреквенције (боје) светлосног таласа услед релативног кретања извора светлости и детектора (пријемника).
За разлику од звучних таласа којима је потребан ваздух или друга супстанцијална средина, за електромагнетне (светлосне) таласе таква средина не постоји. Зато промена фреквенције светлости зависи искључиво од релативне брзине између извора и детектора.
Да би се Доплеров ефекат код светлости уочио, релативна брзина кретања мора бити изузетно велика (упоредива са брзином светлости \(c\)), што је карактеристично за микрочестице и астрономске објекте.
Зашто се Доплеров ефекат не примећује при кретању обичних тела у свакодневном животу (нпр. аутомобила са упаљеним фаровима)?
Брзина светлости у вакууму износи око \(3 \cdot 10^8\text{ m/s}\). Брзине свакодневних тела су занемарљиво мале у поређењу са брзином светлости (\(u \ll c\)), због чега је релативна промена фреквенције сувише мала да би је људско око или стандардни уређаји регистровали као промену боје.
Пошто се за брзине упоредиве са брзином светлости примењује Теорија релативности, тачна релативистичка формула за фреквенцију коју региструје детектор гласи:
\[ \nu' = \nu \sqrt{\frac{1 \pm \frac{u}{c}}{1 \mp \frac{u}{c}}} \]
Тачна релативистичка формула за Доплеров ефекат у оптици
Када је релативна брзина \(u\) знатно мања од брзине светлости \(c\) (\(u \ll c\)), користи се апроксимативна формула:
\[ \nu' = \nu \left(1 \pm \frac{u}{c}\right) \]
Апроксимативна формула за мање брзине (\(u \ll c\))
\(\nu'\) – фреквенција коју региструје детектор
\(\nu\) – фреквенција коју емитује извор светлости
\(u\) – релативна брзина извора и детектора
\(c\) – брзина светлости у вакууму (\(c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\))
Правило о избору знака:
- Знак „+” се узима при узајамном приближавању извора и детектора \(\rightarrow\) фреквенција расте (\(\nu' > \nu\)), светлост се помера ка љубичастом/плавом делу спектра.
- Знак „−” се узима при међусобном удаљавању извора и детектора \(\rightarrow\) фреквенција опада (\(\nu' < \nu\)), светлост се помера ка црвеном делу спектра.
Мерење температуре плазме (ширење спектралне ширине): Микрочестице у плазми се крећу хаотично великим брзинама (неке ка детектору, неке од њега). Због тога детектор истовремено региструје фреквенције мање и веће од емитоване, што доводи до ширења спектра светлости. Мерењем те ширине одређује се средња кинетичка енергија честица, а преко ње и температура плазме или сјајних небеских тела.
Црвени помак и ширење свемира: Светлост која долази са већине удаљених галаксија померена је ка мањим фреквенцијама (црвени део спектра). Овај феномен назива се црвени помак и представља доказ да се галаксије међусобно удаљавају, односно да се свемир шири.
Ако спектроскоп региструје да су карактеристичне спектралне линије водоника из зрачења удаљене галаксије померене према већим таласним дужинама (мањим фреквенцијама), то значи да се галаксија великом брзином удаљава од Земље.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Извор емитује монохроматску светлост фреквенције \(\nu = 6 \cdot 10^{14}\text{ Hz}\). Да ли ће детектор регистровати већу или мању фреквенцију ако се извор удаљава од детектора? Како се тај помак назива у астрономији?
При међусобном удаљавању важи знак „−” у формули, што значи да ће регистрована фреквенција бити мања од емитоване (\(\nu' < \nu\)).
Пошто мањим фреквенцијама одговарају веће таласне дужине (померање ка црвеном делу спектра), та појава се назива црвени помак.
Пошто мањим фреквенцијама одговарају веће таласне дужине (померање ка црвеном делу спектра), та појава се назива црвени помак.
Задатак 2 (средњи): Небеско тело емитује светлост фреквенције \(\nu = 5 \cdot 10^{14}\text{ Hz}\). Колику фреквенцију региструје пријемник на Земљи ако се тело приближава Земљи релативном брзином \(u = 0{,}01\,c\)?
Пошто се извор приближава, користи се знак „+” у апроксимативној формули:
\[ \nu' = \nu \left(1 + \frac{u}{c}\right) \]
Уврштавањем вредности добијамо:
\[ \nu' = 5 \cdot 10^{14}\text{ Hz} \cdot \left(1 + \frac{0{,}01\,c}{c}\right) = 5 \cdot 10^{14}\text{ Hz} \cdot 1{,}01 = 5{,}05 \cdot 10^{14}\text{ Hz} \]
Одговор: Пријемник ће регистровати фреквенцију од \(5{,}05 \cdot 10^{14}\text{ Hz}\).
Задатак 3 (тежак): Посматрањем спектралне линије једне галаксије утврђено је да је њена регистрована фреквенција \(\nu' = 4{,}90 \cdot 10^{14}\text{ Hz}\), док је референтна фреквенција у стању мировања \(\nu = 5{,}00 \cdot 10^{14}\text{ Hz}\). Израчунати релативну брзину удаљавања галаксије користећи апроксимативну формулу.
Како се галаксија удаљава (\(\nu' < \nu\)), користимо знак „−”:
\[ \nu' = \nu \left(1 - \frac{u}{c}\right) \]
\[ \frac{\nu'}{\nu} = 1 - \frac{u}{c} \implies \frac{u}{c} = 1 - \frac{\nu'}{\nu} \]
\[ \frac{u}{c} = 1 - \frac{4{,}90 \cdot 10^{14}}{5{,}00 \cdot 10^{14}} = 1 - 0{,}98 = 0{,}02 \]
Одавде је релативна брзина:
\[ u = 0{,}02\,c = 0{,}02 \cdot 3 \cdot 10^8\text{ m/s} = 6 \cdot 10^6\text{ m/s} = 6000\text{ km/s} \]
Одговор: Галаксија се удаљава брзином од \(6000\text{ km/s}\) (или \(0{,}02\,c\)).
