Најважније из лекције
Пригушене осцилације: Осцилације са опадајућом амплитудом услед силе отпора средине \( F = -rv \).
Једначина кретања: \( a = -\omega_0^2 x - 2\beta v \), где је сопствена фреквенција \( \omega_0 = \sqrt{k/m} \), а коефицијент пригушења \( \beta = \frac{r}{2m} \).
Закон кретања: \( x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0) \), при чему је фреквенција пригушених осцилација мања од сопствене (\( \omega < \omega_0 \)).
Степен пригушења и логаритамски декремент: Степен пригушења је однос узастопних амплитуда \( \frac{A_n}{A_{n+1}} = e^{\beta T} \), док је логаритамски декремент \( \delta = \ln\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right) = \beta T \).
Једначина кретања: \( a = -\omega_0^2 x - 2\beta v \), где је сопствена фреквенција \( \omega_0 = \sqrt{k/m} \), а коефицијент пригушења \( \beta = \frac{r}{2m} \).
Закон кретања: \( x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0) \), при чему је фреквенција пригушених осцилација мања од сопствене (\( \omega < \omega_0 \)).
Степен пригушења и логаритамски декремент: Степен пригушења је однос узастопних амплитуда \( \frac{A_n}{A_{n+1}} = e^{\beta T} \), док је логаритамски декремент \( \delta = \ln\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right) = \beta T \).
Пригушене (амортизоване) осцилације су осцилације чија се амплитуда постепено смањује током времена услед дејства спољашњих сила отпора средине и трења.
Сила отпора средине: При малим брзинама кретања, сила отпора сразмерна је брзини тела и супротног је смера од брзине:
\[ F = -r \cdot v \]
где је \( r \) коефицијент отпора средине.
Када осцилатор врши рад на савладавању отпора средине, његова укупна механичка енергија се смањује (прелази у топлоту), што узрокује пад амплитуде и на крају заустављање тела.
Клатно или тело окачено о опругу у ваздуху полако смањује свој отклон због отпора ваздуха и трења у вешању. Ако се исти осцилатор потопи у вискознију средину попут воде или уља, пригушење ће бити знатно брже и уочљивије.
Зашто се амплитуда слободног хармонијског осцилатора не мења током времена, док код реалног осцилатора опада?
Код идеалног слободног хармонијског осцилатора претпоставља се да делује само реституциона (еластична) сила и нема губитака енергије. Код реалног осцилатора постоје трење и отпор средине који врше негативан рад и смањују механичку енергију осцилатора, што доводи до смањења амплитуде.
На основу Другог Њутновог закона, укупно убрзање тела масе \( m \) на које делују еластична сила (\( -kx \)) и сила отпора (\( -rv \)) износи:
\[ ma = -kx - rv \implies a = -\frac{k}{m}x - \frac{r}{m}v \]
\[ a = -\omega_0^2 x - 2\beta v \]
\( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \) – сопствена кружна фреквенција (без пригушења)
\( \beta = \frac{r}{2m} \) – коефицијент пригушења
Услед постојања пригушења:
- Кружна фреквенција осциловања постаје мања од сопствене: \( \omega < \omega_0 \).
- Амплитуда осциловања експоненцијално опада са временом: \( A(t) = A_0 e^{-\beta t} \).
\[ x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0) \]
\( A_0 \) – почетна амплитуда, \( \beta \) – коефицијент пригушења, \( \omega \) – кружна фреквенција пригушених осцилација, \( \varphi_0 \) – почетна фаза
Како се мења амплитуда пригушених осцилација ако се коефицијент пригушења \( \beta \) повећа?
Пошто амплитуда опада по закону \( A(t) = A_0 e^{-\beta t} \), са већом вредношћу \( \beta \) амплитуда опада знатно брже током времена.
Степен пригушења: Однос вредности две узастопне амплитуде \( A_n \) и \( A_{n+1} \) које су раздвојене за време једног периода \( T \):
\[ \frac{A_n}{A_{n+1}} = \frac{A_0 e^{-\beta t}}{A_0 e^{-\beta (t+T)}} = e^{\beta T} = e^{\frac{r}{2m}T} \]
Логаритамски декремент (\( \delta \)): Природни логаритам степена пригушења:
\[ \delta = \ln\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right) = \beta T \]
Логаритамски декремент је изузетно важан у експерименталној физици јер омогућава да се мерењем узастопних амплитуда одреди коефицијент пригушења \( \beta \), коефицијент отпора \( r \), као и динамички коефицијент вискозности течности или гаса \( \eta \).
Ако је однос две узастопне амплитуде \( \frac{A_n}{A_{n+1}} = e \approx 2{,}718 \), колики је логаритамски декремент пригушења?
Логаритамски декремент је:
\[ \delta = \ln\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right) = \ln(e) = 1 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело масе \( m = 250\text{ g} \) осцилује у вискозној течности где коефицијент отпора средине износи \( r = 0{,}05\text{ kg/s} \). Израчунати коефицијент пригушења \( \beta \).
Подаци:
\( m = 250\text{ g} = 0{,}25\text{ kg} \)
\( r = 0{,}05\text{ kg/s} \)
Поступак:
Користимо дефиницију коефицијента пригушења: \[ \beta = \frac{r}{2m} \] \[ \beta = \frac{0{,}05\text{ kg/s}}{2 \cdot 0{,}25\text{ kg}} = \frac{0{,}05}{0{,}5} = 0{,}1\text{ s}^{-1} \] Одговор: Коефицијент пригушења износи \( 0{,}1\text{ s}^{-1} \).
\( m = 250\text{ g} = 0{,}25\text{ kg} \)
\( r = 0{,}05\text{ kg/s} \)
Поступак:
Користимо дефиницију коефицијента пригушења: \[ \beta = \frac{r}{2m} \] \[ \beta = \frac{0{,}05\text{ kg/s}}{2 \cdot 0{,}25\text{ kg}} = \frac{0{,}05}{0{,}5} = 0{,}1\text{ s}^{-1} \] Одговор: Коефицијент пригушења износи \( 0{,}1\text{ s}^{-1} \).
Задатак 2 (средњи): Период пригушених осцилација је \( T = 0{,}4\text{ s} \), а коефицијент пригушења износи \( \beta = 0{,}5\text{ s}^{-1} \).
а) Израчунати логаритамски декремент пригушења \( \delta \).
б) Израчунати степен пригушења \( \frac{A_n}{A_{n+1}} \).
а) Израчунати логаритамски декремент пригушења \( \delta \).
б) Израчунати степен пригушења \( \frac{A_n}{A_{n+1}} \).
Подаци:
\( T = 0{,}4\text{ s} \)
\( \beta = 0{,}5\text{ s}^{-1} \)
Поступак:
а) Логаритамски декремент: \[ \delta = \beta \cdot T = 0{,}5\text{ s}^{-1} \cdot 0{,}4\text{ s} = 0{,}2 \]
б) Степен пригушења: \[ \frac{A_n}{A_{n+1}} = e^{\delta} = e^{0{,}2} \approx 1{,}22 \] Одговор: Логаритамски декремент је \( 0{,}2 \), а степен пригушења је приближно \( 1{,}22 \).
\( T = 0{,}4\text{ s} \)
\( \beta = 0{,}5\text{ s}^{-1} \)
Поступак:
а) Логаритамски декремент: \[ \delta = \beta \cdot T = 0{,}5\text{ s}^{-1} \cdot 0{,}4\text{ s} = 0{,}2 \]
б) Степен пригушења: \[ \frac{A_n}{A_{n+1}} = e^{\delta} = e^{0{,}2} \approx 1{,}22 \] Одговор: Логаритамски декремент је \( 0{,}2 \), а степен пригушења је приближно \( 1{,}22 \).
Задатак 3 (тежак): Почетна амплитуда пригушеног осциловања износи \( A_0 = 12\text{ cm} \). Након времена \( t_1 = 8\text{ s} \), амплитуда опадне на \( A_1 = 6\text{ cm} \).
а) Одредити коефицијент пригушења \( \beta \).
б) Колика ће бити амплитуда осциловања \( A_2 \) након времена \( t_2 = 24\text{ s} \) од почетка осциловања?
а) Одредити коефицијент пригушења \( \beta \).
б) Колика ће бити амплитуда осциловања \( A_2 \) након времена \( t_2 = 24\text{ s} \) од почетка осциловања?
Подаци:
\( A_0 = 12\text{ cm} \)
\( t_1 = 8\text{ s} \), \( A_1 = 6\text{ cm} \)
\( t_2 = 24\text{ s} \)
Поступак:
а) Амплитуда у тренутку \( t_1 \): \[ A(t_1) = A_0 e^{-\beta t_1} \implies 6 = 12 e^{-8\beta} \implies e^{-8\beta} = \frac{1}{2} \] \[ -8\beta = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) \approx -0{,}693 \] \[ \beta = \frac{\ln(2)}{8} \approx \frac{0{,}693}{8} \approx 0{,}0866\text{ s}^{-1} \]
б) Амплитуда у тренутку \( t_2 = 24\text{ s} = 3 \cdot 8\text{ s} \): \[ A(t_2) = A_0 e^{-\beta t_2} = A_0 \left(e^{-8\beta}\right)^3 = 12\text{ cm} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12 \cdot \frac{1}{8} = 1{,}5\text{ cm} \] Одговор: Коефицијент пригушења је \( \beta \approx 0{,}0866\text{ s}^{-1} \), а амплитуда након \( 24\text{ s} \) износи \( 1{,}5\text{ cm} \).
\( A_0 = 12\text{ cm} \)
\( t_1 = 8\text{ s} \), \( A_1 = 6\text{ cm} \)
\( t_2 = 24\text{ s} \)
Поступак:
а) Амплитуда у тренутку \( t_1 \): \[ A(t_1) = A_0 e^{-\beta t_1} \implies 6 = 12 e^{-8\beta} \implies e^{-8\beta} = \frac{1}{2} \] \[ -8\beta = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) \approx -0{,}693 \] \[ \beta = \frac{\ln(2)}{8} \approx \frac{0{,}693}{8} \approx 0{,}0866\text{ s}^{-1} \]
б) Амплитуда у тренутку \( t_2 = 24\text{ s} = 3 \cdot 8\text{ s} \): \[ A(t_2) = A_0 e^{-\beta t_2} = A_0 \left(e^{-8\beta}\right)^3 = 12\text{ cm} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12 \cdot \frac{1}{8} = 1{,}5\text{ cm} \] Одговор: Коефицијент пригушења је \( \beta \approx 0{,}0866\text{ s}^{-1} \), а амплитуда након \( 24\text{ s} \) износи \( 1{,}5\text{ cm} \).
