Најважније из лекције
Паралелност зрака: Проласком кроз планпаралелну плочу смер ширења светлости се не мења (\( \alpha_1 = \alpha \)), већ излазни зрак остаје паралелан упадном.
Паралелни померај: Зрак се бочно транслаторно помера за растојање: \[ d = \frac{D \sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta} = D \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n_{12}^2 - \sin^2 \alpha}} \right) \] Кључне зависности: Померај \( d \) директно расте са повећањем дебљине плоче \( D \), упадног угла \( \alpha \) и индекса преламања \( n_{12} \). При нормалном упаду (\( \alpha = 0^\circ \)), зрак пролази без преламања и помераја (\( d = 0 \)).
Паралелни померај: Зрак се бочно транслаторно помера за растојање: \[ d = \frac{D \sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta} = D \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n_{12}^2 - \sin^2 \alpha}} \right) \] Кључне зависности: Померај \( d \) директно расте са повећањем дебљине плоче \( D \), упадног угла \( \alpha \) и индекса преламања \( n_{12} \). При нормалном упаду (\( \alpha = 0^\circ \)), зрак пролази без преламања и помераја (\( d = 0 \)).
Планпаралелна плоча је узана област провидне оптичке средине ограничена двема равним и паралелним површинама, дебљине \( D \) и индекса преламања \( n_2 \), која се налази у средини индекса преламања \( n_1 \).
При проласку кроз планпаралелну плочу, излазни зрак је паралелан упадном зраку.
Применом Снелијусовог закона преламања на обе граничне површине (\( \text{G}_1 \) и \( \text{G}_2 \)):
\[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1} \quad \text{и} \quad \frac{\sin \beta}{\sin \alpha_1} = \frac{n_1}{n_2} \]
Множењем ових релација следи:
\[ \sin \alpha = \sin \alpha_1 \implies \alpha_1 = \alpha \]
Угао под којим светлосни зрак напушта плочу једнак је упадном углу.
Бочни померај (\( d \)) представља најкраће (нормално) растојање између правца упадног зрака и правца излазног зрака.
\[ d = \frac{D \sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta} \]
\[ d = D \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n_{12}^2 - \sin^2 \alpha}} \right) \]
\( D \) – дебљина плоче; \( \alpha \) – упадни угао; \( \beta \) – угао преламања; \( n_{12} = \frac{n_2}{n_1} \) – релативни индекс преламања плоче у односу на околну средину.
Померај излазног зрака зависи од:
- Дебљине плоче (\( D \)): дебља плоча узрокује већи померај.
- Упадног угла (\( \alpha \)): повећањем упадног угла померај расте (за \( \alpha = 0^\circ \), померај је \( d = 0 \)).
- Релативног индекса преламања (\( n_{12} \)): оптички гушћа плоча више скреће зрак ка нормали и ствара већи померај.
Из правоуглог троугла \( \triangle \text{ABC} \) са слике:
\[ d = \text{AB} \cdot \sin(\alpha - \beta) \]
Како је дужина пута кроз плочу \( \text{AB} = \frac{D}{\cos \beta} \), уврштавањем и применом тригонометријске релације за синус разлике добија се:
\[ d = D \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \beta} = D \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta} \right) \]
Користећи закон преламања \( \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n_{12} \) и везу \( \cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{n_{12}^2}} \), израз постаје:
\[ d = D \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n_{12}^2 - \sin^2 \alpha}} \right) \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Светлосни зрак упада из ваздуха на стаклену планпаралелну плочу под углом од \( 50^\circ \). Под којим углом у односу на нормалу зрак напушта ову плочу?
Код планпаралелне плоче излазни зрак је паралелан упадном зраку, што значи да је излазни угао једнак упадном углу:
\[ \alpha_1 = \alpha = 50^\circ \]
Одговор: Зрак излази из плоче под углом од \( 50^\circ \).
Задатак 2 (средњи): Зрак светлости упада на планпаралелну плочу дебљине \( D = 5\text{ cm} \) под упадним углом \( \alpha = 60^\circ \). Угао преламања у плочи је \( \beta = 30^\circ \). Израчунати бочни померај зрака \( d \).
Користимо формулу:
\[ d = \frac{D \sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta} \]
Разлика углова је:
\[ \alpha - \beta = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \]
Уврштавањем вредности \( \sin 30^\circ = 0{,}5 \) и \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[ d = \frac{5\text{ cm} \cdot 0{,}5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}}\text{ cm} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\text{ cm} \approx 2{,}89\text{ cm} \]
Одговор: Бочни померај зрака износи \( \frac{5\sqrt{3}}{3}\text{ cm} \approx 2{,}89\text{ cm} \).
Задатак 3 (тежак): Светлосни зрак упада из ваздуха (\( n_1 = 1 \)) на стаклену планпаралелну плочу индекса преламања \( n_2 = \sqrt{2} \) под упадним углом \( \alpha = 45^\circ \). Дебљина плоче је \( D = 6\text{ cm} \). Одредити бочни померај излазног зрака.
Релативни индекс преламања је \( n_{12} = \frac{n_2}{n_1} = \sqrt{2} \).
Тригонометријске вредности за \( \alpha = 45^\circ \) су: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin^2 45^\circ = \frac{1}{2} \] Примењујемо формулу за померај: \[ d = D \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n_{12}^2 - \sin^2 \alpha}} \right) \] \[ d = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2 - \frac{1}{2}}} \right) \] \[ \sqrt{2 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ d = 3\sqrt{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \sqrt{2}(3 - \sqrt{3})\text{ cm} \approx 1{,}414 \cdot (3 - 1{,}732)\text{ cm} \approx 1{,}79\text{ cm} \] Одговор: Бочни померај зрака износи приближно \( 1{,}79\text{ cm} \).
Тригонометријске вредности за \( \alpha = 45^\circ \) су: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin^2 45^\circ = \frac{1}{2} \] Примењујемо формулу за померај: \[ d = D \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n_{12}^2 - \sin^2 \alpha}} \right) \] \[ d = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2 - \frac{1}{2}}} \right) \] \[ \sqrt{2 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ d = 3\sqrt{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \sqrt{2}(3 - \sqrt{3})\text{ cm} \approx 1{,}414 \cdot (3 - 1{,}732)\text{ cm} \approx 1{,}79\text{ cm} \] Одговор: Бочни померај зрака износи приближно \( 1{,}79\text{ cm} \).
