Најважније из лекције
Механички талас: Процес преношења осцилација и енергије кроз непрекидну еластичну средину без сталног премештања честица средине.
Подела таласа:
Једначина таласа: Елонгација је двострука функција координате и времена: \( y = f(x, t) \).
Подела таласа:
- Трансверзални: честице осцилују нормално на правац простирања (\( u = \sqrt{F/\mu} \)).
- Лонгитудинални: честице осцилују дуж правца простирања (\( u = \sqrt{E_y/\rho} \)). Могући су у свим срединама (гасови, течности, чврста тела).
Једначина таласа: Елонгација је двострука функција координате и времена: \( y = f(x, t) \).
Механички талас је процес преношења осцилаторног кретања, односно енергије осциловања, из једне тачке у другу кроз еластичну (непрекидну) средину.
Приликом простирања таласа не долази до преношења супстанце - честице средине не путују заједно са таласом, већ само осцилују око својих равнотежних положаја.
Свака суседна честица средине почиње да осцилује са малим временским закашњењем у односу на претходну, због чега међу честицама постоји фазна разлика (фазно кашњење) која расте са удаљеношћу од извора.
Када се баци камен у мирну воду, на месту пада настаје поремећај који се у виду концентричних кругова шири по површини воде, док тело које плута на води (нпр. лист) само осцилује горе-доле.
Трансверзални (попречни) таласи: Таласи код којих честице средине осцилују нормално на правац простирања таласа (нпр. талас дуж затегнутог конопца или жице).
Лонгитудинални (уздужни) таласи: Таласи код којих честице средине осцилују дуж правца простирања таласа, стварајући периодична згушњавања и разређења средине (нпр. талас у опрузи, звучни таласи).
Простирање таласа кроз агрегатна стања:
- У гасовима се могу простирати искључиво лонгитудинални таласи (због занемарљивих еластичних сила смицања).
- У течностима и чврстим телима могу се простирати и лонгитудинални и трансверзални таласи.
- Таласи на површини воде представљају комбинацију лонгитудиналног и трансверзалног кретања честица.
Период таласа (\( T \)): Време за које свака честица средине изврши једну пуну осцилацију. Јединица је секунд (\(\text{s}\)).
Фреквенција таласа (\( \nu \)): Број осцилација честице у јединици времена: \(\nu = \frac{1}{T}\). Јединица је херц (\(\text{Hz}\)).
Таласна дужина (\( \lambda \)): Растојање које талас пређе за време једног периода (\( T \)), односно најкраће растојање између две суседне честице које осцилују у истој фази. Јединица је метар (\(\text{m}\)).
\[ u = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu \]
\( u \) – брзина простирања таласа (\(\text{m/s}\)), \( \lambda \) – таласна дужина (\(\text{m}\)), \( T \) – период (\(\text{s}\)), \( \nu \) – фреквенција (\(\text{Hz}\))
Потребно је разликовати брзину простирања таласа (фазну брзину којом путује поремећај: \( u = \frac{\Delta x}{\Delta t} \)) од брзине осциловања честица средине око равнотежног положаја (\( v = \frac{\Delta y}{\Delta t} \)).
Извор таласа осцилује фреквенцијом \( \nu = 50\text{ Hz} \). Ако се талас кроз средину простире брзином \( u = 150\text{ m/s} \), колика је таласна дужина?
Полазећи од формуле за брзину таласа:
\[ u = \lambda \nu \implies \lambda = \frac{u}{\nu} \]
Заменом датих вредности:
\[ \lambda = \frac{150\text{ m/s}}{50\text{ Hz}} = 3\text{ m} \]
Одговор: Таласна дужина износи \( 3\text{ m} \).
Брзина простирања таласа сразмерна је интензитету еластичних сила у средини, а обрнуто сразмерна густини средине (због инертности честица).
Брзина трансверзалних таласа у затегнутој жици:
\[ u = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho}} = \sqrt{\frac{F}{\mu}} \]
\( \sigma \) – нормални напон затезања (\(\text{Pa}\)), \( \rho \) – густина материјала жице (\(\text{kg/m}^3\)), \( F \) – сила затезања (\(\text{N}\)), \( \mu = \frac{m}{l} \) – подужна маса жице (\(\text{kg/m}\))
Брзина лонгитудиналних таласа у чврстом телу:
\[ u = \sqrt{\frac{E_y}{\rho}} \]
\( E_y \) – Јангов модул еластичности (\(\text{Pa}\)), \( \rho \) – густина средине (\(\text{kg/m}^3\))
За описивање таласног кретања потребно је одредити елонгацију честице \( y \) у функцији њеног растојања \( x \) од извора и протеклог времена \( t \):
\[ y = f(x, t) \]
\( y \) – тренутно удаљење честице од равнотежног положаја (елонгација), \( x \) – просторна координата положаја честице, \( t \) – време
Таласни импулс: Краткотрајни локализовани поремећај који се простире кроз еластичну средину брзином \( u \). После времена \( t' \), цео импулс се дуж правца простирања помери за растојање \( \Delta x = u t' \).
Задаци за вежбање
1. (Лако) Звучни талас фреквенције \( \nu = 680\text{ Hz} \) простире се кроз ваздух брзином \( u = 340\text{ m/s} \). Израчунати период осциловања честица ваздуха и таласну дужину овог звучног таласа.
Период осциловања је реципрочна вредност фреквенције:
\[ T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{680\text{ Hz}} \approx 1{,}47 \cdot 10^{-3}\text{ s} = 1{,}47\text{ ms} \]
Таласна дужина је:
\[ \lambda = \frac{u}{\nu} = \frac{340\text{ m/s}}{680\text{ Hz}} = 0{,}5\text{ m} = 50\text{ cm} \]
Одговор: Период је \( 1{,}47\text{ ms} \), а таласна дужина је \( 0{,}5\text{ m} \).
2. (Средње) Челична жица дужине \( l = 2\text{ m} \) и масе \( m = 20\text{ g} \) затегнута је силом од \( F = 160\text{ N} \). Коликом брзином се кроз ову жицу простире трансверзални талас?
Прво одређујемо подужну масу жице \( \mu \):
\[ \mu = \frac{m}{l} = \frac{0{,}02\text{ kg}}{2\text{ m}} = 0{,}01\text{ kg/m} \]
Брзина трансверзалног таласа у затегнутој жици рачуна се по формули:
\[ u = \sqrt{\frac{F}{\mu}} = \sqrt{\frac{160\text{ N}}{0{,}01\text{ kg/m}}} = \sqrt{16000\text{ m}^2/\text{s}^2} \approx 126{,}49\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина таласа кроз жицу износи приближно \( 126{,}5\text{ m/s} \).
3. (Средње) Како ће се променити брзина трансверзалног таласа у затегнутој жици ако се сила затезања повећа \( 4 \) пута?
Брзина таласа сразмерна је квадратном корену силе затезања:
\[ u_1 = \sqrt{\frac{F_1}{\mu}} \]
Када је нова сила \( F_2 = 4F_1 \):
\[ u_2 = \sqrt{\frac{F_2}{\mu}} = \sqrt{\frac{4F_1}{\mu}} = 2\sqrt{\frac{F_1}{\mu}} = 2 u_1 \]
Одговор: Брзина таласа ће се повећати \( 2 \) пута.
4. (Тешко) Кроз алуминијумску шипку густине \( \rho = 2700\text{ kg/m}^3 \) и Јанговог модула еластичности \( E_y = 7 \cdot 10^{10}\text{ Pa} \) простире се лонгитудинални талас.
а) Израчунати брзину лонгитудиналног таласа у шипци.
б) Колико је потребно овом таласу да пређе дужину шипке од \( L = 10{,}18\text{ m} \)?
а) Израчунати брзину лонгитудиналног таласа у шипци.
б) Колико је потребно овом таласу да пређе дужину шипке од \( L = 10{,}18\text{ m} \)?
а) Брзина лонгитудиналног таласа у чврстом телу рачуна се као:
\[ u = \sqrt{\frac{E_y}{\rho}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 10^{10}\text{ Pa}}{2700\text{ kg/m}^3}} = \sqrt{25{,}93 \cdot 10^6\text{ m}^2/\text{s}^2} \approx 5092\text{ m/s} \]
б) Време потребно да талас пређе дужину шипке:
\[ t = \frac{L}{u} = \frac{10{,}18\text{ m}}{5092\text{ m/s}} = 0{,}002\text{ s} = 2\text{ ms} \]
Одговор: Брзина таласа је \( 5092\text{ m/s} \), а потребно време је \( 2\text{ ms} \).
