Најважније из лекције
Сферни талас: Једначина гласи \( y = \frac{A}{r}\sin(\omega t - kr) \); амплитуда опада сразмерно са \( \frac{1}{r} \).
Запреминска густина енергије: \( w = \frac{E}{\Delta V} = \frac{1}{2}\rho \omega^2 A^2 \) \([\text{J}/\text{m}^3]\).
Интензитет (јачина) таласа: \( I = \frac{P}{S} = \frac{E}{S\Delta t} = w \cdot u = \frac{1}{2}\rho u \omega^2 A^2 \) \([\text{W}/\text{m}^2]\). Сразмеран је квадрату амплитуде (\( A^2 \)) и квадрату кружне учестаности (\( \omega^2 \)).
Таласни фронт и апсорпција: Таласни фронт тачкастог извора у простору је сфера; услед унутрашњег трења део механичке енергије таласа прелази у топлоту.
Запреминска густина енергије: \( w = \frac{E}{\Delta V} = \frac{1}{2}\rho \omega^2 A^2 \) \([\text{J}/\text{m}^3]\).
Интензитет (јачина) таласа: \( I = \frac{P}{S} = \frac{E}{S\Delta t} = w \cdot u = \frac{1}{2}\rho u \omega^2 A^2 \) \([\text{W}/\text{m}^2]\). Сразмеран је квадрату амплитуде (\( A^2 \)) и квадрату кружне учестаности (\( \omega^2 \)).
Таласни фронт и апсорпција: Таласни фронт тачкастог извора у простору је сфера; услед унутрашњег трења део механичке енергије таласа прелази у топлоту.
Код сферних таласа осциловање из тачкастог извора шири се радијално у свим правцима дуж полупречника \( r \).
Како се талас удаљава од извора, енергија осциловања се распоређује на све већи број честица (већу сферну површину), па се амплитуда таласа смањује обрнуто сразмерно растојању (\( \sim \frac{1}{r} \)).
\[ y = \frac{A}{r}\sin(\omega t - kr) \]
\( y \) – елонгација у тачки на растојању \( r \) у тренутку \( t \); \( A \) – константа амплитуде извора; \( \omega \) – кружна учестаност; \( k \) – таласни број (\( k = \frac{2\pi}{\lambda} \)).
Како се промени амплитуда сферног таласа када се удаљеност од извора утростручи (\( r_2 = 3r_1 \))?
Амплитуда сферног таласа опада по закону \( A(r) = \frac{A}{r} \).
\[ \frac{A(r_2)}{A(r_1)} = \frac{\frac{A}{3r_1}}{\frac{A}{r_1}} = \frac{1}{3} \]
Одговор: Амплитуда осциловања ће се смањити \( 3 \) пута.
Механички талас преноси механичку енергију кроз средину. За делић средине запремине \( \Delta V \) и масе \( \Delta m = \rho \Delta V \), укупна енергија осциловања износи:
\[ E = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 \Delta V \]
\( \rho \) – густина средине; \( \omega \) – кружна учестаност; \( A \) – амплитуда таласа; \( \Delta V \) – запремина делића средине.
Запреминска густина енергије (\( w \)) представља однос енергије осциловања делића средине и његове запремине (енергија у јединичној запремини):
\[ w = \frac{E}{\Delta V} = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 \]
Јединица за запреминску густину енергије је џул по метру кубном (\( \text{J}/\text{m}^3 \)).
Интензитет (јачина) таласа (\( I \)) је физичка величина која представља енергију коју талас пренесе у јединици времена кроз јединичну површину постављену нормално на правац простирања таласа.
\[ I = \frac{E}{S \Delta t} = \frac{P}{S} \]
\( P = \frac{E}{\Delta t} \) – снага таласа; \( S \) – површина нормална на правац простирања.
Мерна јединица за интензитет таласа је ват по квадратном метру (\( \text{W}/\text{m}^2 \)).
За равне таласе који се простиру брзином \( u \) важи веза између интензитета и запреминске густине енергије:
\[ I = w \cdot u = \frac{1}{2} \rho u \omega^2 A^2 \]
Интензитет таласа директно је сразмеран:
- густини средине (\( \rho \)),
- брзини простирања таласа (\( u \)),
- квадрату кружне учестаности (\( \omega^2 \)),
- квадрату амплитуде таласа (\( A^2 \)).
Таласни фронт је геометријско место свих тачака средине до којих је осциловање допрло у истом временском тренутку \( t \).
У хомогеној и неограниченој тродимензионалној средини, таласни фронт тачкастог извора има облик сфере.
У реалним срединама увек постоји унутрашње трење (вискозност). Због тога се део механичке енергије таласа при простирању апсорбује и прелази у унутрашњу топлотну енергију средине, што доводи до додатног слабљења таласа.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Раван талас преноси кроз површину од \( 2\text{ m}^2 \), постављену нормално на правац простирања, енергију од \( 600\text{ J} \) у току времена од \( 5\text{ s} \). Колики је интензитет овог таласа?
Познато је: \( S = 2\text{ m}^2 \), \( E = 600\text{ J} \), \( \Delta t = 5\text{ s} \).
Формула за интензитет таласа: \[ I = \frac{E}{S \Delta t} \] \[ I = \frac{600\text{ J}}{2\text{ m}^2 \cdot 5\text{ s}} = \frac{600}{10}\text{ W}/\text{m}^2 = 60\text{ W}/\text{m}^2 \] Одговор: Интензитет таласа износи \( 60\text{ W}/\text{m}^2 \).
Формула за интензитет таласа: \[ I = \frac{E}{S \Delta t} \] \[ I = \frac{600\text{ J}}{2\text{ m}^2 \cdot 5\text{ s}} = \frac{600}{10}\text{ W}/\text{m}^2 = 60\text{ W}/\text{m}^2 \] Одговор: Интензитет таласа износи \( 60\text{ W}/\text{m}^2 \).
Задатак 2 (Средњи ниво): Густина енергије равног таласа у ваздуху износи \( w = 4 \cdot 10^{-4}\text{ J}/\text{m}^3 \). Ако је брзина простирања таласа \( u = 340\text{ m}/\text{s} \), израчунати снагу таласа која пролази кроз прозор површине \( 1{,}5\text{ m}^2 \) нормалан на правац таласа.
Познато је: \( w = 4 \cdot 10^{-4}\text{ J}/\text{m}^3 \), \( u = 340\text{ m}/\text{s} \), \( S = 1{,}5\text{ m}^2 \).
1. Налазимо интензитет таласа: \[ I = w \cdot u = 4 \cdot 10^{-4}\text{ J}/\text{m}^3 \cdot 340\text{ m}/\text{s} = 0{,}136\text{ W}/\text{m}^2 \] 2. Из дефиниције интензитета \( I = \frac{P}{S} \) израчунавамо снагу \( P \): \[ P = I \cdot S = 0{,}136\text{ W}/\text{m}^2 \cdot 1{,}5\text{ m}^2 = 0{,}204\text{ W} = 204\text{ mW} \] Одговор: Снага таласа кроз прозор износи \( 0{,}204\text{ W} \) (или \( 204\text{ mW} \)).
1. Налазимо интензитет таласа: \[ I = w \cdot u = 4 \cdot 10^{-4}\text{ J}/\text{m}^3 \cdot 340\text{ m}/\text{s} = 0{,}136\text{ W}/\text{m}^2 \] 2. Из дефиниције интензитета \( I = \frac{P}{S} \) израчунавамо снагу \( P \): \[ P = I \cdot S = 0{,}136\text{ W}/\text{m}^2 \cdot 1{,}5\text{ m}^2 = 0{,}204\text{ W} = 204\text{ mW} \] Одговор: Снага таласа кроз прозор износи \( 0{,}204\text{ W} \) (или \( 204\text{ mW} \)).
Задатак 3 (Тежи ниво): Ако се кружна фреквенција хармонијског таласа повећа \( 2 \) пута, а амплитуда осциловања смањи \( 4 \) пута при простирању кроз исту средину једнаком брзином, како ће се променити интензитет тог таласа?
Интензитет равног таласа дат је изразом:
\[ I_1 = \frac{1}{2}\rho u \omega_1^2 A_1^2 \]
У новом стању параметри су: \( \omega_2 = 2\omega_1 \) и \( A_2 = \frac{A_1}{4} \).
\[ I_2 = \frac{1}{2}\rho u \omega_2^2 A_2^2 = \frac{1}{2}\rho u (2\omega_1)^2 \left(\frac{A_1}{4}\right)^2 \]
\[ I_2 = \frac{1}{2}\rho u \cdot 4\omega_1^2 \cdot \frac{A_1^2}{16} = \frac{4}{16} \left(\frac{1}{2}\rho u \omega_1^2 A_1^2\right) = \frac{1}{4} I_1 \]
Одговор: Интензитет таласа ће се смањити \( 4 \) пута (\( I_2 = \frac{I_1}{4} \)).
