Најважније из лекције
Енергија осцилатора: Потенцијална \( E_{\text{p}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \varphi_0) \) и кинетичка \( E_{\text{k}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \varphi_0) \) периодично прелазе једна у другу са фреквенцијом \( 2\nu \) и периодом \( T/2 \).
Закон одржања енергије: Укупна енергија је константна: \( E = E_{\text{k}} + E_{\text{p}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \). У равнотежном положају (\( x=0 \)) сва енергија је кинетичка, а у амплитудним положајима (\( x=\pm A \)) сва енергија је потенцијална.
Математичко клатно: Тело обешено о неистегљиву нит; повратна сила износи \( F = -mg \sin \theta \). Пошто је сила сразмерна \( \sin \theta \), а пређени пут сразмеран углу \( \theta \), осциловање за веће углове није строго хармонијско.
Закон одржања енергије: Укупна енергија је константна: \( E = E_{\text{k}} + E_{\text{p}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \). У равнотежном положају (\( x=0 \)) сва енергија је кинетичка, а у амплитудним положајима (\( x=\pm A \)) сва енергија је потенцијална.
Математичко клатно: Тело обешено о неистегљиву нит; повратна сила износи \( F = -mg \sin \theta \). Пошто је сила сразмерна \( \sin \theta \), а пређени пут сразмеран углу \( \theta \), осциловање за веће углове није строго хармонијско.
Хармонијски осцилатор током кретања непрекидно мења свој положај и брзину, због чега поседује и потенцијалну и кинетичку енергију. Уколико се занемаре силе отпора средине, осцилатор представља изолован систем.
Потенцијална енергија:
\[ E_{\text{p}} = \frac{kx^2}{2} = \frac{m\omega^2 A^2}{2} \cos^2(\omega t + \varphi_0) \]
где је \( k = m\omega^2 \) коефицијент еластичности, \( m \) маса тела, \( \omega \) кружна учестаност, а \( A \) амплитуда осциловања.
Кинетичка енергија:
\[ E_{\text{k}} = \frac{mv^2}{2} = \frac{m\omega^2 A^2}{2} \sin^2(\omega t + \varphi_0) \]
где је \( v \) брзина осцилатора.
Потенцијална и кинетичка енергија мењају се са два пута мањим периодом (\( T_E = T/2 \)), односно са два пута већом фреквенцијом (\( \nu_E = 2\nu \)) у односу на фреквенцију осциловања тела.
Кинетичка и потенцијална енергија имају једнаке максималне вредности (\( E_{\text{p,max}} = E_{\text{k,max}} = \frac{m\omega^2 A^2}{2} \)) и фазно су померене за \( \pi/2 \). Када је једна енергија максимална, друга је једнака нули.
Укупна механичка енергија осцилатора једнака је збиру његове кинетичке и потенцијалне енергије у било ком тренутку.
\[ E = E_{\text{k}} + E_{\text{p}} = \frac{m\omega^2 A^2}{2} = \text{const.} \]
Укупна енергија је константна и сразмерна је маси, квадрату кружне учестаности и квадрату амплитуде осциловања.
Брзина тела је максимална (\( v = v_{\text{max}} \)), елонгација је нула:
\[ E_{\text{p}} = 0, \quad E_{\text{k}} = E_{\text{max}} = \frac{m\omega^2 A^2}{2} \]
Тело се тренутно зауставља (\( v = 0 \)), елонгација је максимална:
\[ E_{\text{k}} = 0, \quad E_{\text{p}} = E_{\text{max}} = \frac{m\omega^2 A^2}{2} \]
Математичко клатно је тело малих димензија масе \( m \) (материјална тачка) обешено о неистегљиву нит занемарљиве масе дужине \( l \), које осцилује под дејством силе Земљине теже.
Повратна сила:
\[ F = -mg \sin \theta \]
где је \( g \) убрзање Земљине теже, а \( \theta \) угао отклона нити од равнотежног положаја.
Пређени лучни пут клатна је \( s = l \cdot \theta \). Пошто је повратна сила сразмерна са \( \sin \theta \), а не директно са отклоном \( \theta \) (односно путем \( s \)), кретање клатна за произвољне углове отклона није строго хармонијско.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело масе \( 0{,}2 \text{ kg} \) осцилује кружном учестаношћу \( \omega = 10 \text{ rad/s} \) и амплитудом \( A = 0{,}1 \text{ m} \). Израчунати укупну механичку енергију овог хармонијског осцилатора.
Укупна механичка енергија осцилатора рачуна се по формули:
\[ E = \frac{m\omega^2 A^2}{2} \]
Заменом познатих вредности:
\[ E = \frac{0{,}2 \text{ kg} \cdot (10 \text{ rad/s})^2 \cdot (0{,}1 \text{ m})^2}{2} = \frac{0{,}2 \cdot 100 \cdot 0{,}01}{2} = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1 \text{ J} \]
Одговор: Укупна механичка енергија износи \( 0{,}1 \text{ J} \).
Задатак 2 (средњи): Фреквенција осциловања материјалне тачке износи \( \nu = 4 \text{ Hz} \). Колика је фреквенција и са којим периодом се мења њена кинетичка енергија?
Кинетичка и потенцијална енергија мењају се са двоструко већом фреквенцијом од фреквенције осциловања тела:
\[ \nu_E = 2\nu = 2 \cdot 4 \text{ Hz} = 8 \text{ Hz} \]
Период осциловања енергије је једнак реципрочној вредности фреквенције промене енергије (или половини периода осциловања тела):
\[ T_E = \frac{1}{\nu_E} = \frac{1}{8} \text{ s} = 0{,}125 \text{ s} \]
Одговор: Кинетичка енергија се мења са фреквенцијом од \( 8 \text{ Hz} \) и периодом од \( 0{,}125 \text{ s} \).
Задатак 3 (средњи): При којој елонгацији \( x \) (израженој преко амплитуде \( A \)) су кинетичка и потенцијална енергија хармонијског осцилатора међусобно једнаке?
Када је \( E_{\text{p}} = E_{\text{k}} \), из закона одржања енергије следи:
\[ E = E_{\text{p}} + E_{\text{k}} = 2E_{\text{p}} \implies E_{\text{p}} = \frac{E}{2} \]
Заменом израза за потенцијалну и укупну енергију:
\[ \frac{kx^2}{2} = \frac{1}{2} \frac{kA^2}{2} \implies x^2 = \frac{A^2}{2} \]
Кореновањем добијамо:
\[ x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} = \pm \frac{A\sqrt{2}}{2} \approx \pm 0{,}707 A \]
Одговор: Енергије су једнаке при елонгацији \( x = \pm \frac{A\sqrt{2}}{2} \).
Задатак 4 (тежак): Тело масе \( 200 \text{ g} \) окачено је о нит занемарљиве масе и чини математичко клатно. Изведено је из равнотежног положаја за угао \( \theta = 30^\circ \). Колики је интензитет повратне силе која тежи да врати клатно у равнотежни положај у том тренутку? Узети \( g = 9{,}81 \text{ m/s}^2 \).
Повратна сила математичког клатна једнака је тангенцијалној компоненти силе теже:
\[ F = mg \sin \theta \]
Претварањем масе у основне јединице (\( m = 0{,}2 \text{ kg} \)) и знајући да је \( \sin 30^\circ = 0{,}5 \):
\[ F = 0{,}2 \text{ kg} \cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2 \cdot \sin 30^\circ = 0{,}2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5 = 0{,}981 \text{ N} \]
Одговор: Интензитет повратне силе износи \( 0{,}981 \text{ N} \).
