Најважније из лекције
Укупни напон: Сабира се векторски (фазорски): \( U_0 = \sqrt{U_{0R}^2 + (U_{0L} - U_{0C})^2} \).
Импеданса (укупна отпорност): \( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \quad [\Omega] \).
Омов закон: \( I_0 = \frac{U_0}{Z} \).
Фазни помак: \( \text{tg}\,\varphi = \frac{X_L - X_C}{R} \). За \( X_L > X_C \) напон предњачи струји, за \( X_L < X_C \) струја предњачи напону.
Напонска резонанција: Када је \( X_L = X_C \), тада је \( Z = R \) (минимално), струја је максимална (\( I_0 = \frac{U_0}{R} \)), а напони на реактивним елементима могу премашити напон извора.
Импеданса (укупна отпорност): \( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \quad [\Omega] \).
Омов закон: \( I_0 = \frac{U_0}{Z} \).
Фазни помак: \( \text{tg}\,\varphi = \frac{X_L - X_C}{R} \). За \( X_L > X_C \) напон предњачи струји, за \( X_L < X_C \) струја предњачи напону.
Напонска резонанција: Када је \( X_L = X_C \), тада је \( Z = R \) (минимално), струја је максимална (\( I_0 = \frac{U_0}{R} \)), а напони на реактивним елементима могу премашити напон извора.
Редно RLC коло чине редно повезани отпорник термогене отпорности \( R \), калем индуктивности \( L \) и кондензатор капацитивности \( C \), прикључени на извор наизменичног напона.
Струја је иста у свим деловима редног кола: \( i = I_0 \sin(\omega t - \varphi) \), док је напон извора \( u = U_0 \sin \omega t \).
Метод ротирајућих вектора (фазора): Свака синусна величина \( a = A_0 \sin \omega t \) представља се вектором амплитуде \( A_0 \) који ротира угаоном брзином \( \omega \). Њена тренутна вредност једнака је пројекцији фазора на вертикалну осу.
Тренутни напон извора једнак је збиру тренутних напона: \( u = u_R + u_L + u_C \). Међутим, максимални напон \( U_0 \) није једнак простом алгебарском збиру максималних напона, јер појединачни напони нису у истој фази.
Применом Питагорине теореме на фазорски дијаграм добија се веза између амплитуда напона:
\[ U_0^2 = U_{0R}^2 + (U_{0L} - U_{0C})^2 \]
\[ U_0 = \sqrt{U_{0R}^2 + (U_{0L} - U_{0C})^2} \]
\( U_0 \) – максимални напон извора, \( U_{0R} \) – напон на отпорнику, \( U_{0L} \) – напон на калему, \( U_{0C} \) – напон на кондензатору
Импеданса (\( Z \)) представља укупну опозицију (отпорност) коју редно RLC коло пружа протицању наизменичне струје.
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]
\( R \) – термогена (активна) отпорност, \( X_L = \omega L \) – индуктивна отпорност, \( X_C = \frac{1}{\omega C} \) – капацитивна отпорност
Ом (\( \Omega \))
Омов закон за коло наизменичне струје: Максимална (или ефективна) вредност јачине струје у редном RLC колу сразмерна је максималном (ефективном) напону на крајевима кола, а обрнуто сразмерна укупној отпорности – импеданси.
\[ I_0 = \frac{U_0}{Z} = \frac{U_0}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}} \]
\( I_0 \) – максимална јачина струје, \( U_0 \) – максимални напон извора, \( Z \) – импеданса кола
Ако су вредности у колу \( R = 3\,\Omega \), \( X_L = 8\,\Omega \) и \( X_C = 4\,\Omega \), а напон извора \( U_0 = 50\text{ V} \):
\[ Z = \sqrt{3^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\Omega \]
\[ I_0 = \frac{U_0}{Z} = \frac{50\text{ V}}{5\,\Omega} = 10\text{ A} \]
Реактивна отпорност (\( X \)) је разлика индуктивне и капацитивне отпорности: \( X = X_L - X_C \).
\[ \text{tg}\,\varphi = \frac{U_{0L} - U_{0C}}{U_{0R}} = \frac{X_L - X_C}{R} \]
\( \varphi \) – фазна разлика између напона извора и јачине струје у колу
Знак и вредност фазне разлике одређују карактер кола:
- \( X_L > X_C \ (\varphi > 0) \): Коло има индуктивни карактер (напон предњачи струји за угао \( \varphi \)).
- \( X_L < X_C \ (\varphi < 0) \): Коло има капацитивни карактер (напон касни за струјом).
- \( X_L = X_C \ (\varphi = 0) \): Коло је чисто активно (термогено).
Фазна (напонска) резонанција: Наступа када је \( X_L = X_C \). Тада је реактивна отпорност \( X = 0 \), импеданса је минимална и једнака активном отпору (\( Z = R \)), а струја достиже максималну вредност (\( I_0 = \frac{U_0}{R} \)). Напони на калему и кондензатору се поништавају по фази, али појединачно могу вишеструко премашити напон извора.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Редно RLC коло има активну отпорност \( R = 6\,\Omega \), индуктивну отпорност \( X_L = 15\,\Omega \) и капацитивну отпорност \( X_C = 7\,\Omega \). Израчунати импедансу кола \( Z \).
Примењујемо формулу за импедансу:
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]
\[ Z = \sqrt{6^2 + (15 - 7)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\Omega \]
Одговор: Импеданса кола износи \( 10\,\Omega \).
Задатак 2 (средњи): У редном RLC колу максимални напон извора је \( U_0 = 130\text{ V} \). Напон на отпорнику је \( U_{0R} = 50\text{ V} \), а напон на кондензатору је \( U_{0C} = 40\text{ V} \). Ако коло има претежно индуктивни карактер (\( U_{0L} > U_{0C} \)), одредити амплитуду напона на калему \( U_{0L} \) и тангенс фазне разлике \( \text{tg}\,\varphi \).
Из релације за максимални напон извора:
\[ U_0^2 = U_{0R}^2 + (U_{0L} - U_{0C})^2 \]
\[ 130^2 = 50^2 + (U_{0L} - 40)^2 \]
\[ 16900 = 2500 + (U_{0L} - 40)^2 \implies (U_{0L} - 40)^2 = 14400 \]
\[ U_{0L} - 40 = \sqrt{14400} = 120\text{ V} \]
\[ U_{0L} = 120 + 40 = 160\text{ V} \]
Тангенс фазне разлике је:
\[ \text{tg}\,\varphi = \frac{U_{0L} - U_{0C}}{U_{0R}} = \frac{120}{50} = 2{,}4 \]
Одговор: Напон на калему је \( 160\text{ V} \), а \( \text{tg}\,\varphi = 2{,}4 \).
Задатак 3 (тежак): На извор наизменичног напона амплитуде \( U_0 = 200\text{ V} \) везани су редно отпорник отпорности \( R = 40\,\Omega \), калем индуктивне отпорности \( X_L = 100\,\Omega \) и кондензатор капацитивне отпорности \( X_C = 70\,\Omega \).
а) Израчунати импедансу кола \( Z \) и струју \( I_0 \).
б) Израчунати појединачне амплитуде напона на отпорнику, калему и кондензатору.
в) Колики би био напон на калему у стању напонске резонанције, ако се фреквенција извора подеси тако да је \( X_L = X_C = 100\,\Omega \)?
а) Израчунати импедансу кола \( Z \) и струју \( I_0 \).
б) Израчунати појединачне амплитуде напона на отпорнику, калему и кондензатору.
в) Колики би био напон на калему у стању напонске резонанције, ако се фреквенција извора подеси тако да је \( X_L = X_C = 100\,\Omega \)?
а) Импеданса и јачина струје:
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{40^2 + (100 - 70)^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\,\Omega \]
\[ I_0 = \frac{U_0}{Z} = \frac{200\text{ V}}{50\,\Omega} = 4\text{ A} \]
б) Амплитуде напона на елементима:
\[ U_{0R} = I_0 \cdot R = 4\text{ A} \cdot 40\,\Omega = 160\text{ V} \]
\[ U_{0L} = I_0 \cdot X_L = 4\text{ A} \cdot 100\,\Omega = 400\text{ V} \]
\[ U_{0C} = I_0 \cdot X_C = 4\text{ A} \cdot 70\,\Omega = 280\text{ V} \]
(Уочите да је \( U_{0L} > U_0 \), што је карактеристично за кола наизменичне струје због фазних помераја.)
в) Резонантно стање:
У резонанцији је \( Z_{\text{rez}} = R = 40\,\Omega \).
\[ I_{0,\text{rez}} = \frac{U_0}{R} = \frac{200\text{ V}}{40\,\Omega} = 5\text{ A} \]
\[ U_{0L,\text{rez}} = I_{0,\text{rez}} \cdot X_L = 5\text{ A} \cdot 100\,\Omega = 500\text{ V} \]
Одговор: а) \( Z = 50\,\Omega, I_0 = 4\text{ A} \); б) \( U_{0R} = 160\text{ V}, U_{0L} = 400\text{ V}, U_{0C} = 280\text{ V} \); в) \( U_{0L,\text{rez}} = 500\text{ V} \).
