Најважније из лекције
Енергија: Укупна енергија је константна (\(E = E_k + E_p\)). Потенцијална је максимална у амплитудним положајима (\(x=\pm A\)), а кинетичка у равнотежном положају (\(x=0\)).
Математичко клатно: При малим угловима (\(\theta < 15^\circ\)) повратна сила је хармонијска (\(F = -\frac{mg}{l}x\)).
Период: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\) - зависи само од дужине нити \(l\) и убрзања \(g\), а не зависи од масе нити од амплитуде.
Фукоово клатно: Доказује ротацију Земље због привидне ротације равни осциловања.
Физичко клатно: Чврсто тело које ротира око хоризонталне осе под дејством гравитационог момента \(M = -mgl\sin\theta\).
Математичко клатно: При малим угловима (\(\theta < 15^\circ\)) повратна сила је хармонијска (\(F = -\frac{mg}{l}x\)).
Период: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\) - зависи само од дужине нити \(l\) и убрзања \(g\), а не зависи од масе нити од амплитуде.
Фукоово клатно: Доказује ротацију Земље због привидне ротације равни осциловања.
Физичко клатно: Чврсто тело које ротира око хоризонталне осе под дејством гравитационог момента \(M = -mgl\sin\theta\).
Укупна механичка енергија хармонијског осцилатора је константна током осциловања и представља збир кинетичке и потенцијалне енергије: \( E = E_k + E_p = \text{const} \).
- Потенцијална енергија (\(E_p\)): Сразмерна је квадрату елонгације (\(x^2\)). Максимална је у амплитудним положајима (\(x = \pm A\)), а једнака нули у равнотежном положају (\(x = 0\)).
- Кинетичка енергија (\(E_k\)): Сразмерна је квадрату брзине. Максимална је при проласку кроз равнотежни положај (\(x = 0\)), а једнака нули у амплитудним положајима (\(x = \pm A\)), јер се ту тело зауставља (\(v = 0\)).
У ком положају осцилатор има једнаке вредности кинетичке и потенцијалне енергије?
Када је \( E_k = E_p \), пошто је \( E_p + E_k = E \), следи да је \( E_p = \frac{E}{2} \). Пошто је потенцијална енергија сразмерна квадрату елонгације (\(E_p \sim x^2\)), а укупна енергија квадрату амплитуде (\(E \sim A^2\)), добија се \( x^2 = \frac{A^2}{2} \), односно \( x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} \).
Математичко клатно је физички модел који чини материјална тачка (тело малих димензија масе \(m\)) обешена о неистегљиву нит занемарљиве масе и дужине \(l\), која осцилује у вертикалној равни под дејством Земљине теже.
Повратна сила која тежи да врати тело у равнотежни положај:
\[ F = -mg \sin\theta \]
Знак минус означава да је сила усмерена супротно од смера отклона.
За мале углове отклона (\(\theta < 15^\circ\)) важи апроксимација \(\sin\theta \approx \theta \approx \frac{x}{l}\), па израз за силу постаје:
\[ F = -\frac{mg}{l} x = -k x \]
где је реституциона константа клатна дата као \( k = \frac{mg}{l} \). Под овим условом осциловање математичког клатна је просто хармонијско:
\[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0) \]
Кружна учестаност осциловања:
\[ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \]
Период осциловања математичког клатна:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]
где је \(l\) дужина нити клатна, а \(g\) гравитационо убрзање.
Особине периода осциловања математичког клатна:
- Период зависи искључиво од дужине нити (\(l\)) и гравитационог убрзања (\(g\)).
- Период не зависи од масе тела (\(m\)).
- Период не зависи од амплитуде осциловања (\(A\)) за мале углове отклона (изохронизам).
Примена: Мерењем периода осциловања \(T\) и дужине нити \(l\) може се врло прецизно израчунати локално убрзање Земљине теже:
\[ g = \frac{4\pi^2 l}{T^2} \]
Ово омогућава откривање гушћих рудних лежишта у Земљиној кори.
Фукоово клатно је масивно клатно велике дужине нити које слободно осцилује и служи као директан експериментални доказ ротације Земље око своје осе.
Раван у којој клатно осцилује задржава свој правац у простору (у односу на удаљене звезде), док се Земља испод њега окреће. Посматрачу са Земље изгледа као да раван осциловања полако ротира.
- Брзина привидне ротације равни осциловања зависи од географске ширине.
- На половима је ротација најбржа (пун круг за 24 h), док се на екватору појава не примећује.
Физичко клатно је чврсто тело произвољног облика које под дејством силе Земљине теже може да осцилује око непокретне хоризонталне осе која не пролази кроз његов центар масе (\(CM\)).
Момент повратне силе:
\[ M = -mgl \sin\theta \]
где је \(l\) растојање од осе ротације до центра масе тела, а \(\theta\) угао отклона од вертикале.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Дужина нити математичког клатна се повећа 4 пута. Како и колико пута ће се променити период његовог осциловања?
Период осциловања математичког клатна дат је формулом \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \).
Ако се дужина нити повећа 4 пута (\(l' = 4l\)): \[ T' = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = 2T \] Одговор: Период осциловања ће се повећати 2 пута.
Ако се дужина нити повећа 4 пута (\(l' = 4l\)): \[ T' = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = 2T \] Одговор: Период осциловања ће се повећати 2 пута.
Задатак 2 (средњи): Математичко клатно дужине \(l = 1\text{ m}\) изврши \(N = 30\) пуних осцилација за време од \(t = 60\text{ s}\). Одредити гравитационо убрзање \(g\) на том месту (узети \(\pi^2 \approx 9{,}87\)).
Прво одређујемо период осциловања клатна:
\[ T = \frac{t}{N} = \frac{60\text{ s}}{30} = 2\text{ s} \]
Из формуле за период \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), квадрирањем и изражавањем величине \(g\) добијамо:
\[ g = \frac{4\pi^2 l}{T^2} \]
Заменом вредности:
\[ g = \frac{4 \cdot 9{,}87 \cdot 1\text{ m}}{(2\text{ s})^2} = \frac{4 \cdot 9{,}87}{4} = 9{,}87\text{ m/s}^2 \]
Одговор: Убрзање Земљине теже на том месту износи \(9{,}87\text{ m/s}^2\).
Задатак 3 (тежи): Математичко клатно има период осциловања \(T\) на Земљи. Клатно се пренесе на планету где је гравитационо убрзање четири пута мање него на Земљи (\(g_p = \frac{g}{4}\)).
а) Колики ће бити период клатна на тој планети ако му се дужина не промени?
б) Како треба променити дужину нити да би период остао исти као на Земљи?
а) Колики ће бити период клатна на тој планети ако му се дужина не промени?
б) Како треба променити дужину нити да би период остао исти као на Земљи?
а) Период на новој планети са истом дужином нити:
\[ T_p = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_p}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\frac{g}{4}}} = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = 2T \]
Период би се удвостручио.
б) Да би период остао исти (\(T_p = T\)), однос дужине и убрзања мора бити непромењен: \[ \frac{l_p}{g_p} = \frac{l}{g} \implies l_p = l \cdot \frac{g_p}{g} = l \cdot \frac{1}{4} = \frac{l}{4} \] Одговор: Дужину нити клатна треба смањити 4 пута.
б) Да би период остао исти (\(T_p = T\)), однос дужине и убрзања мора бити непромењен: \[ \frac{l_p}{g_p} = \frac{l}{g} \implies l_p = l \cdot \frac{g_p}{g} = l \cdot \frac{1}{4} = \frac{l}{4} \] Одговор: Дужину нити клатна треба смањити 4 пута.
