Најважније из лекције
Лоренцова сила: Магнетна сила \( \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \) чији је интензитет \( F = |q|vB\sin\theta \). Нормална је на брзину и поље, не врши рад и не мења кинетичку енергију честице.
Смер силе: Одређује се правилом десне руке за \( q > 0 \); за \( q < 0 \) смер је супротан.
Облик путање у магнетном пољу:
Смер силе: Одређује се правилом десне руке за \( q > 0 \); за \( q < 0 \) смер је супротан.
Облик путање у магнетном пољу:
- \( \theta = 0^\circ \): праволинијско равномерно кретање (\( F = 0 \)).
- \( \theta = 90^\circ \): равномерно кружно кретање полупречника \( r = \frac{mv}{qB} \) и периода \( T = \frac{2\pi m}{qB} \).
- \( 0^\circ < \theta < 90^\circ \): завојница (хеликоида) са кораком \( p = v_p T \).
Лоренцова сила је магнетна сила којом магнетно поље делује на наелектрисану честицу која се у њему креће.
\[ \vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B}) \]
\[ F = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin\theta \]
\( q \) – наелектрисање честице [C]; \( v \) – брзина честице [m/s]; \( B \) – магнетна индукција [T]; \( \theta \) – угао између вектора брзине \( \vec{v} \) и вектора магнетне индукције \( \vec{B} \)
Зависност интензитета Лоренцове силе од угла \( \theta \):
- \( \theta = 0^\circ \) или \( 180^\circ \) (кретање паралелно линијама поља): \( \sin 0^\circ = 0 \implies F = 0 \) (магнетно поље не делује на честицу).
- \( \theta = 90^\circ \) (кретање нормално на линије поља): \( \sin 90^\circ = 1 \implies F_{\text{max}} = |q| \cdot v \cdot B \).
- \( v = 0 \) (честица мирује): \( F = 0 \) (статичко магнетно поље делује само на покретна наелектрисања).
Протон се креће брзином од \( 3 \cdot 10^5 \text{ m/s} \) дуж линија хомогеног магнетног поља индукције \( 0{,}4 \text{ T} \). Колики је интензитет Лоренцове силе која делује на њега?
Пошто се протон креће дуж линија поља, угао између брзине и магнетне индукције је \( \theta = 0^\circ \).
\[ F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin 0^\circ = 0\text{ N} \]
Одговор: Интензитет силе је \( 0\text{ N} \).
Правило десне руке (шаке): Испружен палац десне руке постави се у смеру брзине позитивно наелектрисане честице (\( \vec{v} \)), а остали испружени прсти у смеру вектора магнетне индукције (\( \vec{B} \)). Правац и смер Лоренцове силе (\( \vec{F} \)) излазе нормално из длана.
Ако је честица негативно наелектрисана (нпр. електрон), сила има супротан смер од смера који показује длан (делује „у длан”).
Правац Лоренцове силе је увек истовремено нормалан и на вектор брзине (\( \vec{F} \perp \vec{v} \)) и на вектор магнетне индукције (\( \vec{F} \perp \vec{B} \)).
Пошто је сила у сваком тренутку нормална на правац померања (\( \vec{F} \perp \vec{v} \)), Лоренцова сила не врши механички рад (\( A = 0 \)). Због тога она не мења кинетичку енергију нити интензитет брзине честице, већ мења искључиво правац и смер њеног кретања.
Када честица улети брзином \( \vec{v} \) нормално на хомогено магнетно поље \( \vec{B} \), Лоренцова сила делује као центрипетална сила и узрокује равномерно кружно кретање:
\[ F_L = F_{cp} \implies |q|vB = \frac{m v^2}{r} \]
Полупречник кружне путање:
\[ r = \frac{m \cdot v}{|q| \cdot B} \]
Период обртања:
\[ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot m}{|q| \cdot B} \]
Период обртања (\( T \)) и фреквенција не зависе од брзине честице нити од полупречника кружнице, већ само од њене масе, наелектрисања и јачине поља.
Вектор брзине се разлаже на две компоненте:
- Нормална компонента \( v_n = v \sin\theta \): узрокује кружење у равни нормалној на \( \vec{B} \).
- Паралелна компонента \( v_p = v \cos\theta \): дуж линија поља сила не делује, па честица у том правцу врши равномерно праволинијско кретање.
Поларна светлост (Aurora borealis/australis): Наелектрисане честице Сунчевог ветра спирално се крећу дуж линија Земљиног магнетног поља ка половима, где сударањем побуђују атоме кисеоника и азота у атмосфери, што изазива емисију карактеристичне светлости.
При истовременом постојању електричног и магнетног поља, укупна сила на честицу једнака је векторском збиру:
\[ \vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) \]
Специфично наелектрисање представља количник наелектрисања и масе честице (\( q/m \)), изражен у јединицама \( \text{C/kg} \).
- Убрзавање електрона: Електрони се убрзавају напоном \( U \): \[ \frac{m v^2}{2} = e \cdot U \implies v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} \]
- Пролазак кроз укрштена поља (\( \vec{E} \perp \vec{B} \)): Поља се подешавају тако да се електрична и магнетна сила поништавају (\( F_e = F_L \)), па се сноп електрона креће праволинијски без скретања: \[ e \cdot E = e \cdot v \cdot B \implies v = \frac{E}{B} \]
- Одређивање специфичног наелектрисања: Изједначавањем израза за брзину: \[ \frac{e}{m} = \frac{E^2}{2 \cdot U \cdot B^2} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Електрон се креће брзином \( 2 \cdot 10^6 \text{ m/s} \) у хомогеном магнетном пољу индукције \( 0{,}5 \text{ T} \) под правим углом у односу на линије поља. Израчунати интензитет Лоренцове силе која делује на електрон (\( e = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \)).
Пошто је угао \( \theta = 90^\circ \), имамо \( \sin 90^\circ = 1 \):
\[ F = e \cdot v \cdot B \]
\[ F = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 2 \cdot 10^6 \text{ m/s} \cdot 0{,}5 \text{ T} = 1{,}6 \cdot 10^{-13} \text{ N} \]
Одговор: Интензитет Лоренцове силе износи \( 1{,}6 \cdot 10^{-13} \text{ N} \).
Задатак 2 (средњи): Протон (\( m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \), \( q = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \)) улети нормално у хомогено магнетно поље индукције \( 0{,}2 \text{ T} \) брзином \( 10^6 \text{ m/s} \). Одредити полупречник кружне путање протона и период његовог обртања.
1. Полупречник кружне путање:
\[ r = \frac{m_p \cdot v}{q \cdot B} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 10^6 \text{ m/s}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 0{,}2 \text{ T}} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-21}}{3{,}2 \cdot 10^{-20}} \approx 0{,}0522 \text{ m} = 5{,}22 \text{ cm} \]
2. Период обртања:
\[ T = \frac{2\pi \cdot m_p}{q \cdot B} = \frac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 0{,}2 \text{ T}} \approx 3{,}28 \cdot 10^{-7} \text{ s} \]
Одговор: Полупречник путање је \( 5{,}22 \text{ cm} \), а период обртања \( 3{,}28 \cdot 10^{-7} \text{ s} \).
Задатак 3 (тежак): Сноп електрона убрзан је из мировања анодним напоном од \( U = 200 \text{ V} \). Након тога сноп улази у простор са узајамно нормалним електричним и магнетним пољем. Јачина електричног поља је \( E = 1{,}68 \cdot 10^4 \text{ V/m} \). Колика мора бити магнетна индукција \( B \) да се сноп електрона не би отклањао? (Узети да је специфично наелектрисање електрона \( e/m = 1{,}76 \cdot 10^{11} \text{ C/kg} \)).
1. Из закона одржања енергије одређујемо брзину електрона након убрзавања:
\[ \frac{m v^2}{2} = e \cdot U \implies v = \sqrt{2 \cdot \frac{e}{m} \cdot U} \]
\[ v = \sqrt{2 \cdot 1{,}76 \cdot 10^{11} \text{ C/kg} \cdot 200 \text{ V}} = \sqrt{7{,}04 \cdot 10^{13}} \approx 8{,}39 \cdot 10^6 \text{ m/s} \]
2. Да се сноп не би отклањао у укрштеним пољима, мора важити:
\[ F_e = F_L \implies e \cdot E = e \cdot v \cdot B \implies B = \frac{E}{v} \]
\[ B = \frac{1{,}68 \cdot 10^4 \text{ V/m}}{8{,}39 \cdot 10^6 \text{ m/s}} \approx 2 \cdot 10^{-3} \text{ T} = 2 \text{ mT} \]
Одговор: Магнетна индукција мора бити \( 2 \text{ mT} \).
