Најважније из лекције
- Енергетске карактеристике: Густина енергије је \(w = \frac{1}{2}\rho \omega^2 A^2\), а интензитет таласа је \(I = w \cdot u = \frac{P}{S}\) (\(\text{W/m}^2\)). Интензитет је директно сразмеран квадрату фреквенције и квадрату амплитуде (\(I \sim \omega^2 A^2\)).
- Хајгенсов принцип: Свака тачка до које допре таласни фронт постаје извор секундарних сферних таласа, а њихова обвојница чини нови таласни фронт.
- Закон одбијања: \(\alpha = \alpha'\) (упадни угао једнак одбојном).
- Закон преламања: \(\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{u_1}{u_2}\). При преласку у спорију средину талас се прелама ка нормали, а у бржу од нормале.
- Независност простирања: Таласи пролазе један кроз други без узајамног утицаја на њихово даље независно кретање.
Запреминска густина енергије (\(w\)) представља однос енергије таласа у уоченом делу средине и запремине тог дела:
\[ w = \frac{E}{\Delta V} = \frac{1}{2}\rho \omega^2 A^2 \]
\(w\) – запреминска густина енергије (\(\text{J/m}^3\)), \(\rho\) – густина средине, \(\omega\) – кружна учестаност, \(A\) – амплитуда осциловања.
Интензитет (јачина) таласа (\(I\)) јесте енергија коју талас пренесе у јединици времена кроз јединичну површину нормалну на правац простирања таласа. Представља снагу таласа по јединици површине.
\(\text{W/m}^2\) (ват по квадратном метру)
\[ I = \frac{E}{S \Delta t} = \frac{P}{S} = \frac{1}{2} \rho u \omega^2 A^2 = w \cdot u \]
\(I\) – интензитет таласа, \(P\) – снага таласа, \(S\) – површина, \(u\) – брзина простирања таласа, \(w\) – запреминска густина енергије.
Интензитет таласа је сразмеран густини средине, брзини таласа, као и квадрату кружне учестаности (\(I \sim \omega^2\)) и квадрату амплитуде (\(I \sim A^2\)). У реалним срединама део енергије се услед унутрашњег трења апсорбује и прелази у топлоту.
Таласни фронт је скуп свих тачака средине до којих је у истом временском тренутку стигло осциловање. У хомогеној и неограниченој средини, таласни фронт тачкастог извора је сфера.
Хајгенсов принцип: Свака тачка средине до које стигне таласни фронт постаје нови извор сферних секундарних таласа.
Обвојница (тангентна површ) свих тих секундарних сферних таласа након времена \(\Delta t\) образује нови таласни фронт, чиме се објашњава простирање таласа кроз простор, као и појаве одбијања и преламања.
Упадни угао (\(\alpha\)) је угао који упадни зрак заклапа са нормалом на граничну површину у тачки пада.
Одбојни угао (\(\alpha'\)) је угао који одбијени зрак заклапа са истом нормалом.
Закон одбијања таласа:
- Одбојни угао једнак је упадном углу: \[ \alpha = \alpha' \]
- Упадни зрак, одбијени зрак и нормала на граничну површину леже у истој равни.
Када талас наиђе на границу две средине у којима се простире различитим брзинама (\(u_1\) и \(u_2\)), долази до промене правца простирања – преламања.
Преломни угао (\(\beta\)) је угао између преломљеног зрака и нормале на граничну површину.
\[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{u_1}{u_2} \]
\(\alpha\) – упадни угао, \(\beta\) – преломни угао, \(u_1\) – брзина у првој средини, \(u_2\) – брзина у другој средини.
Закон преламања таласа: Синус упадног и синус преломног угла односе се као брзине простирања таласа у тим срединама. Упадни зрак, преломни зрак и нормала леже у истој равни.
- Ако талас прелази у средину мање брзине (\(u_2 < u_1\)), угао \(\beta < \alpha\) – талас се прелама ка нормали.
- Ако талас прелази у средину веће брзине (\(u_2 > u_1\)), угао \(\beta > \alpha\) – талас се прелама од нормале.
Принцип независности (суперпозиције): Када се два или више таласа из различитих извора истовремено простиру кроз исти део средине, они пролазе један кроз други без трајних промена. Након проласка кроз област преклапања, сваки талас наставља да се простире потпуно независно, као да други талас није ни постојао.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Упадни зрак равног таласа пада на равну препреку под углом од \(35^\circ\) у односу на нормалу. Колики је одбојни угао таласа?
Према закону одбијања таласа, одбојни угао (\(\alpha'\)) једнак је упадном углу (\(\alpha\)):
\[ \alpha' = \alpha = 35^\circ \]
Задатак 2 (средњи): Талас прелази из средине I, где му је брзина \(u_1 = 400\text{ m/s}\), у средину II, где му је брзина \(u_2 = 200\text{ m/s}\). Упадни угао таласа је \(\alpha = 30^\circ\). Одредити вредност \(\sin \beta\) и закључити како се талас прелама у односу на нормалу.
Примењујемо закон преламања таласа:
\[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{u_1}{u_2} \implies \sin \beta = \sin \alpha \cdot \frac{u_2}{u_1} \]
Знамо да је \(\sin 30^\circ = 0{,}5\):
\[ \sin \beta = 0{,}5 \cdot \frac{200}{400} = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \]
Пошто је \(u_2 < u_1\), преломни угао је мањи од упадног (\(\beta < \alpha\)), па се талас прелама ка нормали.
Задатак 3 (тежак): Како ће се променити интензитет равног таласа ако се његова амплитуда повећа 2 пута, а кружна фреквенција повећа 3 пута, док густина средине и брзина таласа остају непромењене?
Интензитет равног таласа дат је формулом:
\[ I_1 = \frac{1}{2}\rho u \omega_1^2 A_1^2 \]
У новом стању имамо \(A_2 = 2A_1\) и \(\omega_2 = 3\omega_1\):
\[ I_2 = \frac{1}{2}\rho u \omega_2^2 A_2^2 = \frac{1}{2}\rho u (3\omega_1)^2 (2A_1)^2 = \frac{1}{2}\rho u \cdot (9\omega_1^2) \cdot (4A_1^2) \]
\[ I_2 = 36 \cdot \left(\frac{1}{2}\rho u \omega_1^2 A_1^2\right) = 36 \cdot I_1 \]
Одговор: Интензитет таласа ће се повећати 36 пута.
