Најважније из лекције
Дисперзија: Разлагање беле светлости настаје због зависности индекса преламања од таласне дужине \(n(\lambda)\). Краће таласне дужине (плава) више се преламају и више скрећу од дужих (црвена).
Равно огледало: Лик је увек имагинаран, симетричан, исте величине (\(L=P\)) и на истом растојању (\(l=p\)).
Сферна огледала:
Равно огледало: Лик је увек имагинаран, симетричан, исте величине (\(L=P\)) и на истом растојању (\(l=p\)).
Сферна огледала:
- Жижна даљина: \(f = \frac{r}{2}\).
- Једначина огледала: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f}\).
- Линеарно увећање: \(U = \frac{L}{P} = \frac{l}{p}\).
- Конкавна огледала сакупљају зраке (реална жижа, могу давати и реалне и имагинарне ликове), док конвексна огледала расипају зраке (имагинарна жижа, дају искључиво имагинарне, усправне и умањене ликове са широким видним пољем).
Полихроматска (бела) светлост је сложена светлост која се састоји из низа таласа различитих фреквенција, односно таласних дужина.
Дисперзија светлости представља појаву зависности индекса преламања средине \(n\) од таласне дужине светлости \(\lambda\).
Са смањењем таласне дужине (\(\lambda\)), индекс преламања (\(n\)) расте. Због тога се плава и љубичаста светлост преламају и скрећу највише, док црвена светлост скреће најмање:
\[ \lambda_{\text{црвена}} > \lambda_{\text{плава}} \implies n_{\text{црвена}} < n_{\text{плава}} \implies \delta_{\text{црвена}} < \delta_{\text{плава}} \]
Индекс преламања материјала оптичке призме зависи и од температуре, што се мора узети у обзир при прецизним спектрометријским мерењима.
Кроз стаклену призму истовремено пролазе црвени (\(\lambda = 656,3\text{ nm}\)) и плави светлосни зрак (\(\lambda = 486,1\text{ nm}\)). Који зрак ће имати већи угао скретања након изласка из призме?
Плави зрак има мању таласну дужину, што значи да за њега стакло има већи индекс преламања (\(n_{\text{плава}} > n_{\text{црвена}}\)). Због тога ће плави светлосни зрак претрпети веће скретање кроз призму.
Огледало је углачана метална или метализирана површина са високим коефицијентом рефлексије светлости.
Особине лика код равног огледала:
- Лик је имагинаран (нестваран) – настаје у пресеку продужетака одбијених зрака иза огледала;
- Растојање лика од огледала једнако је растојању предмета од огледала (\(l = p\));
- Величина лика једнака је величини предмета (\(L = P\));
- Лик је усправан, али поседује огледалску симетрију (лева и десна страна су међусобно замењене).
\[ \delta = 180^\circ - 2\alpha \]
\(\alpha\) – упадни угао зрака на огледало; \(\delta\) – угао отклона зрака од првобитног правца.
Ако се светлосни зрак редом одбије од два равна огледала која међусобно заклапају угао \(\theta\), укупно скретање зрака износи \(\delta_{\text{укупно}} = 2\theta\) и не зависи од упадног угла на прво огледало.
Човек стоји на растојању од \(2\text{ m}\) испред равног огледала. Колико је растојање између човека и његовог лика?
Пошто је растојање лика од огледала једнако растојању предмета од огледала (\(l = p = 2\text{ m}\)), укупно растојање између човека и његовог лика је:
\[ d = p + l = 2\text{ m} + 2\text{ m} = 4\text{ m} \]
Сферно огледало је углачани део сферне површине. Може бити:
- Конкавно (издубљено) – рефлектујућа површина је унутрашња страна сфере;
- Конвексно (испупчено) – рефлектујућа површина је спољашња страна сфере.
- \(T\) – теме огледала;
- \(C\) – центар кривине огледала;
- \(r\) – полупречник (радијус) кривине;
- \(F\) – жижа (фокус) огледала;
- \(f\) – жижна даљина (\(f = \frac{r}{2}\));
- \(p\) – растојање предмета од темена;
- \(l\) – растојање лика од темена.
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f} = \frac{2}{r} \]
Једначина сферног огледала. За конвексно огледало, жижна даљина и полупречник кривине узимају се са негативним предзнаком (\(f < 0, r < 0\)). Код имагинарних ликова, \(l < 0\).
Конкавно сферно огледало има полупречник кривине \(r = 60\text{ cm}\). На ком растојању испред огледала се формира жижа?
Жижна даљина једнака је половини полупречника кривине:
\[ f = \frac{r}{2} = \frac{60\text{ cm}}{2} = 30\text{ cm} \]
За геометријску конструкцију лика тачке ван оптичке осе користе се најмање два од четири карактеристична зрака:
- Паралелни зрак: полази од предмета паралелно оптичкој оси и након одбијања пролази кроз жижу \(F\) (или његов продужетак пролази кроз \(F\));
- Жижни зрак: пролази кроз жижу \(F\) и након одбијања простире се паралелно оптичкој оси;
- Централни зрак: пролази кроз центар кривине \(C\) и одбија се назад по истом правцу;
- Темени зрак: пада у теме огледала \(T\) и одбија се под истим углом у односу на оптичку осу (по закону одбијања).
Реалан лик настаје у стварном пресеку одбијених зрака (испред огледала), док имагинаран лик настаје у пресеку продужетака одбијених зрака (иза огледала).
Какав лик даје конвексно огледало за било који реалан положај предмета?
Конвексно огледало увек даје имагинаран, усправан и умањен лик предмета, који се налази иза огледала (између темена \(T\) и имагинарне жиже \(F\)).
Линеарно увећање огледала (\(U\)) је бездимензионална величина дефинисана као однос величине лика (\(L\)) и величине предмета (\(P\)).
\[ U = \frac{L}{P} = \frac{l}{p} \]
\(L\) – висина (величина) лика; \(P\) – висина (величина) предмета; \(l\) – растојање лика од темена; \(p\) – растојање предмета од темена.
Практична примена огледала:
- Конкавна (издубљена) огледала: користе се за добијање увећаних усправних ликова када је предмет близу (стоматолошка и козметичка огледала), код рефлектора и фарова (извор у жижи даје паралелан сноп), телескопа рефлектора, као и код соларних електрана (концентрисање паралелних сунчевих зрака у једну тачку – жижу, ради загревања флуида).
- Конвексна (испупчена) огледала: дају умањен лик уз веома широко видно поље, па се користе као ретровизори на возилима и саобраћајна огледала на непрегледним раскрсницама.
Предмет висине \(5\text{ cm}\) налази се испред огледала које даје лик висине \(15\text{ cm}\). Колико је линеарно увећање огледала?
Линеарно увећање је:
\[ U = \frac{L}{P} = \frac{15\text{ cm}}{5\text{ cm}} = 3 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Полупречник кривине испупченог (конвексног) огледала износи \(40\text{ cm}\). Колика је жижна даљина овог огледала?
Жижна даљина сферног огледала по апсолутној вредности је половина полупречника кривине:
\[ |f| = \frac{r}{2} = \frac{40\text{ cm}}{2} = 20\text{ cm} \]
С обзиром на то да је у питању конвексно огледало, његова жижа је имагинарна, па се узима негативан предзнак:
\[ f = -20\text{ cm} \]
Задатак 2 (средњи): Предмет се налази на растојању \(p = 30\text{ cm}\) испред конкавног огледала жижне даљине \(f = 20\text{ cm}\). Одредити положај лика (\(l\)) и одредити линеарно увећање огледала.
Применом једначине сферног огледала:
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{l} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} \]
\[ \frac{1}{l} = \frac{1}{20\text{ cm}} - \frac{1}{30\text{ cm}} = \frac{3 - 2}{60\text{ cm}} = \frac{1}{60\text{ cm}} \implies l = 60\text{ cm} \]
Пошто је \(l > 0\), лик је реалан и налази се на удаљености од \(60\text{ cm}\) испред темена огледала.
Линеарно увећање огледала је: \[ U = \frac{l}{p} = \frac{60\text{ cm}}{30\text{ cm}} = 2 \] Лик је два пута већи од предмета (и изврнут).
Линеарно увећање огледала је: \[ U = \frac{l}{p} = \frac{60\text{ cm}}{30\text{ cm}} = 2 \] Лик је два пута већи од предмета (и изврнут).
Задатак 3 (средњи): Два равна огледала постављена су под међусобним углом од \(\theta = 45^\circ\). Светлосни зрак пада на прво огледало под упадним углом \(\alpha = 25^\circ\). Израчунати укупан угао скретања зрака након рефлексије од оба огледала.
Укупно скретање светлосног зрака након узастопног одбијања од два огледала зависи искључиво од угла између огледала \(\theta\), а не од упадног угла \(\alpha\):
\[ \delta_{\text{укупно}} = 2\theta = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \]
Задатак 4 (тежак): Испред конкавног огледала полупречника кривине \(r = 40\text{ cm}\) постављен је предмет висине \(P = 6\text{ cm}\). На ком растојању \(p\) од темена огледала треба поставити предмет да би се на заклону добио реалан лик висине \(L = 18\text{ cm}\)?
1. Жижна даљина конкавног огледала је:
\[ f = \frac{r}{2} = \frac{40\text{ cm}}{2} = 20\text{ cm} \]
2. Из линеарног увећања налазимо везу између \(l\) и \(p\):
\[ U = \frac{L}{P} = \frac{18\text{ cm}}{6\text{ cm}} = 3 \implies \frac{l}{p} = 3 \implies l = 3p \]
3. Уврштавањем у једначину огледала:
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{p} + \frac{1}{3p} = \frac{1}{20} \]
\[ \frac{3 + 1}{3p} = \frac{1}{20} \implies \frac{4}{3p} = \frac{1}{20} \]
\[ 3p = 4 \cdot 20 = 80 \implies p = \frac{80}{3}\text{ cm} \approx 26,67\text{ cm} \]
Одговор: Предмет треба поставити на растојање од приближно \(26,67\text{ cm}\) испред темена огледала.
