Најважније из лекције
Хармонијско понашање: У идеалном LC колу наелектрисање осцилује као \(q = q_0 \cos(\omega t)\), а струја као \(i = -I_0 \sin(\omega t)\), при чему је \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) и \(I_0 = \omega q_0\).
Одржање енергије: Енергија непрекидно прелази из електричног поља кондензатора (\(E_e = \frac{q^2}{2C}\)) у магнетно поље калема (\(E_m = \frac{1}{2} L i^2\)) и обрнуто. Укупна енергија остаје очувана: \(E = E_{e0} = E_{m0}\).
Електро-механичка аналогија: Електрична енергија \(E_e\) одговара механичкој потенцијалној енергији \(E_p\), док магнетна енергија \(E_m\) одговара кинетичкој енергији \(E_k\).
Пригушење: У реалним колима постоји омска отпорност \(R\), па се део енергије губи у виду Џулове топлоте, што доводи до пригушених осцилација.
Одржање енергије: Енергија непрекидно прелази из електричног поља кондензатора (\(E_e = \frac{q^2}{2C}\)) у магнетно поље калема (\(E_m = \frac{1}{2} L i^2\)) и обрнуто. Укупна енергија остаје очувана: \(E = E_{e0} = E_{m0}\).
Електро-механичка аналогија: Електрична енергија \(E_e\) одговара механичкој потенцијалној енергији \(E_p\), док магнетна енергија \(E_m\) одговара кинетичкој енергији \(E_k\).
Пригушење: У реалним колима постоји омска отпорност \(R\), па се део енергије губи у виду Џулове топлоте, што доводи до пригушених осцилација.
Идеално LC осцилаторно коло састоји се од кондензатора капацитивности \(C\) и калема индуктивности \(L\), при чему се отпорност проводника занемарује.
Количина наелектрисања на кондензатору и јачина струје у колу мењају се хармонијски (периодично) са временом:
\[ q(t) = q_0 \cos(\omega t) \]
\[ i(t) = -I_0 \sin(\omega t) \]
\(q_0\) – максимална количина наелектрисања (амплитуда наелектрисања), \(I_0 = \omega q_0\) – максимална јачина струје (амплитуда струје), \(\omega\) – сопствена кружна учестаност кола.
Сопствена кружна фреквенција осциловања идеалног LC кола одређена је изразом:
\[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
Енергија осцилаторног кола састоји се од енергије електричног поља кондензатора (\(E_e\)) и енергије магнетног поља калема (\(E_m\)), које се непрекидно трансформишу једна у другу.
\[ E_e = \frac{q^2}{2C} = \frac{q_0^2}{2C} \cos^2(\omega t) = E_{e0} \cos^2(\omega t) \]
\[ E_m = \frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{2} L \omega^2 q_0^2 \sin^2(\omega t) = E_{m0} \sin^2(\omega t) \]
\(E_{e0} = \frac{q_0^2}{2C}\) – максимална електрична енергија, \(E_{m0} = \frac{1}{2} L I_0^2\) – максимална магнетна енергија.
Закон одржања енергије: Укупна електромагнетна енергија идеалног кола је константна у сваком тренутку времена:
\[ E = E_e + E_m = E_{e0} = E_{m0} = \text{const} \]
Када је напон (и наелектрисање) на кондензатору максималан, струја у колу је једнака нули (\(E_e = E_{\text{max}}, E_m = 0\)). Када се кондензатор потпуно испразни, струја у колу достиже максимум (\(E_e = 0, E_m = E_{\text{max}}\)). Током једног периода осциловања, електрична енергија се два пута претвара у магнетну и обрнуто.
Процеси у електричном осцилаторном колу могу се директно упоредити са осциловањем механичког осцилатора (нпр. клатна или тела на опрузи):
| Механичке осцилације | Електромагнетне осцилације |
|---|---|
| Елонгација (\(x\)) | Наелектрисање кондензатора (\(q\)) |
| Брзина (\(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\)) | Јачина струје (\(i = \frac{\Delta q}{\Delta t}\)) |
| Маса / Инертност (\(m\)) | Индуктивност калема (\(L\)) |
| Крутост опруге (\(k\)) | Реципрочна капацитивност (\(\frac{1}{C}\)) |
| Потенцијална енергија (\(E_p = \frac{1}{2} k x^2\)) | Електрична енергија (\(E_e = \frac{q^2}{2C}\)) |
| Кинетичка енергија (\(E_k = \frac{1}{2} m v^2\)) | Магнетна енергија (\(E_m = \frac{1}{2} L i^2\)) |
Свако реално осцилаторно коло поседује одређену термогену (омску) отпорност \(R\) жице калема и спојних проводника.
Услед протицања струје кроз отпорност \(R\) долази до ослобађања Џулове топлоте (\(Q = i^2 R \Delta t\)), што представља неповратан губитак електромагнетне енергије из кола.
Као последица губитка енергије, амплитуда наелектрисања и јачине струје постепено опада током времена, све док осцилације потпуно не престану. Такве осцилације називају се пригушене електромагнетне осцилације.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Кондензатор капацитивности \(C = 4\ \mu\text{F}\) наелектрисан је до максималног наелектрисања \(q_0 = 8\ \mu\text{C}\) и спојен са идеалним калемом. Колика је укупна енергија овог осцилаторног кола?
Укупна енергија једнака је максималној електричној енергији кондензатора:
\[ E = E_{e0} = \frac{q_0^2}{2C} \]
Претварањем јединица: \(C = 4 \cdot 10^{-6}\ \text{F}\), \(q_0 = 8 \cdot 10^{-6}\ \text{C}\).
\[ E = \frac{(8 \cdot 10^{-6}\ \text{C})^2}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-6}\ \text{F}} = \frac{64 \cdot 10^{-12}}{8 \cdot 10^{-6}}\ \text{J} = 8 \cdot 10^{-6}\ \text{J} = 8\ \mu\text{J} \]
Одговор: Укупна енергија осцилаторног кола износи \(8\ \mu\text{J}\).
Задатак 2 (средњи): У идеалном LC колу индуктивност калема износи \(L = 0{,}2\ \text{H}\), а капацитивност кондензатора \(C = 5\ \mu\text{F}\). Ако је максимални напон на кондензатору \(U_0 = 20\ \text{V}\), израчунати максималну јачину струје \(I_0\) која протиче кроз коло.
На основу закона одржања енергије, максимална енергија електричног поља једнака је максималној енергији магнетног поља:
\[ E_{e0} = E_{m0} \implies \frac{1}{2} C U_0^2 = \frac{1}{2} L I_0^2 \]
Одакле следи израз за максималну јачину струје:
\[ I_0 = U_0 \sqrt{\frac{C}{L}} \]
Заменом вредности (\(C = 5 \cdot 10^{-6}\ \text{F}\), \(L = 0{,}2\ \text{H}\), \(U_0 = 20\ \text{V}\)):
\[ I_0 = 20 \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 10^{-6}}{0{,}2}} = 20 \cdot \sqrt{25 \cdot 10^{-6}} = 20 \cdot 5 \cdot 10^{-3} = 0{,}1\ \text{A} = 100\ \text{mA} \]
Одговор: Максимална јачина струје у колу је \(0{,}1\ \text{A}\) (или \(100\ \text{mA}\)).
Задатак 3 (тежак): Колико износи тренутна количина наелектрисања на кондензатору \(q\) (изражена преко максималног наелектрисања \(q_0\)) у тренутку када је енергија електричног поља једнака енергији магнетног поља у идеалном осцилаторном колу?
Укупна енергија кола је константна: \(E = E_e + E_m = E_{e0}\).
Када је \(E_e = E_m\), важи: \[ E_e + E_e = E_{e0} \implies 2 E_e = E_{e0} \implies E_e = \frac{1}{2} E_{e0} \] Заменом формула за енергије: \[ \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_0^2}{2C} \] Скраћивањем \(2C\) са обе стране добијамо: \[ q^2 = \frac{1}{2} q_0^2 \implies q = \frac{q_0}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} q_0 \approx 0{,}707\ q_0 \] Одговор: Наелектрисање износи \(q = \frac{q_0}{\sqrt{2}}\) (око \(70{,}7\%\) максималне вредности).
Када је \(E_e = E_m\), важи: \[ E_e + E_e = E_{e0} \implies 2 E_e = E_{e0} \implies E_e = \frac{1}{2} E_{e0} \] Заменом формула за енергије: \[ \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_0^2}{2C} \] Скраћивањем \(2C\) са обе стране добијамо: \[ q^2 = \frac{1}{2} q_0^2 \implies q = \frac{q_0}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} q_0 \approx 0{,}707\ q_0 \] Одговор: Наелектрисање износи \(q = \frac{q_0}{\sqrt{2}}\) (око \(70{,}7\%\) максималне вредности).
